05公共基础真题+详解

2005年上午试题答案1. 设，，c 均为向量，下列等式正确的是：a b 2|2（A ） （B ）2()()|||a b a b a b +−=−2()||a a b a b =i i （C ） （D ）()22()||||a b a b =i ()a b a b a a b b +×−=×−× 解：选A 。

2()()|||a b a b a a a b b a b b a b +−=−+−=−i i i i 2|，选项（A ）正确；||||cos a b a b θ=i ，2222()||||cos a b a b θ=i ，选项（C ）错误；()()2a b a b a a a b b a b b a a a b b b +×−=×−×+×−×=×−×−×，选项（D ）错误。

点评：a b b a =i i a b b a ×=−×2. 过点且与直线(3,2,1)M −10:234x y z L x y z −−+=⎧⎨0+−+=⎩平行的直线方程是：（A ）321111x y z −+==−−− （B ）322113x y z −+−==− （C ）324113x y z −+==−− （D ）324131x y z −+−== 解：选D 。

直线L 是平面和平面2310x y z −−+=4x y z 0+−+=的交线，直线L 的方向向量1211143213i j kl n n i j k →=×=−−=++−。

3. 过Z 轴和点(1的平面方程是：,2,1)−（A ） （B ）26x y z +−−=020x y −= （C ） （D ）2y z +=00x z += 解：选B 。

过Z 轴的平面方程可表示为，将点0ax by +=(1,2,1)−代入，得2a b =−，即。

20x y −=4. 将椭圆221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是：（A ）2221994x y z ++= （B ）22194x z += （C ）2221944x y z ++= （D ）2221949x y z ++=解：选C 。

点评：5. 下列极限计算中，错误的是：（A ）2lim sin 12n n n x x →∞=i （B ）sin lim 1n xx→∞=（C ）110lim(1)xx x e −→−= （D ）221lim(1x x e x→∞+=解：选B 。

选项（B ），sin lim0x xx→∞=，所以选项（B ）错误。

点评：两个重要极限 0sin lim 1x x x →= 1lim(1x x e x→∞+=6. 设函数，要使2,0()ln(1)1,0x e a x f x x x λ−⎧+≤=⎨++>⎩()f x 在0x =处连续，则的值是：a （A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）λ解：选A 。

200(0)lim ()lim ()1x x x f f x e a a −−−−→→==+=+，00(0)lim ()lim(ln(1)1)1x x f f x x λ+++→→==++=，要使()f x 在点0x =处连续，则必有(0)(0)f f −+=，即11，得a +=0a =。

7. 设函数，若1,0()2,0x e x f x ax x −⎧+≤=⎨+>⎩()f x 在0x =处可导，则的值是：a （A ）1 （B ）2（C ）0 （D ）-1 解：选D 。

导数，要使,0'(),0x e x f x a x −⎧−≤=⎨>⎩()f x 在0x =处可导，则左右导数应分别存在并相等，'(0)1f −=−，'(0)f a +=，则。

1a =−8.解：选C 。

22(,,)F x y z x y z =−−，法向量(,,)(2,2,1)2,1)x y z n F F F x y ==−−=−。

点评：曲面的法向量为(,,)F x y z (,,)x y z n F F F =9.解：选D 。

1100191010ln10ln10x x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∫，选项（D ）错误。

点评： '()ln x xa a a =1ln xxa dx a c a=+∫220sin cos nn xdx xdx ππ=∫∫10.解：选B 。

积分区域相同，比较积分函数大小即可。

先比较01x <<时，x 和sin x 的大小。

令()sin f x x =−x ，，(0)0f ='()1cos 0f x x =−≥，即()f x 在区间[]0,1内单调上升，所以，得()(0)0f x f >=sin x x >； 同理，比较01x <<时，sin x 和ln x 的大小。

令()sin ln f x x x =−(1)sin1f =，，1'()cos 0f x x x=−<，即()f x 在区间[]0,1内单调下降，所以，得sin ()(1)sin10f x f >=>ln x x >； 综上所述，ln sin x x x <<，所以132I I I <<。

11.解：选A 。

积分区域可表示为：2222:1xy z x y D x y ≤≤++≤⎪⎩，用极坐标表示为，cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，20201r r z r θπ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩。

