高中数学题型技巧7洛必达法则

⾼中数学题型技巧7洛必达法则
⾼中数学题型技巧7 洛必达法则
在解决不等式恒(能)成⽴，求参数的取值范围这⼀类问题时，最常⽤的⽅法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“0/0”型的代数式，就设法求其最值．“0/0”型的代数式，是⼤学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效⽅法就是利⽤洛必达法则．
洛必达法则
法则1　若函数f(x)和g(x)满⾜下列条件
法则2　若函数f(x)和g(x)满⾜下列条件
例1　已知函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意x>0都有f(x)>ax成⽴，求实数a的取值范围．
解　⽅法⼀　令φ(x)＝f(x)－ax＝(x＋1)ln(x＋1)－ax(x>0)，
则φ′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，
∵x>0，∴ln(x＋1)>0.
(1)当1－a≥0，即a≤1时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
⼜φ(0)＝0，
∴φ(x)>0恒成⽴，故a≤1满⾜题意．
综上有a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
⽅法⼆　x∈(0，＋∞)时，(x＋1)ln(x＋1)>ax恒成⽴，
∴a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．
例2　已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值．
(2)当x>0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝ex－1＋xex－2ax
＝(x＋1)ex－2ax－1，
依题意知f′(－1)＝2a－1＝0，∴a＝12.
(2)⽅法⼀　当x>0时，f(x)≥0，
即x(ex－1)－ax2≥0，
即ex－1－ax≥0，
令φ(x)＝ex－1－ax(x>0)，则φ(x)min≥0，
φ′(x)＝ex－a.
①当a≤1时，φ′(x)＝ex－a>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，
∴a≤1满⾜条件．
②当a>1时，若0<x<ln a，则φ′(x)<0，
若x>ln a，则φ′(x)>0.
∴φ(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(ln a)＝a－1－aln a≥0.
令g(a)＝a－1－aln a(a>1)，
∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a<0，
∴g(a)在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(a)<0与g(a)≥0⽭盾，
故a>1不满⾜条件，
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
⽅法⼆　当x>0时，f(x)≥0，
∴a≤1.
故实数a的取值范围是(－∞，1]．。