九年级数学一元二次方程复习课华东师大版知识精讲

初三数学一元二次方程复习课华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
一元二次方程复习课
［教学目标］
1. 灵活地选择解法，求解一元二次方程。

2. 应用一元二次方程，解决实际中的数学问题。

3. 运用根的判别式，根与系数关系等知识解决较复杂的一元二次方程综合题。

［教学过程］
（一）知识点回顾：
1. 一元二次方程的四种解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2. 根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠
∆=-b ac 24
当∆>0时，方程有两个不相等的实根
当∆=0时，方程有两个相等的实根
当∆<0时，方程无实根
3. 根与系数关系
关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠
当∆≥+=-
=01212时，有，x x b a x x c a
【典型例题】
例1. 用适当的方法解下列一元二次方程。

（1）()()x x +=-11222
解：x x x x +=-+=--112112或()
x =0 或 x =2
（2）()()x x -=-1212
解：()()x x -+-=12102
()()x x -+=110
∴或∴，x x x x -=+===-1010
11
12
（3）67302x x --=
解：()()31230x x +-=
∴或∴，310230
1332
12x x x x +=-==-= （4）3412x x =+
解：34102x x --=
∆=---=>()()44312802××
∴±×±∴，x x x =
--==
+=-()42823273273273
12
（5）223002x x --=（注：用配方法）
解：x x 22215-= x x x 222
222241524241218
-+=+-=()()() ∴±∴，x x x -===-2411423252212 注：用配方法解一元二次方程的步骤为：
（1）化二次项系数为1
（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变为()x m n +=2的形式
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

例2. 已知方程x k x k 222120+++-=()的两根的平方和为11，求k 的值。

解：设方程的两根为x x 12，
则有x x k x x k 12122212+=-+=-()，
∵∴x x x x x x 12221221211
211
+=+-=() [()]()()()-+--=++-+=+-=+-=+-=212211
4412411
2460230
310
222222k k k k k k k k k k k
∴，∵k k k k k 1222
31
214249
=-==+--=+∆()() ∴当时，，舍去k =-<30∆
当k =>10时，∆。

∴k =1
注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。

例3. 若方程m x m x 222310--+=()的两个实根的倒数和是S ，求：S 的取值范围。

分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，∆≥0，求出m 的取值范围，再用S 的代数式表示m ，借助m 的取值范围就可求出S 的取值范围。

解：设方程的两个实根为x x x x m m x x m
12122122231，，则，+=
-= ∵方程有两个实根 ∴，且≠∴且≠∵∆=--≥≤=+=+=-=-()23400
3401123
12322212112
22
m m m m m S x x x x x x m m m m
∴∴且≠m S S S =++≤+32323432
0 ∴且≠S S ≤--32
3。

例4. 已知关于x 的一元二次方程x k x k 22114
10-+++=() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。

（2）如果方程的两个实数根x x 12，满足||x x 12=，求k 的值。

解：（1）∆=-+-+=-≥[()]()k k k 141
4123022
解得k k ≥
≥3232
，∴当时，方程有两个实数根 （2）∵||x x 12=，分两种情况
①当x x x 1120≥=时，得，∴方程有两个相等的实数根。

∴，∴∆==032
k ②当x x x x x <=-+=002112时，得，∴ 由根与系数关系，得k +=10
∴k k =-≥1132
，由知，矛盾() ∴舍去
∴k k =-=13
2
例5. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的
12，求：新品种花生亩产量的增长率。

解：设新品种花生亩产量的增长率为x ，
则有200150%112
132()()++=x x ·· 解得x x 120232
==-..，（不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。

注：对于增长率问题，解这类问题的公式是a x b n ()1+=，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 为增长的量。

例6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
解：（1）设每件衬衫应降价x 元，则有
()()402021200
302000
2-+=-+=x x x x
解得x x 121020==， 根据题意，取x=20，
∴每件衬衫应降低20元。

（2）商场每天赢利
()()
()402028006022151250
22-+=+-=--+x x x x x
当x =15时，商场赢利最多，共1250元
∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。

例7. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c =53，若关于x 的方程()()5325302+++-=b x ax b 有两个相等的实数根，方程
210502x A x A -+=(sin )sin 的两实数根的平方和为6，求：△ABC 的面积。

分析：这是一个一元二次方程和解直角三角形的综合题，由方程()()5325302+++-=b x ax b 有两个相等的实根及c =53，易证△ABC 为直角三
角形，在方程210502x A x A -+=(sin )sin 中，由根与系数关系和已知的两实根平方和为6，可求sinA 的值，再由三角函数定义和勾股定理可求出a ，b ，则S ab ABC △=
12。

