河南省实验中学2019届九年级上学期期中数学试卷(解析版)

河南省实验中学2018——2019 学年九年级上期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A x 2 +=0 B. ax2+bx +c = 0 C. D.
【答案】C
【解析】
根据一元二次方程的定义.易得答案C.
2.桌面上放着1 个长方体和1 个圆柱体，按下图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
圆柱体的左视图是矩形且圆柱先看到，所以选C.
3.有A、B 两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A 袋中的两只球上分别写了“细”“致” 的字样，B 袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
列举出所有情况, 看刚好能组成“细心”字样的情况数占所有情况数的多少即可.
【详解】解: 共有4种情况,分别为“细信”、“细心”、“致信”、“致心”, 恰好能组成“细心”字样的情况数有1种, 所以概率为.
故选B.
【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题; 得到刚好能组成“细心”字样的情况数是解决本题的关键; 用到的知识点为: 概率等于所求事件数与总事件数之比.
4.由5a=6b（ab≠0），可得比例式（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质, 两外项的积等于两内项的乘积, 对各选项逐项分析, 即可得出正确答案.
【详解】解:A:5a-5b=b,5a=6b,故选项A正确;
B:ab=30,故选B项错误;
C: ab=30, 故选项C错误;
D:6a=5b,故选项D错误;
故选A.
【点睛】考查了比例的基本性质, 在比例里, 两个外项的乘积等于两个内项的乘积.
5.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 邻边互相垂直
【答案】C
【解析】
试题分析：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
考点：菱形的性质；矩形的性质．
6.若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1＜y3＜y2
B. y1＜y2＜y3
C. y3＜y2＜y1
D. y2＜y1＜y3
【答案】D
【解析】
试题分析：直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征
7.如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）
A. 4
B. 4
C. 6
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可得,可得出,可求出AC的长。

【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以，根据“相似三角形对应边成比例”，得，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=,
故选B.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质。

灵活运用相似的性质可得出解答。

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3，6)、B(-9，-3)，以原点O为位似中心，相似比为,把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( )
A. (-1，2)
B. (-9，18)或(9，-18)
C. (-9，18)
D. (-1，2)或(1，-2)
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据题意做出位似后的三角形，分两种情况讨论即可。

【详解】解：因为是由位似而来, 所以, 因为相似比为,所以点的坐标
为,即(-1,2).根据图中可知, 与以O为对称点呈中心对称,所以的坐标是(1,-2).故的坐标
为(-1,2)和(1,-2).
故选D.
【点睛】本题主要考查图形的位似、平面直角坐标系的有关概念以及相似三角形的判定与性质。

9.如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-的图象交于A、B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函
数的图象于点C，连接BC，则△ABC 的面积为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.
【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，
如图，
∵反比例函数y=-为对称图形，
∴O为AB 的中点，
∴S△AOC=S△COB，
∵由题意得A点在y=-上，B点在y=上，
∴S△AOD=×OD×AD=xy=1；
S△COD=×OC×OD=xy=2；
S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，
∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.
故答案选C.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.
10.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC= 6，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC 于F，连接DB′，若△DB′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（）
A. 6
B. 3
C. 3
D. 6-6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据B 关于AE 的对称点为B′，可得，等腰直角三角形，可得三点共线，可求出BE的长。

【详解】解：,
又△DB′F 为等腰直角三角形，,
又在矩形ABCD，,,
又，等腰直角三角形,
,,
三点共线，
在等腰直角△RCE，CE=CD=6,
BE=BC-CE=,
故选D..
【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出三点共线是解题关键。

二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
11.如果，那么的值是_____________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例的性质，将原式进行变形可得到3b=2a，然后再利用比例的性质即可求得答案.
【详解】∵，
∴3（a+b）=5a，
∴3b=2a，
∴=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.
12.若关于x 的一元二次方程kx2- 2x -1 = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是_____．
【答案】k≥﹣1 且k≠0
【解析】
【分析】
根据方程的根的情况对k进行讨论运算即可。

【详解】当k=0时, 方程为一元一次方程, 不符合题意; 当k≠0时, 方程为一元二次方程, 则
, 则k>-1且k#0.综合以上两种情况可得: k≥﹣1 且k≠0.
故答案：k≥﹣1 且k≠0。

