湖北省2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题(解析版)

宜昌市葛洲坝中学高二年级5月考试试题
数学
命题人：何星月 审题人：祝海燕 考试时间：2023年5月
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. ()sin cos x x '=
-'=
C. D.
2(sin )2cos x x x x '=[]1
ln(5)5x x
'=【答案】B 【解析】
【分析】根据求导公式依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，，故A 错误.
()sin cos x x '=对选项B ，，故B 正确
.
312232
'⎛⎫'=== ⎪⎝⎭x x 对选项C ，，故C 错误.
22
sin 2sin cos ()='+x x x x x x 对选项D ，，故D 错误. ()()11
ln 555'
'⎡⎤=⋅=⎣⎦x x x x
故选：B
【点睛】本题主要考查导数的求导公式和求导法则，同时考查了符合函数的求导公式，属于简单题. 2. 圆与直线的位置关系是（ ） ()2
221x y -+=3420x y ++=A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
【答案】C 【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系进行比较即可. 【详解】圆的圆心为（2,0），半径为1， ()2
221x y -+=圆心到直线的距离，
3420x y ++=324028
155
d ⨯+⨯+==>所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于简单题.
3. 已知随机变量，且，则（ ） 2~0(),N ξσ()10.3P ξ≥=0()1P ξ-≤≤=A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4
D. 0.5
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意，正态曲线是一个关于对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可.
0x μ==【详解】由题意，随机变量，，则，
2
~0(),N ξσ()10.3P ξ≥=()10.3P ξ≤-=所以，. ()()()11
101110.30.30.222
P P ξξ-≤≤=-≤≤=--=故选：A.
【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
4. 2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ） A.
B.
C.
D.
1
4
34
110
310
【答案】A 【解析】
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】设事件A 为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB 为“两个青团子都为肉馅”，则事件A 包含的基本事件的个数为，事件AB 包含的基本事件的个数为，所以
()2
31C n A +==4()1n AB =, ()()()
14
n AB P B A n A =
=
故选：A
5. 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB ＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与所成C A '角的余弦值是（ ）
A.
B.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出C CA x CB y CC 'z 异面直线与所成角的余弦值．
CE C A '【详解】直三棱柱中，，，为的中点． ABC A B C -'''AC BC AA =='90ACB ∠=︒E BB '以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
C CA x CB y CC 'z 设，则，0，，，2，，，0，，，0，，
2AC BC AA =='=(0C 0)(0E 1)(0C '2)(2A 0)，2，，，0，， (0CE = 1)(2C A '=
2)-设异面直线与所成角为
，
CE C A 'θ则 ||cos ||||CE C A CE C A θ'==='
异面直线与
∴CE C A '故选：．
D
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的 大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字1
7.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数
至多含3个5的情况有（ ）
A. 10种
B. 25种
C. 26种
D. 27种
【答案】C 【解析】
【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.
【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：
不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种； 05C 1=15C 5=2
5C 10=含3个5，有种，所以，所有的可能情况共有种
35C 10=0123
5555C C C C 26+++=方法二：所有可能的情况有种，其中不符合条件有
5232=含有4个5，有种；含有5个5，有种； 45C 5=5
5C 1=所以，所有的可能情况共有种
545
552C C 325126--=--=故选：C .
7. 若是函数的极值点，则的值为 1x =()3
221()(1)33
f x x a x a a x =++-+-a A. -2 B. 3
C. -2或3
D. -3或2
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知，这样可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值'
(1)0f =a a 1x =点.
【详解】，由题意可知()()()()3
'2222()2(131)133
f x f x x a x a a x a x a a x =
++-=++-+-⇒+-
，或
'(1)0f =()()()2
1121303f a a a a ⇒=++-+-=⇒='2a =-当时，，
3a =(
)
2
'2
2
389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然
1,9x x ><-'
()0f x >91x -<<'
()0f x <是函数的极值点；
1x =()f x 当时，，所以函数是上的单调2a =-(
)
'
2
2
22
()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥R 递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B.
【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来a 验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 1x =8. 已知数列满足，若不等式对任意的{}n a ()
*1111,N 21n n n a n a a n n na ++=
=∈+281
0n a n n
λ++≥*N n ∈
都成立，则实数的取值范围是（ ） λA. B.
C.
D.
