第一章绪论第二章受轴向拉伸(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

第一章绪论
同济大学航空航天与力学学院顾志荣
一、教学目标和教学内容
1、教学目标
⑴了解材料力学的任务和研究内容；
(2) 了解变形固体的基本假设；
(3) 构件分类，知道材料力学主要研究等直杆；
(4)具有截面法和应力、应变的概念。

2、教学内容
(1) 构件的强度、刚度和稳定性概念，安全性和经济性，材料力学的任务；
(2)变形固体的连续性、均匀性和各向同性假设，材料的弹性假设，小变形假设；
(3)构件的形式，杆的概念，杆件变形的基本形式;
(4)截面法，应力和应变。

二、重点与难点
重点同教学内容，基本上无难点。

三、教学方式
讲解，用多媒体显示工程图片资料，提出问题，引导学生思考，讨论。

四、建议学时
1～2学时
五、实施学时
六、讲课提纲
1、由结构与构件的工作条件引出构件的强度、刚度和稳定性问题。

强度：构件抵抗破坏的能力；
刚度：构件抵抗变形的能力；
稳定性：构件保持自身的平衡状态为。

2、安全性和经济性是一对矛盾，由此引出材料力学的任务。

3、引入变形固体基本假设的必要性和可能性
连续性假设：材料连续地、不间断地充满了变形固体所占据的空间；均匀性假设：材料性质在变形固体内处处相同；
各向同性假设：材料性质在各个方向都是相同的。

弹性假设：材料在弹性范围内工作。

所谓弹性，是指作用在构件上的荷载撤消后，构件的变形全部小时的这种性质；
小变形假设：构件的变形与构件尺寸相比非常小。

4、构件分类
杆，板与壳，块体。

它们的几何特征。

5、杆件变形的基本形式
基本变形：轴向拉伸与压缩，剪切，扭转，弯曲。

各种基本变形的定义、特征。

几种基本变形的组合。

6、截面法，应力和应变
截面法的定义和用法；
为什么要引入应力，应力的定义，正应力，切应力；为什么要引入应变，应变的定义，正应变，切应变。

第二章轴向拉伸与压缩
一、教学目标和教学内容
1、教学目标
⑴掌握轴向拉伸与压缩基本概念；
⑵熟练掌握用截面法求轴向内力及内力图的绘制；
⑶熟练掌握横截面上的应力计算方法，掌握斜截面上的应力计算方法；
⑷具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形；
⑸了解低碳钢和铸铁，作为两种典型的材料，在拉伸和压缩试验时的性质。

了解塑性材料和脆性材料的区别。

(6)建立许用应力、安全系数和强度条件的概念，会进行轴向拉压情况下构件的强度计算。

(7)了解静不定问题的定义，判断方法，掌握求解静不定问题的三类方程（条件）：平衡方程，变形协调条件和胡克定律，会求解简单的拉压静不定问题。

2、教学内容
(1) 轴向拉伸与压缩的概念和工程实例；
(2) 用截面法计算轴向力，轴向力图；
(3) 横截面和斜截面上的应力；
(4) 轴向拉伸和压缩是的变形；
(5) 许用应力、安全系数和强度条件，刚度条件；
(6) 应力集中的概念；
(7) 材料在拉伸和压缩时的力学性能；
(8) 塑性材料和脆性材料性质的比较；
(9) 拉压静不定问题
(10)圆筒形压力容器。

二、重点难点
重点：教学内容中的（1）～（5），（7）～（9）。

难点：拉压静不定问题中的变形协调条件。

通过讲解原理，多举例题，把变形协调条件的形式进行归类来解决。

讲解静定与静不定问题的判断方法。

三、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时
8学时
五、实施学时
六、讲课提纲
Ⅰ、受轴向拉伸（压缩）时杆件的强度计算
一、轴向拉（压）杆横截面上的内力
1、内力的概念
（1）内力的含义
（2）材料力学研究的内力——附加内力
2、求内力的方法——截面法
（1）截面法的基本思想
假想地用截面把构件切开，分成两部分，将内力转化为外力而显示出来，并用静力平衡条件将它算出。

