春季五年制小学奥数四年级规律性问题—数列

按照一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、……、第n 项、……
项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。

项数无穷的数列叫做无穷数列。

等差数列：如果一个数列{a n }，从第2项起的每一项a n 与它的前一项a n －1的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。

通项公式：等差数列{a n }中，第n 项＝首项＋(项数－1)×公差，即a n ＝a 1＋(n －1)×d (n 为正整数) 项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1，即n ＝(a n －a 1)÷d ＋1(n 为正整数)
求和公式：等差数列{a n }中，和＝(首项＋末项)×项数÷2，即1()2
n n a a n S +⨯=(n 为正整数) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列{a n }，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当n 为正奇数时121122n n n n a a a S a a a n n +++++=
== (12)
n n S a n +=⨯ 常见算式公式求法：(1)123(1)2
n n n n ⨯+++++-+=
(n 为正整数) 1＋3＋5＋…＋(2×n －3)＋(2×n －1)＝n 2(n 为正整数)
1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2(n 为正整数) 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6…问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？
在一串分数：11211232112343211222333334444444
，，，，，，，，，，，，，，，，… ⑴
710
是第几个分数？⑵第400个分数是几分之几？
例2 例1
规律性问题—数列
例3
观察下面的序号和等式，填括号。

序号等式
1 1＋2＋3＝6
3 3＋5＋7＝15
5 5＋8＋11＝24
7 7＋11＋15＝33
………
( ) ( )＋( )＋7983＝( )
例4
将自然数按如下顺次排列：
1 2 6 7 15 16…
3 5 8 1
4 17…
4 9 13 …
10 12 …
11 …
在这样的排列下，3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？
例5
自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。

在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…问拐第二十个弯的地方是哪一个数？
测试题
1．有一列数：1，1989，1988，1，1987，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。

那么第1989个数是。

2．已知一串有规律的数：1，
23，58，1321，3455，……，那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是。

（A ）233377 （B ）610987 （C ）41816765 （D ）15972584
3．有许多等式:
2461353++=+++；81012147911134+++=++++；161820222415171921235++++=+++++；
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
那么第10个等式的和是_______
（A ）1668 （B ）1670 （C ）1882 （D ）1536
4．把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第2008个数是多少．
5
26
137
48
9
（A ）4028051 （B ）4030057 （C ）4032065 （D ）4032083
5．观察下面的数表：
11
； 21,12
； 321,,123
； 4321,,,1234
； 54221,,,,12345
； 根据前五行数所表达的规律，说明
1949
1991这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左向右的第几个?
6．(猫吃老鼠的变形)
一只猫抓了32只老鼠，让它们站成一个圆圈，编号从1~32，从1号开始，吃掉1，跳过2，吃掉3，跳过4，一直下去，吃一个，跳过一个，直到只剩下一只老鼠，求这个老鼠的编号是？
答案
1．D ；数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…，中每3个数有一个1，去掉1以后，每个数比前一个少1。

19893663÷=，所以第1989个数是198966321664-⨯+=。

2．C ；每个分数的分子等于前一个分数的分母加分子；每个分数的分母等于分子加前一个分数的分母，
所以第6、7、8、9、10个分数依次为：
89144，233377，610987，15972584，41816765。

3．A ；前九个等式左边的数共有34113119263+++=+⨯÷=（）（个）数，那么第十个等式左边第一个数是6312128+⨯=（），所以第十个等式的和是1281301501281501221668+++=+⨯÷=（）．
4．甲必胜
因为拿最后一根是输，那么谁拿到倒数第二根，给对方剩下一根，就赢了，所以把最后一根排除在外，69根，拿到最后一根算赢，甲先乙后，则甲构造和6，先拿掉3根，给对方留下6的倍数，不管乙取几根，甲都取和为6。

5．B ；方法一：2008行第一个数字为[]20071120062214028050⨯++⨯÷+=（） 2008行最后一个数字为[]2008112007224032064⨯++⨯÷=（）
所以，2008行中间的数字为4028050403206424030057+÷=（）。

方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6
所以，第2008个数为1246200721220072200724030057+++++⨯=++⨯⨯÷=（）。

6．注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6。

由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1． 其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几。

因此，19491991所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，1949
1991位于从左至右 第1949个数。