第十六次

一电感线圈，其电阻R=30，电感 例9-3 一电感线圈，其电阻 电感L=127mH，与理想电 ， 串联， 正弦交流电压源上， 容C=39.8F串联，接到 串联 接到220V正弦交流电压源上，试求电流， 正弦交流电压源上 试求电流， 线圈电压和电容电压。 线圈电压和电容电压。 解：电路如图。 电路如图。 XC=-1/(2π f C) =-80 -
& = Zk U & Zk上的电压为： U k 上的电压为： Z
n个导纳 k=Gk+ jBk（k=1,2,…,n）并联，等效导纳为： 个导纳Y 个导纳 ）并联，等效导纳为：
n n n
Y = ∑ Yk = ∑ Gk + j ∑ Bk
k =1 k =1 k =1
& = Yk I & 各分支电流为： 各分支电流为： I k Y
& U Z= & I
& I Y= & U
1 1 Z= or Y = Y Z
1 Z = Y
; Z = Y
当需要将串联阻抗转换成等效并联导纳时 当需要将串联阻抗转换成等效并联导纳时: 串联阻抗转换成等效并联导纳
1 1 R X Y= = = 2 j 2 = G + jB 2 2 Z R + jX R + X R +X
& & U RL = Z RL I = 50∠53.1° × 4.4∠53.1° = 220∠106.2° V
& & U C = jX C I = j80 × 4.4∠53.1° = 352∠ 36.9° V
电容电压： 电容电压：
& I
相量图
R +
jXL
& Us
+
& URL
& URL
& UL
-jXC
& & U = I( jXL )
cos(ωt + 90° )
设 i
jX C
C
u
i =C
du dt
1 则 =j ωC i= 1 = jωc
u=
2U cos ω t
XC = 1 ωC ωC cos(ω t + 90 ° )
U 2 1
U = IX C
& I
& U
u落后 90° 落后i ° 落后
& & U = I ( jXC )
& i = 2 I cos(ω t + i ) I = Ie ji = I ∠ i
电路定律的相量形式 基尔霍夫定律
∑ I&
k =1
n
k
=0
& ∑U
k =1
m
k
=0
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系 正方向） i 复数 阻抗 设 电压、 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式
设以电源电压为参考相量 设以电源电压为参考相量 (初相位为0°)，即 初相位为
& I
& Us
+ +
R
jXL
& URL
& U s = 220∠0° V
-jXC
+
& UC
& US 220∠0° & 则： I = = = 4.4∠53.1° A Z 50∠ 53.1°
线圈阻抗： 线圈阻抗： ZRL= R+jXL = 30+j40 = 50∠53.1° ∠ 线圈电压： 线圈电压：
& I
& Us
+ +
R
jXL
& URL
jXC
+
& UC
XL=2π f L= 2π×50×127×10-3 = 40 × × 等效阻抗: Z= (R+jXL)+jXC=(30+j40)j80 等效阻抗 =30j40 = 50∠ ∠53.1° ∠ 阻抗三角形为： 阻抗三角形为： R 53.1° |Z| X
电路如图， 例9-4 电路如图，已知 r =10，L=20mH，C=10F，R=50， ， ， U=100V，ω=103rad/s，求各元件电压、电流。 ， ，求各元件电压、电流。
& & I + Ur
+ 解：
& + UL
jXL jXC +
& U
r
& UC
+ R
& UR
XL= ωL=103×20 ×10-3 = 20
1 jωC
& U
Z = R +X
2
2
X Z = arctan( ) R
& I R
+
R（或X）是元件参数或频率的函数。 （ ）是元件参数或频率的函数。
网络N 可等效为由R和 串联的相量模型 串联的相量模型。 网络 0可等效为由 和jX串联的相量模型。
& U
jX
2、Z 反映了 0端口处电压与电流的幅值大小及相位关系。 、 反映了N 端口处电压与电流的幅值大小 相位关系 幅值大小及 关系。
1 1 =j jωC ωC
ZR = R
Z L = jω L
ZC =
内为RLC串联电路，则阻抗为： 串联电路， ② 若N0内为 串联电路 则阻抗为：
& U 1 Z = = R + jω L + & I jωC 1 = R + j (ω L ) = R + jX = Z ∠ Z ωC
& I
+
R
jωL
& U 100∠0° & I= = = 2∠0° A + Z 50
& & & I + Ur + UL
r j = rI = 10 × 2∠0° = 20∠0°V
L uS + iL 1
iR iC C 2 + R
& US
jωL
& IL
& IC
& IR
1 jωC
-
1
2
R
时域电路
i L = iC + i R
di 1 L L + ∫ iC dt = uS dt C 1 R i R = ∫ i C dt C
相量模型
& & & I L = IC + I R
& + 1 I =U & & jωLI L C S jωC 1 & & RI R = IC jωC
= G + j(BL + BC )
& I = G + jB =| Y | ∠φ ′ Y= & U
I Y = U ′ = i u
导纳模 导纳角 单位S 单位
= G + jB
电导
电纳 |Y|
′
G 导纳三角形
B
& I Y = = G + jB & U
1、导纳Y也不是相量。 、导纳 也不是相量 也不是相量。 2、Y = |Y| ∠ Y = I/U ∠ i - u 、
V1 已知电压源为正弦信号， 例: 已知电压源为正弦信号，电 压表读数为：V1：30V；V2： 压表读数为： ； 60V。求：Us=？ 。 ？ 解：由相量模型可得相量图如下： 由相量模型可得相量图如下：
& 以 I 为参考相量
+ us
R L V2
R
& Us
& I
+
+ & U
R
& Us