举例：求图示杆件截面m-m上的内力
图2-1截面法求内力
根据左段的平衡条件可得：
ΣF X=0 F N-F P=0 F N=F P
若取右段作为研究对象，结果一样。

（2）截面法的步骤：
①截开：在需要求内力的截面处，假想地将构件截分为两部分。

②代替：将两部分中任一部分留下，并用内力代替弃之部分对留下部分的作用。

③平衡：用平衡条件求出该截面上的内力。

（3）运用截面法时应注意的问题：力的可移性原理在这里不适用。

图2-2不允许使用力的可移性原理
3、轴向内力及其符号规定
（1）轴向拉（压）杆横截面上的内力——轴向内力，轴向内力F N 的作用线与杆件轴线重合，即F N是垂直于横截面并通过形心的内力，因而称为轴向内力，简称轴力。

（2）轴力的单位：N（牛顿）、KN（千牛顿）
（3）轴力的符号规定：
轴向拉力（轴力方向背离截面）为正；
轴向压力（轴力方向指向截面）为负。

4、轴力图
（1）何谓轴力图？
杆内的轴力与杆截面位置关系的图线，即谓之轴力图。

例题2-1 图2-3 ,a所示一等直杆及其受力图，试作其轴力图。

(a)
(b)
图2-3
（2）轴力图的绘制方法
①轴线上的点表示横截面的位置；
②按选定的比例尺，用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值；
③正值画在基线的上侧,负值画在基线的下侧；
④轴力图应画在受力图的对应位置，F N与截面位置一一对应。

（3）轴力图的作用
使各横截面上的轴力一目了然，即为了清楚地表明各横截面上
的轴力随横截面位置改变而变化的情况。

（4）注意要点：
①一定要示出脱离体（受力图）；
②根据脱离体写出平衡方程，求出各段的轴力大小；
③根据求出的各段轴力大小，按比例、正负画出轴力图。

二、轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力
1、应力的概念
（1）何谓应力？
内力在横截面上的分布集度，称为应力。

（密集程度）
（2）为什么要讨论应力？
判断构件破坏的依据不是内力的大小，而是应力的大小。

即要判断构件在外力作用下是否会破坏，不仅要知道内力的情况，还要知道横截面的情况，并要研究内力在横截面上的分布集度（即应力）。

（3）应力的单位
应力为帕斯卡（Pascal），中文代号是帕；
国际代号为Pa，1Pa=1N/M2
常用单位：MPa (兆帕)，1 MPa=106Pa=N/MM2
GPa（吉帕），1 GPa=109Pa。

2、横截面上的应力
为讨论横截面上的应力，先用示教板做一试验：
图2-4 示教板演示
观察示教板上橡胶直杆受力前后的变形： 受力前：ab 、cd 为┴轴线的直线
受力后：a ’b ’、c ’d ’仍为┴轴线的直线
有表及里作出
（1）观察变形
（2）变形规律
（3）结论 横截面上各点的应力相同。

即 A F N =
σ （5-1）
式中：σ——横截面上的法向应力，称为正应力；
F N ——轴力，用截面法得到；
A ——杆件横截面面积。

（4） 横截面上正应力计算公式（2-1式）应用范围的讨论：
①对受压杆件，仅适用于短粗杆；
②上述结论，除端点附近外，对直杆其他截面都适用。

申维南（Saint Venant ）原理指出：
“力作用杆端方式的不同，只会使与杆在不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。