【点睛】根据方程的根的情况进行判定计算
13.如图，在A 时测得某树(垂直于地面)的影长为4 米，B 时又测得该树的影长为16 米，若两次日照
的光线互相垂直，则树的高度为_____米．
【答案】8
【解析】
【分析】
1、根据题意画出示意图, 设树顶为C, 树底为D, A时树顶影子的端点为E, B时树顶影子的端点为F.由题意可得CD⊥EF、EC⊥CF、DE=4m,DF=16m;
2、题目已知CD⊥EF、EC⊥CF, 通过推理不难得到;
3、根据相似三角形的对应边成比例可得, 接下来将已知各边的长度代入, 即可求出DC的长, 于是问题即可解决.
【详解】解：依题意可作如图
可得CD⊥EF、EC⊥CF、DE=4m,DF=16m，
可得：,,又CD⊥EF、EC⊥CF
,
可得：，代入DE=4m,DF=16m，可得DC=8m
所以答案：8
【点睛】此题主要考查相似三角形的对应边成比例，正确理解题意画出示意图是解题关键。

14.如图，平行四边形ABCD 中，A（﹣1，0）、B（0，﹣2），顶点C、D 在双曲线y=（x＞0）上，边AD 交y 轴于点E，若点E 恰好是AD 的中点，则k=_____．
【答案】
【解析】
试题解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2，
设C（m+1，n），D（m，n+2），
则（m+1）n=m（n+2）=k，
解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2），
∵点E是AD的中点
∴OA=OF=1
∴m=1，2m+2=4
∴k=1×4=4.
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用
边的关系设双曲线上点的坐标，即可求解．
15.在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB= ，AP=1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB、BC 于点E、F，连接EF（如图1）．当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图2）.将直角尺从图2 中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路径长为__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
设线段EF的中点为O,连接OP,OB,利用直角三角形斜边上的中线性质得
OP=OB=EF,则利用线段垂直平分线定理2的逆定理可得O点在线段BP的垂直平分线上,再确定旋转开始和停止时EF的中点位置,然后根据三角形中位线性质确定线段EF的中点所经过的路径(线段)长
【详解】解：如图：
设线段EF的中点为O,连接OP,OB,如图,
在Rt△EPF中,OP=EF,
在Rt△EBF中,OB=EF
OP=OB,
O点在线段BP的垂直平分线上,
如图,当点E与点B重合时,点F与点C重合时,EF的中点为BC的中点O,
当点E与点,A重合时,EF的中点为PB的中点O,
OO'为△PBC的中位线,
OO'=PC=,
.线段EF的中点经过的路线长为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线及线段垂直平分线定理的性质，最后根据三角形中位线性质可求出解答。

注意知识的灵活运用及迁移。

三、解答题（本大题共8 题，共75 分）
16.解下列方程:
（1）2x2−7x+3=0 （2）(x−2)2=2x−4
【答案】（1）x1=，x2=3．（2）x1=2，x2=4．
【解析】
【分析】
（1）先把方程左边分解得到(2x-1)(x-3)=0,原方程转化为2x-1=0或x-3=0,然后解一次方程即可.
（2）移项后提取公因式x-2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可.
【详解】解：（1）2x2﹣7x+3=0，原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）=0
∴2x﹣1=0 或x﹣3=0，∴x1=，x2=3．
（2）（x﹣2）2=2x﹣4．原方程可变形为（x﹣2）2=2（x﹣2），移项得，（x﹣2）
2﹣2（x﹣2）=0，提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）=0，∴x﹣2=0 或x﹣4=0，
∴x1=2，x2=4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程（1）因式分解法:先把方程右边变形为0,然后把方程左边进行因式分解,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程,再解一次方程可得到一元二次方程的解.（2）关键是先移项, 然后提取公因式, 防止两边同除以x-2, 这样会漏根.
17.将牌面数字分别是1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5 的概率是；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4 的倍数的概率．【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）共有4种情况，其中数字是偶数的由2种，所以概率为；（2）共有6种情况，符合要求的有2种，故概率为=；（3）先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
试题解析：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；
（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；
（3）根据题意，画树形图如图所示。