44,3∞⎡⎫
-
+⎪⎢⎣⎭
[)15,-+∞)
9,∞⎡--+⎣[)18,-+∞【答案】A 【解析】
【分析】根据构造数列和等差数列定义，通项公式以及对号函数的性质即可求解. 【详解】由数列满足， {}n a ()
*1111
,N 21
n n n a n a a n n na ++==∈+可得，易知， 21
6
a =0n a ≠因为
， 11
1
n n n a n a n na ++=+所以，
()1
11n n n na n
n a a ++=+所以
，
()11111n n
n a na +-=+因为， 112
a =
所以是首项为2，公差为1的等差数列，
1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
所以
， ()1
1111n n n na a =+-=+所以且，
()
1
1n a n n =
+0n a >因为不等式
恒成立， 2
81
0n a n n
λ++≥所以整理得恒成立，
()()81n n n
λ++≥-
因为，当且仅当()()(
)818999n n f n n n
n
⎛⎫++⎛⎫=-
=-++≤-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
. 8
n n n
=
⇒=当时，；当时，，
2n =()452153f =-=-3n =()44
33
f =-所以，
44
3λ≥-即实数的取值范围是， λ44,3∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对得2分.
9. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
x y x 90 95 100 105 110
y 11 10 8
6 5
用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确y x 0.32y x a
=-+0.9923r =-的有（ ）
A. 变量与负相关且相关性较强 x y
B.
40a =$C. 当时，的估计值为13 85x =y D. 相应于点的残差为 ()105,60.4-【答案】ABD 【解析】
【分析】根据相关性、相关系数判断A ，利用样本中心点判断B ，将代入回归直线方程判断C ，85x =求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.
105x =y 【详解】对A ，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A x y 0.9923r =正确；
对B ，由题可得，， ()190951001051101005x =++++=()1
111086585
y =++++=故回归直线恒过点
，故，即，故B 正确；
()100,8 80.32100a =-⨯+40a =$对C ，当时，，故C 错误；
85x = 0.32854012.8y =-⨯+=对D ，相应于点的残差，故D 正确. ()105,6()60.32105400.4e
=--⨯+=- 故选：ABD.
10. 如图AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于A ，B 点），直线PA 垂直于圆所在的平面，点M 为线段PB 的中点，则以下四个命题正确的是（ ）
A. PB ⊥AC
B. OC ⊥平面PAB
C. MO ∥平面PAC
D. 平面PAC ⊥平面PBC
【答案】CD 【解析】
【详解】利用反证法思想说明AB 错误；由直线与平面平行的判定判断C ；由平面与平面垂直的判定判断D ．
【解答】解：对于A ，假设PB ⊥AC ，由已知可得AC ⊥PA ，
又PA ∩PB ＝P ，平面，∴AC ⊥平面PAB ，而平面，则AC ⊥AB ，与∠CAB ,PA PB ⊂PAB AB ⊂PAB 是锐角矛盾，故A 错误；
对于B ，∵点C 是圆周上的任意一点，∴OC 与AB 不一定垂直， 若OC ⊥平面PAB ，则OC 一定与AB 垂直，故B 错误；
对于C ，∵点M 为线段PB 的中点，点O 为AB 的中点，∴OM ∥PA ， 而OM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴MO ∥平面PAC ，故C 正确；
对于D ，∵PA 垂直于圆所在的平面，∴PA ⊥BC ，由已知得BC ⊥AC ，
且PA ∩AC ＝A ，平面，∴BC ⊥平面PAC ，而BC ⊂平面PBC ，则平面PAC ⊥平面PBC ，,PA AC ⊂PAC 故D 正确． 故选：CD ．
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A.
2222
34510C C C C 164+++⋅⋅⋅+=B. 在第2022行中第1011个数最大 C. 记“杨辉三角”第行的第i 个数为，则
n i a ()
1
1
1
2
3n i n i i a +-==∑D. 第34行中第15个数与第16个数之比为 2:3【答案】AC 【解析】
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可. 【详解】A ：
22222222332223451033451034333345103113C C C C C C C C C C C C C C C C C 164,
+-=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++-=-=++⋅⋅⋅+所以本选项正确；
B ：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第
个数最大，所以()2022
a b +2022
110122
+=本选项不正确；
C ：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数，
n ()n
a b +
所以，
1
C i i n a -=，
()
(
)()
()111
1
1
1
1
11
1
11
12
223C
C
112n n n i i n
r r n i n i n i i i i n
a ---+-+++---===⋅=⋅⋅=+==∑∑∑因此本选项正确；
D ：第34行是二项式的展开式系数，
()34
a b +所以第15个数与第16个数之比为，因此本选项不正确，
1415
3434C :C 3:4=故选：AC
12. 已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
()e 1
ln x f x ax a x x
=++1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a
A.
B.
C.
