安徽省铜陵市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)(解析版)

安徽省铜陵市第一中学2015-2016学年高二下学期期中考试
数学（文）
一、选择题：共12题
1．下列各命题中为真命题的是
A. B.如果,则
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查命题真假的判断、全称命题与特称命题.显然A、B、C错误，D 正确.
2．已知椭圆的两个焦点为,且,弦AB焦点过点F1,则三角形ABF2的周长为
A.10
B.20
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.由题意可知c=4，则a2=25+16=41，a=，则三角形ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=
3．设a,b∈R,则“”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、不等式的性质.显然，当时，
成立，所以充分性成立；当时，(1)a、b均为正数时，显然；(2)a、b
均为负数时，显然成立；(3)a、b有一个0时，显然成立，综上，必要性成立，故“”是“”的充要条件
4．椭圆的两个焦点为,点P为椭圆上的一点,已知,则Δ的面积为
A.10
B.9
C.8
D.7
【答案】B
【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.由椭圆的方程可知，a=5，b=3，则c=4，所以,,因为,所以
，将两边平方可求得, 则
Δ的面积为9
5．下列叙述中正确的是
A.若a,b,c∈R,则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
【答案】D
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、全称命题与特称命题的否定、不等式的性质、线面与面面平行与垂直.当a<0时，显然“b2－4ac≤0”不是“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件，故A错误；当b=0时，令a=1,c=2，“ab2≥cb2”成立，但“a>c”不成立，故B错误；根据全称命题与特称命题的否定的定义可知，C错误，故D正确.
6．已知命题p:x∈R,x－2>lg x,命题q:x∈R,sin x<x,则
A.命题p∨q是假命题
B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(q)是真命题
D.命题p∨(q)是假命题
【答案】C
【解析】本题主要考查逻辑联结词、命题直线的判断、全称命题与特称命题.令x=，则x－2>lg x成立，故命题p为真；令x=，则sin x<x不成立，故命题q为假，所以q 为真，故C正确.
7．函数有且只有一个零点的充分不必要条件是
A.a<0
B.0<a<
C.<a<1
D.a≤0或a>1
【答案】A
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、函数的零点.当时，显然函数有一个零点；要使函数有且只有一个零点，则当时，函数
没有零点，故a≤0，即函数函数有且只有一个零点的充要条件是a≤0，所以函数有且只有一个零点的充分不必要条件是a<0
8．双曲线虚轴上的一个端点为,两个焦点为,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线方程，由题意可得,则,所以a=,则双曲线的离心率为e=
9．已知命题p:“x∈[1,2],x2－a≥0”,命题q:“x0∈R,＋2ax0＋2－a＝0”.若命题“(p)∧q”是真命题,则实数a的取值范围是
A.a≤－2或a＝1
B.a≤2或1≤a≤2
C.a>1
D.－2≤a≤1
【答案】C
【解析】本题主要考查命题真假的判断、逻辑联结词、全称命题与特称命题.因为x∈[1,2],x2－a≥0，所以p:，p：a>1;因为x0∈R,＋2ax0＋2－a＝0，所以
,则q：或,因为命题“(p)∧q”是真命题,所以p与q
或，所以a>1
均为真命题，则
10．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是
【答案】A
【解析】本题主要考查曲线与方程的概念的应用.由于方程与 前者表示的为抛物线，后者表示的为椭圆或双曲线，结合 ，以及
，和
.当m ,n 为同号时,表示
椭圆和抛物线，抛物线开口向左，椭圆的焦点在y 轴上，C,D 排除；对于m ,n 异号，则两个方程一个表示抛物线开口向右，一个表示双曲线，满足题意的只有A.
11．已知抛物线 ,定点 , 为焦点, 为抛物线上的动点,则 的最小
值为
A.5
B.6
C.7
D.8 【答案】A
【解析】本题主要考查抛物线的定义与性质.由抛物线的方程 可知准线方程为x =-2，过点P 作准线的垂线PQ ，垂足为Q ，因为点A 在抛物线的内部，所以当点A 、P 、Q 三点共线时， 取得最小值3+2=5，由抛物线的定义可知， ,所以 的最小值为5
12．下列命题:
①Δ 的三边分别为 则该三角形是等边三角形的充要条件为 ;
②数列 的前n 项和为 ,则 是数列 为等差数列的必要不充分条件; ③在Δ 中, 是 的充分必要条件;
④已知 都是不等于零的实数,关于 的不等式 和
的解集分别为 , ,则
是 的充分必要条件.
其中正确的命题是
A.①④
B.①②③
C.②③④
D.①③ 【答案】D
【解析】本题主要考查简易逻辑、解三角形、数列、一元二次不等式. ①化简可得(a -b )2+(b-c )2+(c-a )2=0,则①正确；②设首项为a 1，公差为d ，则前n 项和为S n =na 1+
= ,令 ,
,则 ；当n>1
时， ,所以a n =S n -S n-1= ,则数列 为等差数列，所以 是数列 为等差数列的充要条件，故②错误；③当 时， ；在Δ 中,当 时， ，
02=+ny mx
故③正确;④已知都是不等于零的实数,令
，则，但，故④错误.