由树形图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44；其中恰好是4的位数的共有4种：12，24，32，44，所以P（4的倍数）=．
考点：简单事件的概率．
18.已知关于x的一元二次方程。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。

当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程中，，∴。

∴方程有两个不相等的实数根。

（2）∵由，得，
∴方程的两个不相等的实数根为。

∵△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
∴有两种情况：
情况1：，此时，满足三角形构成条件；
情况2：，此时，满足三角形构成条件。

综上所述，或。

【解析】
（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC 为等腰三角形，然后求出k的值．
解：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
考点：1．根的判别式；2．解一元二次方程-因式分解法；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．19.在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E、F 分别在AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）若DE =BC，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】
分析：
（1）由已知条件易得∠CED=∠BFD，BD=CD，结合∠BDF=∠CDE即可证得：△BDF≌△CDE；（2）由△BDF≌△CDE易得DE=DF，结合BD=CD可得四边形BFCE是平行四边形，结合DE=BC可得EF=BC，由此即可证得平行四边形BFCE是矩形.
详解：
（1）∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD.
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（AAS）.
（2）四边形BFCE是矩形.理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
又∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形.
∵DE=BC，DE=EF，
∴BC=EF，
∴平行四边形BFCE是矩形．
点睛：熟悉“平行四边形和矩形的判定方法”是解答本题的关键.
20.如图，一次函数y=﹣x+4 的图象与反比例y=（k 为常数，且k≠0）的图象交于
A（1，a）、B（b，1）两点.
（1）求点A、B 的坐标及反比例函数的表达式；
（2）在x 轴上找一点，使P A+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时P A+PB的值最小，求出直线A D的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
试题解析：（1）将代入得，，令，，，，
（2）作关于轴的对称点，连接
：，
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
21.某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元，每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．
【解析】
试题分析：（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可
试题解析：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2=32.4
x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率10%；
（2）设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（+48）=512，
解得y1=y2=2
∵有利于减少库存，
∴y=2．
答：每件商品应降价2元．
考点：一元二次方程的应用
22.如图，已知矩形OABC，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0）， C（0，3），点
P 以每秒1 个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB 交x 轴于点E，连接
PE 交AB 于点F，设运动时间为t 秒．
（1）当t=2 时，求点E 的坐标；
（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E 为顶点的三角形与△PCB 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（5，0）；（2）存在.
【解析】
【分析】
(1)本题需先求出AB=AE,再求出DE=5,即可求出点E的坐标.
(2)本题需先求出CP=CB=2,即可求出t的值.(3)本题需先证出△BCP~△BAE,求出
AE= t,再证出△POE~△PCB,求出的t值,再求出OP的长,即可求出P的坐标.
【详解】解：（1）当t=2 时，PC=2，∵BC=2，∴PC=BC，∴∠PBC=45°，∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，∴AB=AE=3，OE=5，∴点E 的坐标是（5，0）；
（2）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°
∠PBC+∠ABP=90°
∴∠ABE=∠PBC
∵∠BAE=∠BCP=90°
∴△POE△BAE
∴=
∴=
∴AE=t
∵若△POE△PCB
∴
∴=
,(舍去)
∴P的坐标为（0，）.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键,这是一道好题.
23. （12分）（2015•锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．
【答案】（1）DE+DF=AD；（2）详见解析；（3）①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质，易证△APE≌△DPF，即可得AE=DF，所以DE+DF=AD；（2）取AD的中点M，连接PM，根据菱形的性质，即可得△MDP是等边三角形，利用SAS易证△MPE≌△FPD，再由全
等三角形的对应边相等可得ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD；（3）①当点E落在AD 上时，DE+DF=AD，②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF 最大，即AD＜DE+DF≤AD．
试题解析：解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；
（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△FPD中，
∴△MPE≌△FPD（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=AD；
（3）如图，
在整个运动变化过程中，
①当点E落在AD上时，DE+DF=AD，
②当点E落在AD的延长线上时，DE+DF逐渐增大，当点F与点C重合时DE+DF最大，
即AD＜DE+DF≤AD．
考点：四边形综合题．。