极点与极线

极点与极线
对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结．极点极线的定义
1．二次曲线的替换法则
对于一般式的二次曲线22Ax Bxy Cy Dx ϕ+++：
0Ey F ++=，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用
002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000022
x y xy x x Axx B Cyy D ++++++ 002y y E F ++= ．2．极点极线的代数定义
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：
（1）圆：
①极点00()P x y ，
关于圆222x y r +=的极线方程是200xx yy r +=；②极点00()P x y ，
关于圆222()()x a y b r -+-=的极线方程是200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③极点00()P x y ，
关于圆220x y Dx Ey F ++++=的极线方程是：0000022
x x y y xx yy D E F ++++++= ．（2）椭圆：
极点00(,)P x y 关于椭圆22
221x y a b +=的极线方程是：00221xx yy a b +=．（3）双曲线：
极点00(,)P x y 关于双曲线22
221x y a b -=的极线方程是：00221xx yy a b
-=．（4）抛物线
极点00(,)P x y 关于抛物线22y px =的极线方程是：00()y y p x x =+．
注：①极点极线是成对出现的；
②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线；
③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！
3．极点极线的几何意义
（1）若极点P 在二次曲线上，则极线是过点P 的切线方程．
（2）若极点P 在二次曲线内部，则极线是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P 的弦
AB 、CD 的两端端点作切线，得到的直线MN 即为点P 对应的极线轨迹．
【极线和二次曲线必定相离】（3）若极点P 在二次曲线外部，分成两种情况：
①极线在二次曲线内的部分是点P 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】
②极线在二次曲线外的部分是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．
4．极点极线的配极性质
①点P 关于二次曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线C 的极线q 经过点P ．
②直线p 关于二次曲线C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线C 的极点Q 在直线p 上．
①②表达点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点．极点极线的综合模型——自极三角形
极点极线的几何意义:
（1）若点P 是圆锥曲线上的点，则过点P 的切线即为极点p 对应的极线．
（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O ，过点P 作割线P AB 、PCD 依次交圆锥曲线于A 、B 、C 、D 四点，连结直线AD 、BC 交于点M ，连结直线AC 、BD 交于点N ，则直线MN l 为极点P 对应的极线．类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线PM l ，极点M 对应的极线为直
线PN l ，因此，我们把PMN △称为自极三角形．【即PMN △的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】
如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E 、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线EF l 不仅是极点P 的极线，我们也称直线EF l 为渐切线．
下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．
自极三角形的定点定值
我们先来尝试一下抛物线的极点极线证明：
如图，A 、B 、C 、D 分别为抛物线px y 22=上四点，且AB 与CD 交于)0(，m M ，则AC 与BD 的交点N 一定在定直线m x -=
上．令MB AM λ=，MD CM μ=，所以m x A λ=，
λpm y A 2=，λm
x B =，λpm
y B 2-=，m x c μ=，μpm y C 2=，μm
x D =，μpm
y D 2-=．三点共线:
)()(D N D B D B D C N C A C A C N x x x x y y y x x x x y y y y ---+=---+=，)(2)(2D N D
B D
C N C A C N x x y y p y x x y y p y y -++=-++=所以)(2)(21(2μλμμμ+--=+
=-pm m x p pm y y N D C )
(2)(2μλλμμ+-
-+pm m x p N ，所以=+++)1(μλμλμm μ
λλμμm x x m N N +--，所以=+)1(λμm )1(λμ+-N x ，所以m x N -=．
接下来我们来参考2020年的全国1卷，也是一种常见的自极三角形．
【例17】（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆2
22:1(1)x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = ．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点．
模型总结
已知极点在长（短）轴上，证明极线相对简单，只需要利用定比设点法表达出来再联立，消掉变量即可，但是在已知极线反推极点的时候，就要将引入的比例系数λ消除，构造0+0=0λ⨯模型，此类型题目均可以快速拿满分（曲线系处理最快）；抛物线通常利用对称的定比设点法，证明极点极线非常轻松，大家可以试试手．
【训练18】（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(11)P -，的直线l 斜率为k ，
与抛物线交于A ，B 两点．
（1）求斜率k 的取值范围；
（2）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．
【训练19】（2021•湖南模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点3(1)2
P ，在C 上，且221PF F F ⊥．
（1）求C 的标准方程；
（2）设C 的左右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标轴垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．
【例18】已知椭圆13
4:2
2=+y x C ，斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点)04(，M ，直线AM 与椭圆交于点1A ，直线BM 与椭圆交于1B ，求证：直线11B A 过定点．
模型总结
若过)0(，m P 交椭圆于1AA ，1BB 两条线，若①t k AB
=，②11B A 过定点)22(22t m m a m a m -+，，两者互为充要条件．大家可以自行证明．
本章节到此告一段落，关于极点极线的其它性质，比如等角定理、比如斜率等差模型、斜率比值模型、焦准距的平方和共圆模型、椭圆的平行弦模型、蝴蝶定理初步，会在《高考数学满分突破》之秒杀压轴题系列2（2022年新版本）中详细阐述，二轮复习在于以题型入手的思维巩固，在于以不变应万变，秒系列在于思维深挖拓展，对一个问题的看法更加立体，也是数学爱好者的江湖情怀！
【训练20】（2018•北京文）已知椭圆22
22:1x y M a b
+=(0)a b >>的离心率为3
6，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ．（1）求椭圆M 的方程；
（2）若1=k ，求AB 的最大值；
（3）设)0,2(-P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点4
1,47(-Q 共线，求k ．
【训练21】（2021•广东七校联考）已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=(0)
a b
>>的左顶点为(20)
A-，，两个焦点与短
轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点(10)
P，且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M、N不同两点．（1）求椭圆方程；
（2）若过点P且平行于AM的直线交直线
5
2
x=于点Q，求证：直线NQ过定点．
【训练22】（2020•北京）已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=过点(21)
A--
，，且2
a b
=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(40)
B-，的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4
x=-于点P，Q．求|| || PB BQ
的值．。