”
③对于变截面杆，除截面突变处附近的内力分布较复杂外，其他各横截面仍可假定正应力分布。

（5） 正应力（法向应力）符号规定：
拉应力为正； 压应力为负。

例题 2-2 已知例题2-1所示的等直杆的横截面面积A=400MM 2，求该杆的最大工作应力？
解：由例题2-1轴力图可知，该杆上KN 50max =N F ，所以此杆的最大工作应力为
125MPa N/m 10125m
1040050000N
max
max 262
6=⨯=⨯=
=-A
F N σ
例题2-3 一横截面为正方形的变截面杆，其截面尺寸及受力如图2-5所示，试求杆内的最大工作应力？
（a ） （b ） 图2-5 尺寸单位：mm
（1）作杆的轴力图，见图2-5，b （2）因为是变截面，所以要逐段计算
（压应力）0.87MPa m
1024024050000N
26-=⨯⨯-==
-I NI I
A F σ （压应力）1.1MPa m
10370370N 101502
63-=⨯⨯⨯-==-II NII II
A F σ （压应力）1.1MPa max -==II σσ
3、斜截面上的应力
横截面上的应力 特殊面上的应力 任意截面上的应力 一般面上的应力 推导方法与横截面上正应力的推导一样
特殊 一般
图2-6
（1）观察变形 相对平移 ⎩
⎨
⎧→→'''
'd c cd b a ab
（2）结论 斜截面上各点处的全应力、P α相等
图2-7
显然： P α·A α=F N α (a)
式中：A α—α截面的面积
F N α=P F (b)
∴ P α=α
A
F
P
(c)
斜截面面积A α与横截面面积A 有如下关系：
图2-8
A=A α·cos α
∴P α=
αA F P = αcos /A F P = A
F P
·cos α= σ· cos α 式中的σ=A
P
是杆件横截面上的正应力。

（3）全应力P α的分解： （任取一点o 处）
图2-9
P α：⎩⎨
⎧截面）上的剪应力。

斜截面（：称为：与斜截面相切
截面）上的正应力。

斜截面（称为：：垂直斜截面
ατασαα
ασ= P α·cos α=σ·cos 2α=)2cos 12
ασ
+（ （2-2）
ατ= P α· sin α=σ·sin αcos α=
2
σ
sin2α （2-3） （4） 正应力、剪应力极值：
从式（2-2）、（2-3）可见，ασ、ατ都是α角的函数，因此总可找到它们的极限值
分析式（2-2）可知：当α=0°时，ασ达到最大值，即
0σ=max σ=σ
分析式（2-3），若假定从 x 轴沿轴逆时针转向到α截面的外法
线αn 时，α为正；反之α为负，即
图2-10
则 当α=45°、α=-45°时，ατ达到极值，
45τ=max τ=
2σ
45
-τ=min τ=-2
σ
（5） 剪应力互等定律
由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上的剪应力满足如下关系：
45
τ=-
45
-τ
正、负45º两个截面互相垂直的。

那么，在任意两个互相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而符号相反的规律呢？回答是肯定存在的。

这可由上面的（2-3）式得到证明：
ατ=
2σsin2α =-2
σ
sin2（α+90°）=-
90+ατ 即：通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截面上，垂直于两．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
截面交线的剪应力在数值上必相等，而方向均指向交线或背离．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．交线．．。

这个规律就称为剪应力互等定律。

（6） 剪应力（切向应力）符号规定：
剪应力ατ以对所研究的脱离体内任何一点均有顺时针转动趋势的为正，反之为负。

例题 5-4 一直径为d=10mm 的A 3钢构件，承受轴向载荷F P =36 kN.试求α1=0°、α2=30°、α3=45°、α4=60°、α5=90°、α6=-45°各截面上正应力和剪应力值。

解：①α1=0°时，即截面1-1：
图2-11
0σ=
[]A
F
P
==+σσ
）（
02cos 12 =
459MPa m 104
10
π36000N
2
62
=⨯⨯-
0τ=
002sin 2
=）（ σ
②α2=30°时，即截面2-2：
图2-12
30σ=
[]MPa 3445.12
302cos 12=⨯=+σ
σ
）（
30τ=
MPa 199866.02
302sin 2
=⨯=
σ
σ
）（
③α3=45°时，即截面3-3：
图2-13
45σ=
[]MPa 2302
012452cos 12==+⨯=+σσσ）（）（
45τ=
MPa 23012
452sin 2
=⨯=
σ
σ
）（
④α4=60°时，即截面4-4：
图2-14
60σ=
[][]MPa 1155.02
5.012602cos 12=⨯=-+⨯=+σσσ）（）（
60τ=
MPa 199866.02
602sin 2
=⨯=
σ
σ
）（
⑤α5=90°时，即截面5-5：
图2-15
90σ= 0112=-）
（σ
90τ= 002
=⨯σ
⑥α5=-45°时，即截面6-6：
图2-16
45-σ=
MPa 230012
=+⨯）（σ
45-τ=
MPa 2302
452sin 2
-=-
=-σ
σ
）（
由上述计算可见：max σ发生在试件的横截面上，其值
max σ=
MPa A
F P
459==σ max min τ发生在α=+-45°斜面上，其值max
min τ=
MPa 2302
±=σ
三、轴向拉（压）杆的强度计算 1、 极限应力，安全系数、容许应力
①何谓极限应力？
极限应力是指材料的强度遭到破坏时的应力。