12.解：选C 。

弧长的计算式为ds =，则弧长111320022(1)133s ds x ⎡⎤====+=⎢⎥⎣⎦∫)。

点评：记忆，对形如，弧长的计算式为()y y x=ds =； 对形如()(()x t t y t φ)αβϕ=⎧<<⎨=⎩，弧长的计算式为ds =。

13.解：选A 。

sinn π≤，级数3121n n ∞=∑为p −级数，312p =>，则级数3121n n ∞=∑收敛；由比较审敛法知，1sinn n π∞= 点评：14.解：选B 。

由2301(1)1...(11)1n n n x x x x x x ∞==−=−+−+−<<+∑， 则12311(1)...1(11)11n n n xx x x x x x x∞−=−=−++=−=−<<++∑。

15.解：选B 。

由题意知此傅里叶级数只含有正弦项，则()f x 必为奇函数，所以()(22S S )ππ−=−。

由于2x π=是间断点，11()(()())()2222224S f f 3ππππππ−+=+=+=。

点评：16.解：选D。

举反例，1nun=，1lim lim0nn nun→+∞→+∞==，但是级数11nn∞=∑发散，选项（A）错误。

选项（B）为比值审敛法，但是必须是正项级数才是正确的。

选项（D）是充要条件，级数收敛的定义。

点评：17.解：选D 。

此为一阶线性方程，其中，()()P x p x =−()0Q x =。

点评：18.解：选B 。

事件全集为：“两次均成功”，“两次均失败”，“第一次成功且第二次失败”，“第一次失败且第二次成功”。

19.解：选A 。

9()E X μ=，291()9D X σ=，则910910()()()E X X E X E X μμ0−=−=−=，291091010()()()9D X X D X D X σ−=+=。

20.解：选C 。

选项（A ）、（B ）、（D ）均是分布函数的性质，不是概率密度的。

21.解：选B 。

11||3||||||||2B BA B A A −−===A A −=|||||。

点评： |1||||B A B =| || |TA A =A 22.解：选C 。

[]1212......n n a a A BC b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由()min((),())R AB R A R B 1≤=，又矩阵A 不是零矩阵，则。

()1R A =点评：23.解：选D 。

选项（A ）、（B ）、（C ）、（D ）一一代入验证即可。

24.解：选A 。

2222()(,0,2)(,,)(2,1,3)A A A xy z x yz xy xz xy yz z z zϕϕϕ∂∂∂=+=+−=−∂∂∂。

25. 一定质量的理想气体，在温度不变的条件下，当压强降低时，分子的平均碰撞次数Z 和平均自由程λ的变化情况是：（A ）Z 和λ都增大 （B ）Z 和λ都减小 （C ）λ减小而Z 增大 （D ）λ增大而Z 减小 解：选D 。

理想气体状态方程，，其中为单位体积内的分子数，即分子数密度；温度不变，压强降低，则n 减小。

p nkT =n分子的平均自由程为λ=，因此λ增大。

分子平均碰撞频率2Z d nv =不变，则减小，则n Z 减小。

26.解：选C 。

刚性双原子分子的自由度为5。

27.解：选C 。

28.解：选C 。

点评：类似例题如下29.解：选A 。

因为是真空，所以并不对外做功。

又是绝热，所以没有热量传递，因此内能也不变，所以温度不变。

由理想气体状态方程mpV RT M=，V 增加，则压强减小。

30.解：选C 。

平面简谐波的通用表达式为0sin(()x y A t uωφ=−+。

则cos((x y A B t B C=−，得波速B u C =，角频率为B ω=，周期22T B ππω==， 波长2uT Cπλ==。

31.解：选C 。

3003100u m f λ===，相位差为13π，即相距10.56m λ=。

32.33.解：选C 。

第一级暗纹，即1k =sin sin()6a a πθλ==，得2a λ=。

34.解：选D 。

概念题。

35.解：选A 。

第一个偏振片为起偏振器，自然光通过起偏振器后成为偏振光，光强为自然光强度的1/，即21012I I =。

由马吕斯定律，2211cos (60)80I I I == 。

点评：36.解：选D。

理想气体状态方程mPV RTM=，与P M成反比。

37. 波函数角度分布的形状是：zP（A）双球形（B）球形（C）四瓣梅花形（D）橄榄形解：选A。

这题是概念题，s 、p 、d 原子轨道的角度分布图的平面示意图如下，记忆。

38. 24号元素的基态原子价层电子分布正确的是：Cr （A ） （B ） 4034d s 5134d s （C ） （D ） 434d s 2142344d s p 解：选B 。

39. 用杂化轨道理论推测下列分子的空间构型，其中为平面三角形的是： （A ） （B ）3NF 3BF （C ） （D ） 3S A H 3b S H 解：选B 。