【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)解三角形应用举例 理 北师大版

第七节解三角形应用举例
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能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
1．“仰角、俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的”．这种说法正确吗？
提示：正确．
2．“方位角和方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系”，这种说法是否正确？
提示：正确．
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A．α>βB．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：选B 根据仰角和俯角的定义可知α＝β.
2．(教材习题改编)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km
解析：选B 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2
－2a 2cos 120°＝3a 2
，故|AB |＝3a .
3．在上题的条件下，灯塔A 在灯塔B 的方向为( ) A ．北偏西5° B ．北偏西10° C ．北偏西15° D ．北偏西20°
解析：选B 由题意可知∠A ＝∠B ＝30°，又CB 与正南方向线的夹角为40°，故所求角为40°－30°＝10°，即灯塔A 在灯塔B 的方向为北偏西10°.
4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
解析：由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.
由正弦定理，得MN sin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为346
4海
里＝176
2
海里/小时．
答案：1762
5．某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示)，则旗杆的高度为________米．
解析：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°.
由正弦定理得106sin 30°＝BC
sin 45°
，
所以BC ＝206×22＝20 3 m ，在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝203×3
2
＝30 m. 答案：30
1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题．
[例1] (1)(2011·上海高考
)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．
(2)(2013·江苏高考)
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为
1 260 m ，经测量，cos A
＝1213，cos C ＝3
5
.
①求索道AB 的长；
②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
[自主解答] (1)如图，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得AC ＝AB ·sin B
sin C ＝2×322
2
＝ 6 千米．
(2)①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝4
5
.
从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×4
5＝
6365
. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365
×4
5
＝1 040 m.
所以索道AB 的长为1 040 m.
②假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得
d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×12
13
＝200(37t 2－70t ＋50)，
因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝35
37
min 时，甲、乙两游客距离最短．
③由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365
×5
13
＝500 m.
乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .
设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤625
14
，所以为
使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1 25043，625
14
(单位：
m/min)范围内．
[答案]
(1) 6
测量距离问题的常见类型及解题策略
(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，
然后运用正、余弦定理求解．
1．
如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为
________．
解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°，∴AB ＝AC ，
∴河宽为1
2
AC ＝60 m.
答案：60 m
2．如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21 km ，
这时此车距离
A 城多少千米？
解：在△BCD 中，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，CD ＝21 km ，由余弦定理得cos ∠BDC ＝
BD 2＋CD 2－BC 2
2BD ·CD
＝202
＋212
－312
2×20×21＝－17，所以cos ∠ADC ＝17，sin ∠ADC ＝437，
在△ACD 中，由条件知CD ＝21 km ，A ＝60°，
所以sin ∠ACD ＝sin(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理AD
sin ∠ACD
＝
CD
sin A
，所以AD ＝
213
2
×
53
14
＝15 km ，故这时此车距离A 城15千米．
[例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．
[自主解答] 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40 m ，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.
在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，
由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°
sin 135°
＝20 2.
∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.
在Rt △BED 中，BE ＝BD sin 15°＝202×6－2
4
＝10(3－1) m.
在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，则AB ＝BE tan 30°＝10
3
(3－3) m.
故塔高为10
3
(3－3)米．
【互动探究】
在本例条件下，若该人行走的速度为6 km/h ，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？
解：设该人走了x m 时到达测得仰角最大的地方，则x tan 30°＝(40－x )tan 15°，
即x 40－x ＝tan 15°tan 30°
＝3tan 15°＝3tan(45°－30°)＝23－3. 解得x ＝10(3－3)．
又v ＝6 km/h ＝100 m/min ，故所用时间t ＝
－3100
＝3－310
min.
即该人到达测得仰角最大的地方时，走了3－3
10
分钟．
【方法规律】
解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．
如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α＝60°，在塔底C 处测得A 处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC 部分的高为24 3 m ，则山高CD ＝________m.
解：由已知条件可得tan ∠BAD ＝BD AD ，tan ∠CAD ＝CD AD
，则tan ∠BAC ＝tan(60°－45°)＝
BD AD －CD AD 1＋BD AD ×CD AD
＝BC ·AD AD 2＋BD ·CD ＝243·CD
CD 2
＋3＋CD CD
＝
123123＋CD
＝2－3，解得CD ＝(36＋
123) m.
答案：36＋12 3
[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
[自主解答] (1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
S ＝900t 2＋400－2·30t －
＝900t 2
－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －132
＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝103
1
3
＝30 3 海里/小时，
即小艇以30 3 海里/
小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇，如图所示．
在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10，又AC ＝30 t ，OC ＝vt ，故t ＝1030＝13，v ＝1031
3
＝30 3 海里/小时．即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小
艇的航行距离最小．
(2)
设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示则
v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，即v 2＝900－
600t ＋400t
2.
∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥2
3
.
又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．
【方法规律】
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．
解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2
＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.
由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝21
7.
由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝27
7
.
由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin
30°＝21
14
.
—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
个步骤——解三角形应用题的一般步骤
种情形——解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理
或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
个注意点——解三角形应用题应注意的问题
(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．
(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
数学思想(六)
数形结合思想在解三角形中的应用
三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函数等知识为核心，以测量、航海、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考应用题的热点题型．求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解．
[典例] (2014·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距40 2 海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点
A 的北偏东(45°＋θ)其中sin θ＝26
26
，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013 海里的位置
C .
(1)
求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解题指导] 根据题意画出示意图，然后利用正、余弦定理求解． [解]
(1)如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝26
26
.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫26262＝52626，BC ＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以该船的行驶速度为105
23
＝15 5 海里/小时．
(2)
法一：如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，
C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为
D .由题设，得x 1＝y 1＝2
2
AB ＝40，
x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013·sin(45°－θ)＝20.