所谓破坏是指材料出现了工程不能容许的特殊的变形现象。

②极限应力的测定
极限应力是通过材料的力学性能试验来测定的。

③塑性材料的极限应力σ°=σ5
④脆性材料的极限应力σ°=σb
（2）安全系数
①何谓安全系数？
对各种材料的极限应力再打一个折扣，这个折扣通常用一个大于1的系数来表达，这个系数称为安全系数。

用n表示安全系数。

②确定安全系数时应考虑的因素：
i）荷载估计的准确性
ii）简化过程和计算方法的精确性；
iii）材料的均匀性（砼浇筑）；
IV）构件的重要性；
v）静载与动载的效应、磨损、腐蚀等因素。

③安全系数的大致范围：
n：1.4～1.8
s
n：2～3
b
①何谓容许应力？
将用试验测定的极限应力σ0作适当降低，规定出杆件能安全工作的最大应力作为设计的依据。

这种应力称为材料的容许应力。

②容许应力的确定：
[]σ=n
σ (n 1) (5-4) 对于塑性材料：[]σ=S
S
n σ 对于脆性材料：[]σ=b
b
n σ
2、 强度条件
（1）何谓强度条件？
受载构件安全与危险两种状态的转化条件称为强度条件。

（2）轴向拉（压）时的强度条件
[]σσ≤=
A
F N
工作应力 （5-5） （3）强度条件的意义
安全与经济的统一 3、 强度计算的三类问题 （1）强度校核：[]σσ≤=
A
F N
（2）截面设计：[]σN F A ≥
（3）确定容许载荷：[]A F N ⋅=σ
例题2-5 钢木构架如图2-16所示。

BC 杆为钢制圆杆，AB 杆为木杆。

若 F P =10kN,木杆AB 的横截面面积 A AB =10000mm 2,容许应力[]AB σ=7MPa;钢杆BC 的横截面积为A BC =600mm 2,容许应力[]BC σ=160MPa
①校核各杆的强度；
②求容许荷载[]P F
③根据容许荷载，计算钢 BC 所需的直径。

（a ） (b)
图2-16
解：
①校核两杆强度 为校核两杆强度，必须先知道两杆的应力，然后根据强度条件进行验算。

而要计算杆内应力，须求出两杆的内力。

由节点B 的受力图（图2-16，b ），列出静力平衡条件：
,0=∑Y F F NBC ·cos60°-F P =0
得 F NBC =2F P =20kN(拉)
,0=∑X F F NAB - F NBC ·cos30°=0
得 F NAB =压）(kN 3.171073.13=⨯=P F
所以两杆横截面上的正应力分别为
pa 1073.110
100001073.1663⨯=⨯⨯==-AB NAB AB A F σ =1.73MPa<[]AB σ=7MPa
pa 103.3310600102066
3
⨯=⨯⨯==-BC NBC BC A F σ =33.3MPa<[]BC σ=160MPa
根据上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的容许应力，强度还没有充分发挥。

因此，悬吊的重量还可以大大增加。

那么 B 点处的荷载可加到多大呢？这个问题由下面解决。

②求容许荷载 因为
[]NAB F =[]70kN 0N 7000101000010766==⨯⨯⨯=⨯-AB AB A σ
[]NBC F =[]96kN 96000N 106001016066==⨯⨯⨯=⨯-BC BC A σ
而由前面已知两杆内力与P 之间分别存在着如下的关系：
P AB F N 3=
[][]kN 4.4073
.1703===∴NAB P F F P NBC F F 2= [][]kN 482
962===∴NBC P F F 根据这一计算结果，若以BC 杆为准，取[]kN 48=P F ，则AB 杆的强度就会不足。

