广西桂林市第十八中学2015届高三全真模拟(二)数学(理)试卷

绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
(桂林十八中适应性考试2)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（）
A． B． C． D．
2. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）
A. B. C. D.
3．若等比数列的前n项和，则
A．4 B．12 C．24 D．
4. 设a＝0.36，b＝log36，c＝log510，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
6. 有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有
A．26种 B．32种 C．36种 D．56种
7.已知不等式组构成平面区域(其中,是变量)。

若目标函数
的最小值为-6，则实数的值为（）
A． B．6 C．3 D．
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
则的取值范围是（ ）
A． [1，2] B．[0，1] C．[0，2] D． [﹣5，2]
10. 已知函数的最小正周期为，最小值为，将函数的图像向左平移（＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为，则的值不可能为（）
A． B． C． D．
11. 如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，
若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为（）
A．　B C．　D．[]
12. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的“类对称点”的横坐标是（）
A．1 B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 二项式的展开式中的常数项是________.
14. 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点，则该点落在中的概率为。

15. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为_________。

16. 已知数列的前n项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为_________。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
18.（本小题满分12分）
某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：
支持不支持合计中型企业80 40 120 小型企业240 200 440 合计 320 240 560 （Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。

记表示所发奖励的钱数，求的分布列和数学期望：
附：
0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635
19.（本小题满分12分）
如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。

(Ⅰ) 求证:；
(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。

20.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点到准线的距离为2。

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图所示，直线与抛物线相交于,两点，为抛物线上异于,的一点，且轴，过作的垂线，垂足为,过作直线交直线BM于点,设的斜率分别为，且。

①线段的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由;
②求证:四点共圆.
21．（本小题满分12分）
请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（本小题满分10分）
22.选修4－1：几何证明选讲
如图所示，为圆的直径，为圆的切线，为切点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若圆的半径为2，求的值.
23.选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
24.选修4-5：不等式选讲
已知函数的解集为
（Ⅰ）求k的值；
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案
一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.答案：B
解析：有元素1，2的是，分析选项则只有B符合。

2.答案：A
解析：，所以。

3.答案：B
4. 设a＝0.36，b＝log36，c＝log510，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
4.答案：B
解析：根据公式变形，a＝0.36<1，，因为lg 5＞lg 3，
所以，即a＜c＜b.故选B.
5.答案：A
解析：该几何体是下面是一个三棱柱，
上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。

其体积为。

6.答案：36
解析：先从4名优秀学生，，，中选出2名保送到甲，乙，丙3所学校中的某一所，有种方案；然后将剩余的2名优秀学生保送到剩余的2所学校，有种方案；故不同的保送方案共有种。

7.答案：C
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
因为，故。

可知在C点处取得最小值，
联立解得即，故，解得。

8.答案：C
解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出
. 故选C。

9.答案：D
解析：∵D是边BC上的一点（包括端点），
∴可设
,,,
的取值范围是。

10.答案：B
解析：，依题意，，所以，因为，解得，故，故，所以，即。

将函数的图片向左平移（＞0）个单位后得到，因为函数的一条对称轴为。

故，解得，观察可知，选B。

11.答案：D
解析：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，
由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，
∵BD∥FG，∴,求得p=，
因此抛物线方程为y2=3x。

12.答案：B
解析：由于，则在点P处切线的斜率.
所以切线方程为
，
则，.
当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；
当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；
所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故
所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：45
解析：，则，故常数项为。

14.答案：
解析：由几何概型得，该点落在中的概率为
15.答案：32
解析：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2。

所求球的表面积为：4（2）2=32。

16.答案：4
解析：当时，得，；
当时，，两式相减得，得，
所以。

又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即。

因为，所以不等式，等价于。

记，时，。

所以时，。

所以，所以整数的最大值为4。

17.解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° ,PA=1，∴AB=(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=(千米)…………3分
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90° …….6分
(2)∠DAC=90°－60°=30°，sin∠DCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°.
……….9分
在△ACD中，据正弦定理得，
∴答：此时船距岛A为千米………… 12分.
18.解：（Ⅰ）K2＝≈5.657，………… 4分
因为5.657＞5.024，
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3，
按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．
设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为
（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，
X的可能取值为90，130，170，210．………… 7分
P(X＝90)＝＝， P(X＝130)＝＝，
P(X＝170)＝＝， P(X＝210)＝＝，………… 9分(每两个1分)
分布列如下：
X 90 130 170 210 P ………… 10分
期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180 ………… 12分
19.解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
所以,,又,,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为,所以。

…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.…………6分
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分
则,,,,
由可得点的坐标为,
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,…………8分
显然平面的一个法向量为,…………9分
依题意,………… 10分
解得或(舍去), ………… 11分
所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分 20.解: （Ⅰ） ………… 3分
（Ⅱ）①设,则,
直线的方程为：…………4分
由消元整理可得：
所以 ………… 5分
可求得：
直线的方程为：所以可求得…………6分
所以===4………… 7分
②的中点 ………… 8分
则的中垂线方程为：
与BC的中垂线轴交点为： ………… 9分
所以的外接圆的方程为：
…………10分
由上可知
………… 11分
所以四点共圆. ………… 12分
22.解：(I)连接是圆的两条切线，
，
,又为圆的直径，
，
,
,即得证，………… 5分
(II),,
△∽△，
。

…………10分
23.解：（I）圆的参数方程为（为参数）
所以普通方程为
圆的极坐标方程：…………5分
（II）点到直线：的距离为△的面积 所以△面积的最大值为………… 10分
24.解：（Ⅰ）因为，所以等价于
由有解，得，且其解集为
又的解集为，故 ………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又是正实数，
由均值不等式得
当且仅当时取等号。

也即………… 10分
z y x O M D C B A P。