& UR
由图可得： 由图可得：
j × (1 + j ) = 1 + (1 j ) = (2 j ) j + (1 + j )
& I
+
& U
& β I2
& I2
1 jωC
& & & & I = β I 2 I 2 = (1 + β ) I 2
1 & & U = I2 jωC
& U 1 Z= = & jωC (1 + β ) I
式中
R 1 X 1 G= 2 ; B= 2 ≠ ≠ 2 2 R +X R R +X X
四、Z（Y）的串、并联 （ ）的串、 n个阻抗 k=Rk+jXk（k=1,2,…,n）串联，等效阻抗为： 个阻抗Z 个阻抗 ）串联，等效阻抗为：
Z = ∑ Z k = ∑ Rk + j ∑ X k
k =1 k =1 k =1 n n n
B Y = tg G
1
& I
+ +
& U
N0
电流超前电压的相位。 电流超前电压的相位。
& I
& U
& IG
组成导纳三角形。 由G、B和|Y|组成导纳三角形。 、 和 组成导纳三角形 IG、IB 和 I 组成电流三角形。 组成电流三角形。
& IB
G
jB
三、Z与Y的等效变换 与 的等效变换 由网络N 端口的VCR可知 可知: 由网络 0端口的 可知
时域微分方程
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。 相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
本章小结
正弦量 f (t)=Amcos(ωt +) Am(或有效值 、 ω 、 为正弦量的三要素。 或有效值A)、 为正弦量的三要素。 或有效值 相量法的基本概念
& u = 2U cos(ω t + u ) U = Ue ju = U ∠ u
U I = Z √
i =
u Z
& &=U √ I Z
U I = Z
& &= U I Z
试求图示各电路的输入阻抗Z 例9-2 试求图示各电路的输入阻抗 1 j2
j 2 × ( j1) 2 = 1 + = (1 j 2) -j1 Z = 1 + j 2 j1 j
1 -j1
1 j1 Z = 1 +
& jωL UL
+
& UL
& I
2 2 U s = U R + U L = 30 2 + 60 2
= 67.08V
Chapter 9
正弦稳态电路的分析
阻抗与导纳 相量图 正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率 最大功率传输
阻抗与 §9-1 阻抗与导纳 （Impedance and admittance） ） 一、阻抗
4、阻抗三角形。由阻抗Z、电阻R、电抗X构成直角三角形， 、阻抗三角形。由阻抗 、电阻 、电抗 构成直角三角形， 构成直角三角形 称阻抗三角形。 称阻抗三角形。
1 X Z =u i = tg R
|Z|
Z
R
X
当X>0， Z >0，电压超前电流，Z为感性阻抗； 为感性阻抗； > ， ，电压超前电流， 为感性阻抗 为容性阻抗。 当X<0， Z < 0，电压滞后电流，Z为容性阻抗。 < ， ，电压滞后电流， 为容性阻抗
& I
& U
& IG
& IB
G
jB
网络N 可等效成G 并联的相量模型。 网络 0可等效成 和 jB 并联的相量模型。
RLC并联电路 并联电路
.
复导纳
I
+
U R
.
-
IL 1 jω L jω C
IR
.
.
.
IC
. . . & I IR+ IL+ IC Y= = & & U U 1 1 1 = + + R jω L 1 jω C 1 =G j + jω C ωL
& I
+
N0 & U 正弦稳态下的线性无源网络N 正弦稳态下的线性无源网络 0 & U 定义： 定义：Z = & 为N0的输入阻抗（等效阻抗） 输入阻抗（等效阻抗） I & U 输入阻抗一般为复数， 输入阻抗一般为复数，即：Z = & = R + jX = Z ∠Z I 1、R — 等效电阻分量； X — 等效电抗分量 、 等效电阻分量； 电阻分量 等效电抗 电抗分量 内仅含单个元件R、 、 ，则对应阻抗为： ① 若N0内仅含单个元件 、L、C，则对应阻抗为：
XC= -1/ωC = -100
Z RC
R ( jX C ) 50( j100) = = = 40 j 20 R + ( jX C ) 50 j100
Z = r + jXL+ ZRC=10 + j20 + 40 j20 = 50
° & 设电源电压 U = 100∠0 V 则总电流为： 则总电流为：
& U U∠u U = ∠u i = Z ∠Z Z= = & I ∠ I I i
|Z| =U/I — 电压与电流的有效值之比； 电压与电流的有效值之比； 有效值之比
& I R
+
& U
jX
Z = u i — 阻抗角，表示电压超前电流的相位。 阻抗角，表示电压超前电流的相位。
3、Z 不是相量 、 只是表明电压与电流之间大小和相位关系的复数， 只是表明电压与电流之间大小和相位关系的复数，即Z 没有正弦量与之对应，故字母上不加“ 。 没有正弦量与之对应，故字母上不加“”。 不加
+
& UC
& I
& I = 4.4∠53.1° A
& UR
& Us
& UC
二、导纳 线性无源网络N 端口处VCR也可表示为 & 也可表示为: 线性无源网络 0端口处 也可表示为 I
& & I = YU
& I or Y = & U
+
& U
N0
Y= G+jB — 输入导纳 （S） ） G — Y的等效电导分量 的等效电导 的等效电导分量 B — Y的等效电纳分量 的等效电纳 的等效电纳分量 +
R
u
u = iR
u = 2U cos ωt
R
则
U = IR
& I
& U
& & U = IR
i = 2 I cos ω t
i 设
u、 i 同相
L
u
di jX L 则 u=L dt = jωL u = 2 I ω L
i = 2 I cos ωt
& U
U = IX L X L = ωL
& I
u超前 i 90° 超前 °
& & + UR I
类似有电压三角形 类似有电压三角形
& U
+
R jX
+