因此，为了结构的安全起见，取[]kN 4.40=P F 为宜。

这
样，对木杆AB 来说，恰到好处，但对钢杆BC 来说，强度仍是有余的，钢杆BC 的截面还可以减小。

那么，钢杆 BC 的截面到底多少为宜呢？
这个问题可由下面来解决。

③根据容许荷载[]kN 4.40=P F ，设计钢杆BC 的直径。

因为[]kN 4.40=P F ，所以NBC F =kN 8.804.4022=⨯=P F 。

根据强度条件
[]BC BC
NBC A F σσ≤= 钢杆BC 的横截面面积应为
[]2463m 1005.510
160108.80-⨯=⨯⨯=≥BC NBC
BC F A σ 钢杆的直径应为
25.4mm m 1054.21005.54424
=⨯=⨯⨯==--ππBC
BC A d
例题2-6 简易起重设备如图2-17所示，已知AB 由2根不等边角钢 L63x40x4组成，[]MPa 170=σ，试问当提起重量为W=15kN 时，斜杆AB 是否满足强度条件。

图2-17
解：①查型钢表，得单根L63x40x4=4.058cm 2
图2-18
节点D 处作用的力：F P =W （平衡）,计算简图：2W 作用点m l CD 7=
图2-19
②0=∑C M
072430sin =⨯-⨯=W m F NAB
kN 1052
14715230sin 472=⨯⨯⨯=⨯= W F NAB []KPa 170MPa 4.12910
058.421010543
==⨯⨯⨯==-σσ A F NAB AB ∴AB 杆满足强度要求。

Ⅱ、 受轴向拉伸（压缩）时杆件的变形计算
一、纵向变形 虎克定律
图2-20
1、线变形：△L=L 1-L （绝对变形）
——反映杆的总伸长，但无法说明杆的变形程度（绝
对变形与杆的长度有关）
2、线应变： l
l ∆=ε （相对变形） （2-6） ——反映每单位长度的变形，即反映杆的变形程度。

（相对变形与杆的长度无关）
3、虎克定律：
EA
l F L N =∆ （2-7）
EA =σ （2-8）
二、横向变形 泊松比
1、 横向缩短：△b=b 1-b
2、 横向线应变： b
b b b b -=∆=
'1ε 3、 泊松比
实验结果表明：在弹性范围，其横向应变与纵向应变之比的绝
对值为一常数，既泊松比：
考虑到两个应变的正负号恒相反，即
拉伸时：ε+ , ε'-
压缩后：ε- , ε'+
三、变形和位移的概念
1、 变形．．——物体受外力作用后要发生形状和尺寸的改变．．．．．．．．
，这种现象称为物体的变形。

2、 位移．．
——物体变形后，在物体上的一些点、一些线或面就可能 发生空间位置的改变，这种空间位置的改．．．．．．
变称为位移。

3、 变形和位移的关系——因果关系，产生位移的原因是杆件的变
形，杆件变形的结果引起杆件中的一些点、面、线发生位移。

故有 ε'=-με （2-9）
例题2-7
图2-21
已知：①杆为钢杆，杆直径d=34mm,L1=1.15m,E1=200GPa;②杆为木杆，杆截面为边长a=170mm的正方形，L2=1m,E2=10GPa;P=40kN,α=30°求δBX、δBy和δ
解：（1）F N1、F N2 =?
用截面法，画出节点B的受力图，由平衡条
件得F N1=80kN,F N2=-69.3kN
(2) 求△L1、△L2=？
△L 1=m m A E l F N 51.010)34(41020015.110806
2931111=⨯⨯⨯⨯=-π
△L 2=mm A E l F N 24.010
17010101103.6962932222-=⨯⨯⨯⨯⨯-=- (3)画节点 B 的位移图
①按解得的变形情况作位移图；
②作弧线31B B 、42B B 交于B ′ ③∵变形微小，∴可用切线代弧线，作''4231B B B B 、交于B ″。

(4) 求 δBX 、δBy 和δ=?
为计算节点 B 在x 、y 方向的位移和总位移，必须研究节点位移图中各线段之间的几何关系：
图2-22
δX ==2BB =△L 2=0.24mm(←)
因为画节点位移图时已考虑了杆件是拉伸还是压缩这一现实，所以
计算位移时只需代各杆伸长或缩短的绝对值。