二、填空题：共4题
13．由命题“x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,求得实数m的取值范围是(a,＋∞),则实数a
的值是________.
【答案】1
【解析】本题主要考查全称命题与特称命题.因为命题“x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,
所以命题“x∈R,x2＋2x＋m>0”是真命题,所以,则m>1,则题意可知a=1
14．若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是. 【答案】x+2y-4=0
【解析】设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-,∴所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
15．椭圆与直线交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的
斜率为,则的值为
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程与斜率.设A(x1,y1)，B(x2,y2),中点(x0,y0),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减，化简可得：,即，由题意可得，则
16．称离心率为的双曲线为黄金双曲线.如图,双曲线
的图象,给出以下几个说法:
①双曲线是黄金双曲线;
②若,则该双曲线是黄金双曲线;
③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确命题的序号为
【答案】①②③④
【解析】本题主要考查自定义问题、双曲线的方程与性质.①双曲线,则
a2=1,b2=,c2=,所以e=，故①正确；②若,则c2-a2=ac，求解可得e=，故②正确；③若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠
F1B1A2=90°,则B1F12+A2B12=A2F12，即c2+b2+a2+b2=(a+c)2,所以e=，故③正确；④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则根据双曲线的对称性可知OF2=NF2，将x=c代入双曲线方程可得点N的纵坐标y=,则,求解可得e=，故④正确.
三、解答题：共6题
17．已知,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】解不等式可得：
p：或，q：或,
因为是的充分不必要条件,
所以（两个等号不同时成立）
所以
【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、一元二次不等式的解法.求出p：或，q：或，根据题意，求解可得结果.
18．命题方程没有实数根,命题函数在上是增函数,“或”为真命题,“且”为假命题,求实数的取值范围.
【答案】因为方程没有实数根,
所以m=0或,
求解可得命题p：，
因为函数在上是增函数,所
以，求解可得命题q：，
因为“或”为真命题,“且”为假命题,
所以p、q一真一假，
或，
所以或
求解可得实数的取值范围
【解析】本题主要考查简易逻辑、函数的性质与方程思想、分类讨论思想.由方程根的个数求出命题p中m的取值范围，再由函数的性质求出命题q中m的取值范围，由“或”为真命题,“且”为假命题,可知p、q一真一假，则求解易得结果.
19．已知椭圆:的上顶点为A,左,右焦点分别为,且椭圆过点,以AP为直径的圆恰好过右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线
的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)椭圆C的方程是+y2=1.
(2)①当直线斜率存在时,设直线方程为,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以
=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0,
即 1+2k2=p2.
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得解得,或,
而(**)不恒成立.
②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,
定点(－1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1××d2=(－1)(+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线方程与点到直线的距离公式、方程思想，考查了计算能力与分类讨论思想.(1)根据题意，AF2与PF2垂直，再结合点在椭圆上求解即可；(2) ①当直线斜率存在时,设直线方程为,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0，因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以=0，设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),由点到直线的距离公式化简求解；②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,结果易求.
20．如图所示,抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值及直线AB的斜率.
【答案】(1)抛物线的方程是y2＝4x,准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,
则k PA＝(x1≠1),k PB＝(x2≠1),
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,∴k PA＝－k P B.
由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得
＝4x1,①
4x2,②∴＝－,∴y1＋2＝－(y2＋2).∴y1＋y2＝－4.
由①－②得,＝4(x1－x2),∴k AB＝＝＝－1(x1≠x2).
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线的斜率公式，考查了计算能力.(1)设抛物线的方程y2＝2px,将点P的坐标代入即可求出结果；(2)设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,A(x1,y1),B(x2,y2)，代入抛物线方程，两式相减，由PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，即k PA＝－k P B.求解可得结论.
21．设A,B分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求的值及点D的坐标.
【答案】(1)双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1＋x2＝tx0,y1＋y2＝ty0,
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0,
则x1＋x2＝16,y1＋y2＝12,
∴∴∴t＝4,点D的坐标为(4,3).
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与性质、点到直线的距离公式、平面向量的坐标运算与定理，考查了方程思想与计算能力.(1)根据题意，利用点到直线的距离公式，化简求解可得a、b、c的值，即可求出双曲线的方程；(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0,由韦达定理与求解可得结果.
22．如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两
点.的最大值是,的最小值是,满足.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段的中点为,的垂直平分线与轴和轴分别交于两点,是坐标原点.记Δ的面积为,Δ的面积为,求的取值范围.
【答案】(1)设,则根据椭圆性质得
而,所以有,即,,
因此椭圆的离心率为.
(2)由(1)可知,,椭圆的方程为.
根据条件直线的斜率一定存在且不为零,设直线的方程为,
并设则由消去并整理得
从而有,
所以.
因为,所以,.
由RtΔ与RtΔ相似,所以
令,则,从而
,即的取值范围是.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线方程与斜率，考查了方程思想与计算能力.(1)设,则根据椭圆性质得，根据题意求解即可；(2) 由(1)可知,,椭圆的方程为，根据条件直线的斜率一定存在且不为零,设直线的方程为,联立椭圆方程，消去y，得到关于x
的一元二次方程，设，由韦达定理得，根据题意易知RtΔ与RtΔ相似，则可得，化简求解即可.。