所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝20
10
＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.
又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|
1＋4
＝35＜7，所以船会进入警戒水域．
法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105
＝310
10.
所以sin ∠ABC ＝1－cos 2
∠ABC ＝
1－910＝10
10
. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin∠ABC
－∠ABC ＝402×
10
1022×210
10
＝40.
由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．
在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·si n ∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×
55
＝35＜7.所以船会进入警戒水域．
[题后悟道] 1.对于问题(1)，知道两边夹一角，由余弦定理求得BC
的长，除以行驶时间即可求得速度；对于问题(2)，延长BC 交直线
AE 于点Q ，然后在△ABQ 中，由正弦定理求得AQ 的长、判断点Q 的位置，最后在△QPE 中结合已知条件即可作出判断．
2．解此类问题，根据题意合理画出示意图是解题关键；将条件归纳到某一三角形中是基本的策略；合理运用正、余弦定理并注意与平面几何相关知识结合有助于问题的解决．
某海域内一观测站A ，
某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东50°且与A 相距80海里的位置B ，
经过1小时又测得该船已行驶到点A 北偏东50°＋θ其中sin θ＝15
8
，0°＜θ＜90°且
与A 相距60海里的位置C .
(1)求该船的行驶速度；
(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A 的最近距离．
解：(1)如图，AB ＝80，AC ＝60，∠BAC ＝θ，sin θ＝158
. 由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫1582＝7
8
. 由余弦定理得BC ＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos θ＝40海里/小时， 所以该船的行驶速度为40海里/小时．
(2)在△ABC 中，由正弦定理得BC sin θ＝AC sin B ，则sin B ＝AC ·sin θBC ＝60×15840＝315
16
，
过A 作BC 的垂线，交BC 的延长线于D ，则AD 的长是船离观测站的最近距离．
在Rt △
ABD 中，AD ＝AB ·sin B ＝80×315
16＝1515 海里，
故船在行驶过程中离观测站A 的最近距离为1515 海里．
[全盘巩固]
1. 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东80°
D ．南偏西80°
解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.
2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是
3 km ，那么x 的值为( )
A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3 解析：选C
如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2
－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.
3．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡
对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝ ( )
A.32
B ．2－ 3 C.3－1 D.
22 解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝
AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°－＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBD
CD ＝6－2
50＝3－1.
由题图，知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1. 4．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )
A ．2 2 km
B ．3 2 km
C ．3 3 km
D ．2 3 km 解析：选B
如图，由条件知AB ＝24×1560
＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB
sin 45°sin 30°＝3 2 km.
5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m
解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，整理得h 2＋50h
－5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，故h ＝50 m ，故水柱的高度是50 米．
6. 如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )
A ．2.7 m
B ．17.3 m
C ．37.3 m
D ．373 m
解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝
CM －10AE .∴AE ＝CM －10tan 30°
m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE ，∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝3＋
3－1
＝10(2＋3)≈37.3 m.
7．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________m.
解析：如图，依题意甲楼高度AB ＝20tan 60°＝203，又CM ＝DB ＝20 m ，∠CAM ＝60°，
所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033 m ，所以乙楼的高CD ＝203－2033＝4033
m. 答案：4033
8．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.
解析：如图，由已知得∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.
设BC ＝x ，则由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos 120°，
即32＝22＋x 2－2×2x cos 120°即x 2＋2x －5＝0，解得x ＝6－1.
答案：6－1
9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30
，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.
解析：设AB ＝h ，在△ABC 中，tan 60°＝h BC ，则BC ＝33
h ， 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC
， 即30sin 135°＝33h sin 30°
，解得h ＝15 6. 答案：15 6
10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C 、D 两点，同时，测
得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 之间的距离．
解：如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.
在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝ 3 sin 75°sin 60°
＝6＋22
. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝(3)2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 km ， 所以两目标A ，B 之间的距离为 5 千米． 11．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝15 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？
解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC
sin ∠ABC ， 解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，解得BC ＝6＋22
m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2
＝155＋ 3 m ，
综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.
12．如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以10 3 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，
在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝6.
又∵BC sin A ＝AC
sin ∠ABC
，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，
在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t
＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.
∴t ＝610
小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
[冲击名校]
如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为 3 米(将眼睛S 距地面的距离SA 按 3 米处理)．
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB ；
(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN ，且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN (设为θ)是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，作SC ⊥OB 于C ，依题意∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°.
又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得AB ＝SA
tan 30°
＝3 m ， 即摄影爱好者到立柱的水平距离AB 为3米．
在Rt △SCO 中，SC ＝3，∠CSO ＝30°，OC ＝SC ·tan 30°＝3，
又BC ＝SA ＝3，故OB ＝2 3 m ，即立柱的高度OB 为2 3 米．
(2)存在．∵cos ∠MOS ＝－cos ∠NOS ，∴MO 2＋SO 2－SM 22MO ·SO ＝－NO 2＋SO 2－SN 2
2NO ·SO
于是得SM 2＋SN 2＝26从而cos θ＝SM 2＋SN 2－MN 22SM ·SN ≥SM 2＋SN 2－MN 2SM 2＋SN 2＝1113
. 又∠MSN 为锐角，故当视角∠MSN 取最大值时，cos θ＝1113
. [高频滚动]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )
A.725 B ．－725
C ．±725 D.2425
解析：选A 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得b sin B ＝85b sin 2B
，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫452－1＝725. 2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6 ，∠B ＝2∠A .
(1)求cos A 的值；
(2)求c 的值．
解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，
所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A
. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63
. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝ 1－cos 2 A ＝33
.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2 B ＝223
. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A
＝5.。