(←)表示位移方向。

δy =BG =DG BD += 30
sin 30cos 24.051.0sin cos sin 2121⨯+=∆+∆=∆+∆ααααL L tg L L mm 43.15
.0866.024.051.0=⨯+= (↓) δ=mm 45.143.124.02222=+=+y x δδ
Ⅲ 材料在拉伸和压缩时的力学性质
一、 概述
＊为什么要研究材料的力学性质
为构件设计提供合理选用材料的依据。

强度条件：[]σσ≤工作应力
理论计算求解 通过试验研究材料力学性质得到
＊＊何谓材料的力学性质
材料在受力和变形过程中所具有的特征指标称为材料的力学性质。

＊＊＊材料的力学性质与哪些因素有关？
与材料的组成成分、结构组织（晶体或非晶体）、应力状态、温度和加载方式等诸因素有关。

二、 材料在拉伸时的力学性质
1、 低碳钢的拉伸试验
低碳钢是工程上广泛使用的材料，其力学性质又具典型性，因此常用它来阐明钢材的一些特性。

（1） 拉伸图与应力---应变曲线
F P -ΔL 图 σ-ε曲线
（受几何尺寸的影响） （反映材料的特性）
图2-23
（2）拉伸时的力学性质
低碳钢材料在拉伸、变形过程中所具有的特征．．和性能指标．．．．： 一条线（滑移线）
二个规律（F P ∞△L 规律、卸载规律）
三个现象（屈服、冷作硬化、颈缩）
四个阶段（弹性、屈服、强化、颈缩）
五个性能指标（ E 、S σ、b σ、δ、φ）
下面按四个阶段逐一介绍：
Ⅰ弹性阶段（OB 段）
① OB 段---产生的弹性变形；
② 该阶段的一个规律：F P ∞△L 规律
③ 该阶段现有两个需要讲清的概念：
比例极限p σ
弹性极限e σ
④ 该阶段可测得一个性能指标——弹性模量E
LA
L F E p ∆∆= 也就是：OA 直线段的斜率：
tg α=E =ε
σ Ⅱ 屈服阶段（BD 段）
⑴进入屈服阶段后，试件的变形为弹塑性变形； ⑵在此阶段可观察到一个现象——屈服（流动）现象；
⑶可测定一个性能指标——屈服极限： s σ=
A P FS
注意：F PS 相应于F P -ΔL 图或ơ-є曲线上的C ‘点，C ‘点称为下屈服点；而C 称为上屈服点。

⑷在此阶段可观察到：在试件表面上出现了大约与试件轴线成45°的线条，称为滑移线（又称切尔诺夫线）。

III 强化阶段（DG 段）
①过了屈服阶段后，要使材料继续变形，必须增加拉力。

原因：在此阶段，材料内部不断发生强化，因而抗力不断增长。

②在此阶段可以发现一个卸载规律——卸载时荷载与变形之间仍遵循直线关系。

图2-24
③在此阶段可以看到一个现象——冷作硬化现象，即卸载后再加载，荷载与变形之间基本上还是遵循卸载时的直线规律。

冷作的工程作用：提高构件在弹性阶段内的承载能力。

④在此阶段可测得一个性能指标：
F Pb
强度极限：b =
A
Ⅳ颈缩阶段（GH段）
过G点后，可观察到一个现象——颈缩现象，试件的变形延长度方向不再是均匀的了。

随着试件截面的急剧缩小，载荷随之下降，最后在颈缩处发生断裂。

拉断后对拢，可测得两个两个塑性指标：
延伸率：%1001⨯-=
L
L L δ 面缩率：%1001⨯-=A A A ψ 工程上：δδδ⎭
⎬⎫→→脆性材料塑性材料%5%5 是衡量塑、脆性材料的标准。

（3）拉伸试件的断口分析：
断口：杯锥状
破坏原因：剪应力所致的剪切断裂
低碳钢的力学性能分析：
由轴向拉杆横截面及斜截面上的应力分析可知：低碳钢的抗剪能力低于抗拉能力。

