江苏省如皋中学高三10月阶段练习数学(理)试题

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习
高三数学 (理科)
（Ⅰ卷）
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数的虚部为___▲____．
2．“x >1”是“1
x
<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12，则A ∪B ＝ ___▲____．
4．函数的定义域为___▲___．
5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5，则m 的值为___▲____．
6．已知,则___▲__．
7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．
8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．
9．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →
)＝ ▲ ．
10. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛
⎭⎫2α＋π12的值为___▲____．
11．下列命题： ①在中，“”是“”的充分不必要条件； ②已知)1,2(),4,3(--==，则在上的投影为； ③已知，01,:2
>+-∈∀x x R x q ，则“”为假命题； ④“若2,062
>≥-+x x x 则”的否命题； ⑤已知函数2)6
sin()(-π
+
ω=x x f 的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称． 其中真命题的序号为__▲__．
12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点 (－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间
[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．
13．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R ，若·＝－3
2，则λ＝ ___▲____．
14．设m 为实数，函数m x m x x x f --+=)(2)(2，⎪⎩
⎪
⎨⎧=0)()(x x f x h .
若对于一切，不等式≥1恒成立，则实数m 的取值范围是___▲____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程活盐酸步骤．
15．已知命题：函数6)3
4()(23++++=x a ax x x f 在(－∞,+∞)上有极值；命题：关于x 的方程
x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．
16．已知函数)
()2cos sin 2
22
x
x x f x =-．
（1）设，且，求的值； （2）若，求函数值域；
（3）在△ABC 中，AB =1，，且△ABC 的面积为，求sin A +sin B 的值．
17．如图，点B 在以P A 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，
已知5,3,PA PB PC === 均为锐角． （1）求； （2）求的值．
18．已知关于不等式．
(1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式．
19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长米，为的中点，到的距离比的长小米，，若建筑支
架各部分的材料每米的价格已确定，且部分的价格是部分价格的两倍.设米,米. (1)求关于的函数；
(2)问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
20． 已知函数2
()ln (0,1)x
f x a x x a a a =+->≠.
（1）求证：函数在上单调递增； （2）若函数有三个零点，求的值； （3）若存在，使得，试求的取值范围.
（Ⅱ卷）
1．已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．
2．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
3．已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++
++++，其中
a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）10
1
n n a =∑的值；（2）10
1
n n na =∑的值．
4．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求，的值；
（2）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
（3）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
高三数学(理科)质量检测试题（Ⅰ卷）
命题人:葛剑锋
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1． 2; 2． 充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4．; 5． 1
2; 6．;
7． π4; 8． 0或－14; 9． 6; 10. 172
50; 11．③④; 12． [－2，－1];
13． 1
2
; 14．
15．解：（1）） 4分 （2）{}
()(3)0B x x a x a =-++> ①当时，3,2B x x R x ⎧⎫
=∈≠-⎨⎬⎩⎭
恒成立； 7分
②当时，{}
3--><=a x a x x B 或
∴或解得或（舍去） 所以 10分
③当时，{}
a x a x x B >--<=或3
,34A B a ⊆∴-->-或（舍去）解得 13分
综上，当，实数的取值范围是． 14分
16． （1）2
()2sin cos 222
x x x
f x =-==． 3分
由()
π2cos 16x +，得，
于是，因为，所以． 5分 （2），所以值域为 9分
（3）因为，由（1）知． 因为△ABC 的面积为，所以，于是. ① 10分 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π
12cos 66
a b ab a b =+-=+-，所以．② 11分 由①②可得或于是
由正弦定理得sin sin sin 112
A B C a b ===， 所以()1sin sin 12A B a b +=+=+．
-------------------14分 17． 解（1）：因为点B 在以P A 为直径的圆周上，所以，
所以34
cos ,sin 55
PB PA αα=
==． 所以，
cos cos()PB CPB PC αβ∠=-=
==
， ，所以，
tan tan()
tan tan[()]11tan tan()
ααββααβααβ--=--=
=+-……6分，
又，所以 -----------------------8分 （2）：2
()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅
275
()577249
=-⨯⨯=- ．-----------------14分
18．解（1） 注：需验证符合 ………………………………………4分
（2）①当时，由，得；……………………………6分
②当时，不等式化为，解得或；………8分 ③当时，不等式化为；
若，即，则；………………………………… 10分
若，即，则不等式解集为；……………………………… 12分 若，即，则．………………………………………14分 综上所述：
时，解集为； 时，原不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为；
时，解集为．……………………………………………16分
19．解：(1)由题,.连结，则在中，2221
()2cos
2
3
y y x xy π
-=+-，
整理得：21
4.1
x y x -
=
- ----------6分 （注：不注明定义域扣2分）
(2)设金属支架每米价格为元，金属支架每米价格为元， 则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+
21
4441
x y x x x -
+=
+- ----------8分
设 2.8
1,10.4,2
t x t =-≥
-= ---------10分
则 ----------12分
令，在上单调增,
所以当时,即时,取得最小值.------14分
答：当时，建造这个支架的成本最低.-------16分
20． 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x
x
f x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分 由于或，故当时，，所以，
故函数在上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当时，因为，且在R 上单调递增，
故有唯一解…………………………………………7分
而，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得……………11分
（Ⅲ）因为存在，使得，
所以当时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分 由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，
而11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121
()1(1)0g t t t t
'=+-=-≥（当时取等号），
所以在上单调递增，而，
所以当时，；当时，， 也就是当时，；当时，………14分
①当时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e
--≥-⇒
+≥-⇒<≤， 综上知，所求的取值范围为……………………………16分
（Ⅱ卷）
1．解：由题意得1
3
12221-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
A
，…………………………………………………5分 ，1
3
194112
22312
151-⎡⎤⎡⎤
--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦
X A B …………………………10分
2． 解：首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得
x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2
– x + 3y = 0……………………………………………………6分
解方程组⎩⎨⎧x 2 + y 2
= 1x 2 + y 2
– x + 3y = 0
得两交点坐标(1,0),(–12, – 3
2) 所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 3
2
)2= 3 -----------------------10分
3． 解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++中，
令1x =-，得01a =；……………………………………………………………………2分 令0x =，得5012910232a a a a a +++++==．
所以10
1210131n n a a a a ==++
+=∑．…………………………………………………… 5分
（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x 求导，
得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++．……… 7分 在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中，
令x =0，整理，得10
5129101291052160n n na a a a a ==++
++=⋅=∑．…………………10分
4． 解：（1）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人． 则． 解得．
所以． …………… 3分
（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人．
则21222062
()1()195
C P B P B C =-=-=． …………… 6分
（3）的可能取值为，，．
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人． 所以，
， ．
所以的分布列为
所以，．…………… 10分。