解：∵方程()()5325302+++-=b x ax b 有两个相等实数根 ∴∆=-+-=()()()24535302a b b
∴∵，∴∴△是直角三角形，且∠°。

a b c a b c ABC C 222222275
537590+===+==()
设x x x A x A 12221050，是方程-+=(sin )sin 的两实数根，
则x x A x x A 1212552
+==sin sin ， ∵，而∴x x x x x x x x A A 12221222122122625560
+=+=+---=()(sin )sin 解得sin sin ()A A ==-3525
或舍去 在Rt △ABC 中c a c A b c a ====-=53334322，·，sin ∴S ab ABC △==12
18
例8. 已知关于x 的一元二次方程ax ax c 220++=的两个实数根之差的平方为m
（1）试分别判断当a c a c ==-==1322，与，时，m ≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a ，m ≥4总成立，求实数c 及m 的值。

解：（1）当，时，a c ==-13原方程化为x x x x 21223013+-===-，则， ∴m =--=>[()]131642
即m ≥4成立
当a c ==22，时，原方程化为24202x x ++=
由∆=->442202××，可设方程的两根分别为x x 12，
则x x x x 1212222
+=-=
， ∴m x x x x x x =-=+-=-<()()1221221244224
即m ≥4不成立
（2）设原方程两个实数根是x x 12，
则x x x x c a
12122+=-=， m x x x x x x c a
=-=+-=-()()12212212444 ∵对于任意一个非零的实数a ，都有444-≥c a
∴当时，∴，c c a c m ===>==0
04004
2
∆
例9. 已知关于x 的方程x k x k k 2221210-+++-=() ①
（1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a 是关于y 的方程y x x k y x k x k 2
121220-+-+--=()()() ②的根，其中x x 12，为方程①的两个实数根。

求：代数式()114112a a a a a a
-++-÷·的值。

分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成y y 2
210--=，再利用根的定义得到a a 221=+，将代数式化简后，把a a 221=+整体代入即可求出代数式的值。

（1）证明：
∵∆=+-+-=++--+=>41421484484802222()()k k k k k k k ∴对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）解：∵x x 12，是方程①的两个实数根
∴，x x k x x k k 121222121+=+=+-() ∴x x k k k x k x k x x k x x k
k k k k k 1212121222222122
21211
+-=+-=--=-++=+--++=-()()()()() ∴方程②为y y 2210--=
∵a 是方程②的根，∴a a 2210--= ∴≠，≠，∴÷·a a a a a a a a a a
01021
1141122+=+-++-() =+-++-=+--=+-++-=-=-a a a a a a a a a a a a a a a a a a 111411141212114241222222
22
()()()[()]()()··· 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

【模拟试题】
（一）填空题
1. 一元二次方程()()3221222
x x x -+=+化为一般式后，a =___________，b =___________，c =___________。

2. 若方程x x m 2-=有两个实数根，则m 的值是___________。

3. 关于x 的一元二次方程kx x 2610-+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
___________。

4. 关于x 的一元二次方程202
x x m ++=的一个根是1，另一个根是___________，m=___________。

5. 若x x 12、是方程24302x x +-=的两个根，则()()x x 1211++=___________。

6. 已知两不等实数a 、b 满足条件2710271022
a a
b b -+=-+=，，则11a b
+=___________ 7. 已知a 、b 是方程x x 2270+-=的两个实数根，则a b b 2234++=___________。

（二）解下列方程
1. ()211602x --=
2. x x 2890--=
3. ()()x x -=-1212
4. x x 2520--=
5. x x ()+=760
（三）解答题
1. 已知关于x 的方程x m x m 222
30+-+-=() ①求证无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根
②若这个方程的两个实数根x x x x m 121222、满足+=+，求m 的值
2. 已知关于x 的方程x mx m 2230-+=的两个实数根是x 1、x 2，且()x x 122
16-=，如果关于x 的另一个方程x mx m 2
2690-+-=的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值。

【试题答案】
1. 4；－1；－4
2. m ≥-
14
3. k k <90且≠
4. -32；－3
5. －2.5
6. 7
7. 23
（二）解下列方程
1. x x 125232=
=-； 2. x x 1291==-； 3. x x 1211==-； 4. x =5332
± 5. x x 12125=-=；
（三）解答题
1. 733724
± 2. m =4。