2、 铸铁的拉伸试验
铸铁也是工程上广泛应用的一种材料。

其拉伸σ-ε曲线如下：
图2-25
（1）从σ-ε曲线可见，该曲线没有明显的直线部分，应力与应变不成正比关系。

工程上通常用割线来近似地代替开始部
分的曲线，从而认为材料服从虎克定律。

（2）铸铁拉伸没有屈服现象和颈缩现象。

（3）在较小的拉力下突然断裂。

以拉断时的应力作为强度极限：
F b
σb=
A
（4）破坏断口：粗糙的平断口
3、其他材料在拉伸时的力学性质简介
（1）有些材料（如16M N钢、508A）在拉伸过程中有明显的四个阶段；有些材料（如黄铜、PCrN i M o）没有屈服阶
段，但其他三个阶段却很明显；有些材料（如35CrM n S i）
只有弹性和强化阶段。

(a) (b)
图2-26
（2）对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，用σ0.2来表
示。

国标GB228-87对测定σ0.2的方法有具体的规定。

σ0.2
称为名义屈服极限。

（3）从上图可见，有些材料（如黄铜）塑性很好，但强度很低；有些材料（如35 CrM n S i）强度很高，但塑性很差。

三、材料在压缩时的力学性质
1、低碳钢压缩与拉伸σ-ε曲线的比较
图2-27
（1）在屈服阶段之前，两曲线重合，即
σ+s=σ-s
E+=E-
（1）在屈服之后，试件越压越高，并不断裂，因此测不出强度极限。

2、铸铁压缩与拉伸σ-ε曲线的比较
图2-28
（1）与拉伸相同之处：没有明显的直线部分，也没有屈服阶段。

（2）压缩时有显著的塑性变形，随着压力增加试件略呈鼓形，最后在很小的塑性变形下突然断裂。

（3）破坏断面与轴线大致成45º-55º的倾角。

（4）压缩强度极限σ-b比拉伸强度极限高4-5倍。

Ⅳ拉伸和压缩的超静定问题
一、超静定问题的概念及其解法
1、何谓静定？
杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力能用静力平衡方程求解的，这类问题称为静定问题。

这类结构称为静定结构。

例如图2-29，a所示的结构：
图2-29
2、何谓超静定及其次数？
杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力不能用静力平衡方程求解的，即未知力的数目超过平衡方程的数目，这些问题称为超静定问题。

未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。

为提高图2-29，a所示结构的强度和刚度，可在中间加一杆，如图b所示：
三个未知内力，两个平衡方程（平面汇交力系），一次超静定。

3、超静定问题的一般解法：（举例说明）
图2-30
解：（1）静力平衡方程：
∑F Y =0，F R1+F R2=F P （a ） F R 1、F R 2、F P 组成一共线力系，二个未知力，只有一个平衡条件，超静定一次。

要解，必须设法补充一个方程。

从变形间的协调关系着手。

（2）变形几何方程（也称为变形协调方程）：
ΔL 1+ΔL 2=0 （b ）
ΔL 1、ΔL 2不是所要求的未知力，只有通过物理条件才能把变形用未知力来表示，即
（3）物理方程：EA L F L R 111=
∆ EA L F L R 222-=∆ （c ） （4）建立补充方程：
即将（c ）式代入（b ）式：
EA L F R 11EA L F R 22-=0 即1
221L L F F R R = （d ） 联立解（a ）、（d ）两式，得
2121L L L F F p R += ; 2
112L L L F F p R +=
若解得F R1、F R2为正值，说明F R1、F R2的假设方向与实际一致， 若L 1=L 2，则F R1=F R2=2
P F 已知F R1、F R2，F N1，F N2即得解。

归纳上述解题，得到超静定问题的一般解法和步骤。

（1） 根据静力学平衡条件列出应有的平衡方程；
（2） 根据变形协调条件列出变形几何方程；
（3） 根据力与变形间的物理关系建立物理方程；
（4） 利用物理方程将变形几何方程改写成所需的补充方程；
（5） 联立求解由平衡方程、补充方程组成的方程组，最终解出未知
力。

二、 装配应力
1、 何谓装配应力？
对于超静定结构，由于制造误差，在装配后，结构虽未承载，但各杆内已有内力存在。

这种因强行装配而引起的应力称为装配应力。

例图2-31，a.
图2-31
对于静定结构，一般不存在这样的问题。

例图2-31，b.
2、 例题2-8
已知：L 1钢=L 2钢=20cm,d 1=d 2=1cm;
E 1=E 2=210GP a .
L 3铜=19.989cm,A 铜=6cm 2; E 3=100 G P a .
求：各杆内的装配应力。

