凸分析

设X 使实局部凸拓扑向量空间，*X 是X 的对偶空间.取X x ∈和**X x ∈，我们记x x *,是 *x 在x 这点的值，也就是，()x x x x *:*,=。

让Z 包含于X 。

用符号（resp.，cl Z ，co Z 和cone Z ）分别表示集合Z 的（resp.，闭包，凸包和凸锥包）。

对偶*X 被弱拓扑赋予。

因此，如果*X W ⊆，则cl W 表示为集合W 的弱闭包。

按照惯例，当Z 是空集时，cone Z ={0}。

我们可以定义正极化锥⊕Z 和负极化锥ΘZ ，例如：
{}Z z z x X x Z ∈∀≥∈=⊕,0*,:**:
{}Z z z x X x Z ∈∀≤∈=Θ,0*,:**:
根据[5]，我们用()T R 表示含有有限多个真正元()0,≠=∈t T t t λλλ的空间，并让()T R +表示()T R 中的半锥，也就是，
()()(){
}T t R R t T T t t T ∈∀≥∈=∈+,0::λλ 非空正则集Z 上的示性函数Z δ和承托函数Z σ可以定义为
()⎩
⎨⎧∞+∈=其余Z x x Z ,0:δ ()X x x x x Z
x Z ∈∀=∈**sup :*，，σ
f 为定义在集合X 上的本征函数。

分别用dom f ，*f ，和epi f 表示f 的定义域，共轭函数，上图，则他们分别为：
(){},::dom +∞<∈=x f X x f
(){}**,:*,sup :*X x X x x f x x f ∈∀∈-=
()(){}.:,:epi r x f R X r x f ≤⨯∈=
于是有Young-Fenchel 不等式成立：
()()().**,*,**X X x x x x x f x f ⨯∈∀≥+
显然，很容易验证epi f 是*w -闭的。

特别地，
（2.1） .epi epi *+Θ⨯==R Z Z Z
σδ 用cl f 表示函数f 的闭包，定义为：
()().epi cl epi f f =
那么（定理2.3.1）
（2.2） ().*cl *f f =
由定理2.3.4，如果cl f 是真凸的，则有以下等式成立：
（2.3） f f cl **=
此外，如果f ，h 是本征函数，那么
（2.4） ()*epi *epi *epi h f h f +⊆+
并且
（2.5） .*epi *epi **h f h f h f ⊆⇔≥⇒≤
最后，我们介绍卷积函数下确界的定义。

给出两个本征函数{}∞+→ R X h f :， ,则函数h f 和的卷积下确界定义为：
f □{}∞±→ R X h :, （f □h ）(){})()(inf x a h x f a X
x -+=∈， 也就是说，对一些X a ∈,如果有X x ∈，使得
（f □h ）(){})()(x a h x f a -+=
以下引理描述的是两个函数的和的共轭函数的上图。

引理 2.1 定义{}∞+→ R X h g :，为真凸函数，使得dom g ∩dom h ≠Φ
（ⅰ）如果函数h g 和是下半连续的，则
()*cl(epi(g *epi =+h g □*).*epi (cl *))h g h +=
（ⅱ）如果当h g x dom dom ∈︒时，函数g 或者h 是连续的，则有 （2.6） *)*(g h g =+□*h ，对任意的*X p ∈，*g □*h 都是精确的且
（2.7） *epi *epi )*epi h g h g +=+（
证明：（ⅰ）是Rockafellar –Moreau 定理的一个简单的结论。

对于（ⅱ），由附录[]51定理2.8.7给出的假设可推出（2.6）式成立，而（2.7）式由命题2.2给出。

3.新规则性条件.如[]51，我们用()X Λ表示在X 上的一切本征函数类，对于一个凸集Z ，我们记
()(){}.dom :Φ≠Λ∈=ΛZ g X g X Z
注意，函数()X Λ不一定下半连续，除非明确的说明。

让{}，T t f C T f t ∈:,,,且A 和在第一节一样，也就是，T 是一个指标集，X C ⊆是一个凸集，对任意的()X f T t t Λ∈∈，有，且Φ≠A 是以下系统的解集： （3.1） ().,0:T t x f C x t ∈∀≤∈
于是，等价于：
（3.2） ()()().*epi ,0A f A x x f δαα+∈-⇔∈∀≥
根据[]17，（3.1）的特征锥K 定义为：
（3.3） ()(){}.*epi *epi cone :t T t C f K ∈= δ
考虑到*epi C δ是一个凸锥，K 可以表示成：
（3.4） {}.*epi cone *epi :t T t C f K ∈+= δ
按照惯例，00=∞⋅，对所有的本征函数h 有00=⋅h ，因此，记：
（3.5）
()()()()*,
epi *epi *epi *epi *epi *epi *epi *epi T t T t T t A t t C R t t C R t t R C f f f f f f f K f T T T δλδλδλδλλλ+⊆⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛++⊆⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⊆+∑∑∑∈∈∈∈∈∈+++ 由（2.5）式和()().,T t T T t t A t t C R f f f +
∈∈∈=∀+≤++∑λλδλδ得到最终结论： 如果，当0=f ，（3.5）可化为：
（3.6） ().epi *epi *T
t A t t C R f K T δλδλ⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛+⊆∑∈∈+ 特别地，如果（1.4）式成立，由[]7.1知：
（3.7） .*epi cl A K δ=
在本文其他情况下，我们假设（1.9）式成立，也就是，()X f A Λ∈。

则A +δf 是恰当的。

因此我们可以通过引理2.1（i ）和（3.5）容易得
出
（3.8） ))(epi (cl )epi (cl )
epi (cl )(epi ****)(t T t t C R A f f K clK f T ∑∈∈++⊆+=+=++λδδλ 对于与引理（3.5）相反的结论，我们引入一下定义： 定义3.1 集合{}T t f C ∈:;δ满足以下条件：
（a ）圆锥形（EHP ）对于f （用圆锥形()f EHP 表示），如果：
（3.9） )e p i )(epi (cone epi epi )(epi *****K f f f f t T t C
A +=++=+∈ δδ；。