高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课后导练

高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课后导练 苏教版
必修4
基础达标
1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2)
B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)
C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)
D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-43
)
解析：e 1与e 2应非0且不共线，只有B 适合.
答案：B
2.已知a =(-1,3),b =(-1,x),且a ∥b ，则x 等于（ ） A.3 B.-31 C.31
D.-3
解析：由a ∥b ，得-x=-1×3,x=3.
答案：A
3.下列各式正确的是（ ）
A.a =(-2,4) b =(5,2) 则a +b =(3,6)
B.a =(5,2) b =(2,4) 则a -b =(-3,2)
C.a =(1,0) b =(0,1) 则a +b =(0,1)
D.a =(1,1) b =(1,2) 则2a +3b =(4,8) 解析：用向量坐标运算的法则来解，逐一计算，只有A 正确.
答案：A
4.已知A （1,-3）,B(8, 21
)且A 、B 、C 三点共线，则C 点的坐标是（ ）
A.（-9，1）
B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1） 解析：设C(x,y)，则=(7,27),=(x-1,y+3).
∵A、B 、C 三点共线， ∴AB∥, ∴7(y+3)=27
(x-1),7x-14y-49=0.只有C 满足.
答案：C
5.设a =（31
，t a nα）,b =(cosα, 23
),且a ∥b ，则锐角α的值为（ ）
A ．12π
B ．6π
C ．4π
D ．3π
解析：∵a ∥b ,∴31×23
-t a nα·cosα=0，
即sinα=21,α=6π
.
答案：B
6.若A 点的坐标为A （1，2），O 为原点，且'OA =2OA ，则A′点的坐标（ ）
A.（1，4）
B.（2，2）
C.（2，4）
D.（4，2）
解析：设A （x,y ）.由（x,y ）=2(1,2),得x=2,y=4.
答案：C
7.若|a |=32,b =(-1,3)，且a ∥b ,则a =____________.
解析：设a =(x,y)，
则⎩
⎨⎧=+=+,03,1222y x y x 解出x,y. 答案：(530,3053-)或（-530,305
3） 8.已知点A 、B 、C 的坐标分别是（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2BC =___________，-21=_________________. 解析：=（-2，10），=（-8，4），∴+2=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),用同样方法得-21=(-3,-3). 答案：（-18,18） (-3,-3)
9.已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4).试用a 和b 来表示c .
解：设c =λ1a +λ2b .
将已知坐标代入有
(7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)
=(3λ1-2λ2，-2λ1+λ2).
故⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+-=-3.2,1,42,722
12121λλλλλλ 故c =a -2b .
10.已知向量a =(5,2),b =(x 2+y 2,xy),且a =b ,求x,y 的值.
解：根据两向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等,
)2()1(2
522⎩⎨⎧==+xy y x ①+②×2得（x+y ）2=9,
①-②×2得（x-y ）2=1,
可有⎩⎨⎧±=-±=+,
1,3y x y x
解得⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,2,2,1,2,1,1,2y x y x y x y x 综合运用
11.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（1，-5），则第四个顶点的坐
标为（ ）
A.（1，5）或（5，-5）
B.（1，5）或（-3，-5）
C.（5，-5）或（-3，-5）
D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5） 解析：设出第四个顶点坐标（x,y ），根据点写出向量坐标，再用向量相等求出. 答案：D
12.已知向量e 1≠0，λ∈R，a =e 1+λe 2,b =2e 1.若a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是（ ）
A.λ=0
B.e 2=0
C.e 1∥e 2
D.e 1∥e 2或λ=0 解析：若e 1与e 2共线.当e 1与e 2同向时，a =e 1(1+λ1)=2
11λ+·b ，满足题意；当e 1与e 2反向时，a =(1-λ2)e 1=b 2
11λ-，满足题意. 若e 1与e 2不共线.由a ∥b ，可知，λ=0.
答案：D
13.设①AB =2
2(a +5b ) ②BC =-2a +8b ③CD =3(a -b )，则共线的三点是（ ） A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 解析：=-2a +8b , =3a -3b , ∴=BC +CD =a +5b . 从而=
22. 答案：C
14.(2004上海高考)已知点A （1，-2），若向量AB 与a =（2，3）同向，|AB |=132，则点B 的坐标为__________________.
解析：设=（x,y ）,因与a 同向，∴=λa (λ>0),即（x,y ）=λ(2,3)， ∴⎩⎨⎧==,
3,2λλy x 又||=132，∴x 2+y 2=52.
∴4λ2+9λ2=52,λ=2(λ>0).即=（4，6）. ∴点B 的坐标为（5，4）.
答案：（5，4）
15.已知a =(1,2),b =(-3,2).当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时，它们是同向还是反向？
解：k a +b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a -3
b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ,
使k a +b =λ(a -3b ).
于是(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
∴⎩⎨⎧-=+=-.
422,103λλk k
解得k=-31,λ=-
31. 故k=-3
1时，k a +b 与a +3b 平行. 这时k a +b =-3
1a +b ， ∵λ=-3
1＜0， ∴-3
1a +b 与a -3b 反向. 拓展探究 16.已知△ABC 的面积为14 c m 2,D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB =BE∶EC=2∶1，求
△APC 的面积.
思路分析：据题目所给的比例关系解出△PAB，与△PBC 的面积，再相减得到所求. 解：设=a , =b .
则=a +32b , =3
1a +b . ∵点A 、P 、E 与D 、P 、C 分别共线，
∴存在λ和μ，使得
AP =λAE =λa +3
2λb , =μ=3
1μa +μb . 又∵=+=(32+3
1μ)a +μb , ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.74,7632,3132μλμλμλ
∴S △PAB =
74S △ABC =14×7
4=8 c m 2. ∴S △PBC =14×(1-76)=2 c m 2. 故S △APC =14-8-2=4 c m 2
.。