（a ） (b) (c)
图2-32
解：1) 静力平衡方程：(图2-32,c 的受力图)
装配后由于对称，有12L L ∆=∆ 及 12N N F F =
0=∑Y F 132N N F F = （a ）
2) 变形几何方程：（变形协调关系）
δ=∆+∆31L L （b ） 而m cm 4101.1011.0989.1920-⨯==-=δ
3) 物理方程： 11111A E L F L N =
∆ ；3
3333A E L
F L N =∆ （c ） 4) 补充方程：（将（c ）带入（b ）式）
1111A E L F N δ=+3
333A E L F N （d ） 其中：2422110785.0)101(4
m A --⨯=⨯=
π
243106m A -⨯=
联立求解（a ）、（d ）式，设（压）kN F N 10.71=（拉）kN F N 2.1410.723=⨯=
所以：（压）MPa 6.9010
785.01010.74
3
1=⨯⨯=-σ 拉）MPa （7.23106102.144
3
3=⨯⨯=-σ
3、装配应力的利弊：
装配应力的存在一般是不利的，因为未受力而出现初应力。

一分为二：利用装配应力的举例：机械制造上的紧配合；
土木建筑上的预应力。

三、温度应力 1、何谓温度应力？
在超静定结构中，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度
应力。

2、例题2-9
高压蒸汽锅炉与原动机之间以管道连接,示意图见图2-33
图2-33
∵管道锅炉、原动机刚度刚度
∴管道受热膨胀时，锅炉、原动机阻碍管道自由伸长，即有RA F 、RB F 作用于管道上：
图2-34
解：1） 平衡方程；
0=∑X F RA F -RB F =0 （a ）
共线力系，一个平衡方程，两个未知力，一次超静定。

2） 变形几何方程；
设想解除B 端约束，允许管道自由伸长T L ∆；
图2-35
但B 端实际不允许自由伸长，因此支反力RB F 把管道压缩N L ∆，即在轴向压力F N 作用下压短N L ∆
0=∆-∆=∆∑N T L L L （b ） 3) 物理方程：
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫==-=⋅⋅=)(111
2RB N N N T F F EA L
F L T T T L T L C C
∆∆∆α∆α时的应变。

温度升高所膨胀的长度，也就是时每单位长度与温度升高—热膨胀系数—式中： （c ） 4) 补充方程：（将（c ）代入（b ）式）
A
E L
F N L T ⋅∆⋅=α （d ）
联立求解（a ）、（d ）式， 得 A E T F N ⋅⋅⋅=∆α 于是 温度应力为 ==
A
F N
σ⋅⋅∆⋅E T α 设管道是钢制的，E=200GPa,
C 1
102.15-⨯=α
C T 200=∆,则
MPa 48010200102.195=⨯⨯⨯=-σ
3、避免温度应力的一些措施
如：①本题中的管道可做成下图所示的伸缩补偿节：
图2-36
②铁路轨道、砼路面留适当的空隙；
③钢桥桁架一端采用活动铰链支座等等。

Ⅴ 应力集中的概念 1、 何谓应力集中？ 先看一个简单的演示试验：
有圆孔的橡皮拉伸试件，画上均匀的方格网，受轴向拉伸：
受力前： 受力后：
图2-37
实验指出：在截面突变处，有应力剧增的现象。

这种现象称为应力集中。

可以发现：孔附近的网格变形显著的不均匀，而离开孔较远处，
2、 应力集中系数：
图2-38
由图2-38可知：
孔边部分的max σ，与未开孔横截面上的平均应力σ，则
σ
σαmax
=
α称为应力集中系数。

由上式可见：
（1）所谓应力集中系数，就是应力集中处的最大应力σmax 与杆横截面上的平均应力σ之比。

（2）应力集中系数的物理意义：反映杆在静载荷作用下应力集中的程度。

（3）应力集中系数α只是一个应力比值，与材料无关，而与切槽深度、孔径大小有关，变截面的过渡圆弧坦、陡有关。