人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-9

高三一轮 第八章 平面解析几何
8.9直线与圆锥曲线的位置关系（检测教师版）
时间:50分钟 总分：70分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
【答案】A
【解析】因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b
a x 平行，所以它与双曲线只有1个交点。

2．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双
曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52
D. 5 【答案】D
【解析】双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，
消去y ，得x 2－
b
a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫
b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝
c a ＝a 2＋b 2a
＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝ 5.
3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )
A ．2 B.45
5
C.4105
D.8105
【答案】C
【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－8
5
t ，x 1x 2＝
t 2－5
.∴|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
2·⎝⎛⎭⎫－8
5t 2－4×t 2－5
＝425
·5－t 2，
当t ＝0时，|AB |max ＝
410
5
.故选C. 4.经过椭圆x 22＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点.设O 为坐标
原点，则OA →·OB →
等于( ) A.－3 B.－1
3
C.－1
3或－3
D.±13
【答案】B
【解析】依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)， 即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，
所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA →·OB →
＝－13， 同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →
＝－13
.
5.(2014·辽宁，10)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43
【答案】D
【解析】∵A (－2，3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p
2
＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线
AB 的方程为x ＝k (y －3)－2①，将①与y 2
＝8x 联立，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －3）－2
y 2＝8x ，得y 2
－8ky ＋24k ＋16＝0②，则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k
＝2或k ＝－1
2(舍去)，将k ＝2代入①②解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝8，即B (8，8)，又F (2，0)，∴k BF
＝
8－08－2＝43
. 6.(2015·重庆，10)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF
的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若
D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－2，0)∪(0，2) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】A
【解析】由题意A (a ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2
a ，C ⎝
⎛⎭⎫c ，－b
2
a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x ，0)，由BD ⊥AC 得
b 2a －0
c －x ·b 2a a －c ＝－1，解得c －x ＝b 4a 2（c －a ），所以c －x ＝b 4
a 2
（c －a ）
＜a ＋a 2
＋b 2
＝a ＋c ，所以b 4a 2＜c 2－a 2＝b 2⇒b 2
a 2＜1⇒0＜
b a
＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P (－1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点Q ，则点Q 到准线的距离为________． 【答案】2
【解析】易知l 的斜率存在，根据对称性，不妨设直线l 的斜率为k (k >0)，则l 的方程为y
＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.依题意，Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，∴k ＝1.从而可求切点Q (1,2)，又y 2＝4x 的准线为x ＝－1. ∴点Q (1,2)到准线的距离d ＝1－(－1)＝2.
8．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________. 【答案】16
3
【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为y 2＝4x ，所以抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)，又
A 到抛物线准线的距离为4，所以 x A ＋1＝4，所以x A ＝3，易知x A x
B ＝1，所以x B ＝13，所以|AB |＝x A ＋x B ＋2＝3＋13＋2＝163
. 9．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是2
7
的椭圆的标准方程为
________．
【答案】y 275＋x 2
25＝1
【解析】设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22
，
y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－
37
. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧
y 21
a 2＋x 2
1b 2
＝1，y 22a 2
＋x
22b 2
＝1.
两式相减并化简，得a 2
b 2＝－
y 1－y 2x 1－x 2
×y 1＋y 2
x 1＋x 2
＝－2×－6
747＝3，所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25.
故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 2
25
＝1.
10.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线C 的
离心率的取值范围是________.
【答案】⎝
⎛⎭⎪⎫
1，233
【解析】双曲线渐近线为bx ±ay ＝0，其与圆相交，则圆心到渐近线的距离小于半径，即
2b
a 2＋
b 2
＜1，∴3b 2＜a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2，∴e ＝c a ＜233.又e ＞1，∴1＜e ＜23
3
.
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点
P (0,1)在C 1上．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【答案】见解析
【解析】 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，∴c ＝1，又点P (0,1)在曲线C 1上，
∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2
＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，
消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0.
整理得2k 2－m 2
＋1＝0.①由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②
综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 12.(2013·全国Ⅱ，20)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x
＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值. 【答案】见解析
【解析】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 2
1a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，y 1－y 2x 1－x 2
＝－1，
由此可得b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2，
所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12.所以y 0＝1
2x 0，
即y 1＋y 2＝1
2
(x 1＋x 2).所以可以解得a 2＝2b 2，又由题意知，
M 的右焦点为(3，0)，故a 2
－b 2
＝3.所以a 2
＝6，b 2
＝3.所以M 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
(2)将x ＋y －
3＝0代入x 2
6＋y 2
3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33
或⎩
⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.所以可得|AB |＝46
3；
由题意可设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，所以设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，
将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，则|CD |＝2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4＝
4
39－m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，
所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝86
3.。