D. e --2
e 2
-72
-
【答案】BD 【解析】
【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在()0f x '=1,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
e 0x ax +=有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解. 1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e x
g x x
=-【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的1,22x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭()0f x '=1,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
根.，令，则，
()()()2
1e x x ax f x x
-'+=
()0f x '=1
1x
=即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
e 0x
ax +=1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e
x
a x
=-令，则，故当 单调递增， ()e x g x x =-()()2
1e x x g x x
-'=-()()11,0,2x g x g x '>>>
当 单调递减，且 ()()21,0,x g x g x '>><()()2e 11e,2,22g g g ⎛⎫
⎪⎝⎭
=-=-=-
即，
2e ,2a ⎛∈-- ⎝故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图像在处的切线方程为__________． ()x
x
f x e =0x =【答案】 y x =【解析】
【分析】本题首先可以根据题意求出导函数以及的值，然后根据以及直线的点斜()f x '()0f '()00f =式方程即可得出结果. 【详解】因为，所以，， ()x x f x e =()1x
x f x e
-'=()01
01f e '==因为， ()0
00f e =
=所以函数在处的切线方程为，即， ()f x 0x =()010y x -=⨯-y x =故答案为：.
y x =【点睛】本题考查函数在某一点处的切线方程的求法，考查导数的几何意义，函数在某一点处的导数即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.
14. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则
N x *∈20x <90%的值可以是__________.（横线上给出一个满足条件的x 的值即可） x 对工作满意 对工作不满意
男 5x 5x 女
4x
6x 附：，其中.
()()()()
2
2
()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（或中任意一个） 1415,16,17,18,19【解析】
【分析】根据卡方公式求出的取值范围，再根据且，即可得解.
x N x *∈20x <
【详解】，解得， ()
2
22
220302020 2.706101091199
x x x x
K x x x x
⋅-=
=
>⋅⋅⋅13.3947x >因为且，所以或或或或或. N x *∈20x <14x =15x =16x =17x =18x =19x =故答案为：（或中任意一个）
1415,16,17,18,1915. 已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲
1F 2F ()22
2210,0x y a b a b
-=>>1F x 线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜A A 12F AF B α1BF 角，若，则该双曲线离心率的取值范围是______. ,43ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭【答案】
【解析】
【分析】由题意，根据双曲线的对称性得到点B 也在双曲线的渐近线上，且B 在第一象限，从而得到
，再为直线的倾斜角，且，在中，由求解. ,bc B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭α1BF ,43ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
12Rt BF F tan 22bc
b a
c a
α==【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，1F x A A 四边形为平行四边形，
12F AF B 所以由双曲线的对称性可知点B 也在双曲线的渐近线上，且B 在第一象限， 因为，所以，则， 1AF x ⊥2BF x ⊥,
bc B c a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
因为为直线的倾斜角，且， α1BF ,43ππα⎛⎫∈
⎪⎝
⎭所以在中，
，且， 12Rt BF F tan 22
bc
b a
c a
α==
(tan
α∈则，即，即， 12b a <<22412b a <<22
2412c a a
-<<即
2513e <
<
e <<所以该双曲线离心率的取值范围是，
故答案为：
16. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，
{}n a n n S {}n b n n T 12a =3()n n S n m a =+，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．
()m R ∈n n a b n =*n ∈N 2n n T T λ+≥λ【答案】
13
【解析】
【分析】先根据数列的递推公式可求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列B n ＝11
1
n n a n a n -+=-T 2n ﹣T n ，判断数列的单调性，即可求出 【详解】∵3S n ＝（n +m ）a n ， ∴3S 1＝3a 1＝（1+m ）a 1，解得m ＝2， ∴3S n ＝（n +2）a n ，①，
当n ≥2时，3S n ﹣1＝（n +1）a n ﹣1，②， 由①﹣②可得3a n ＝（n +2）a n ﹣（n +1）a n ﹣1， 即（n ﹣1）a n ＝（n +1）a n ﹣1，
∴， 11
1
n n a n a n -+=-∴
，，，…，，， 2131a a =3242a a =4353a a =122n n a n a n --=-11
1
n n a n a n -+=-累乘可得a n ＝n （n +1）， 经检验a 1＝2符合题意， ∴a n ＝n （n +1），n ∈N *， ∵a n b n ＝n ， ∴b n ， 1
1
n =
+令B n ＝T 2n ﹣T n ， 1112321
n n n =++++++则B n +1﹣B n 0，
()()()
34
22232n n n n +=
+++＞∴数列{B n }为递增数列， ∴B n ≥B 1， 13
=
∵存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立，
∴λ≥B 1， 13
=
故实数λ的最小值为， 13
故答案为
． 13
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.
三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
()()2
2
cos cos sin f x x x x x x R =+-∈（1）求的最小正周期； ()f x （2）当时，求的值域. 02
x π
<<
()f x 【答案】（1）
π（2） (]1,2-【解析】
【分析】（1）根据辅角公式可得，由此即可求出的最小正周期； ()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
()f x （2）根据，可得
，在结合正弦函数的性质，即可求出结果. 02
x π
<<726
6
6
x π
π
π
<+
<
【小问1详解】
解：
()cos22sin 26f x x x x π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭所以最小正周期为； ()f x π【小问2详解】
， 02
x π
<<
Q 726
6
6
x π
π
π
∴
<+
<
，的值域为. 1sin 2126x π⎛
⎫∴-
<+≤ ⎪⎝
⎭()f x ∴(]1,2-18. 已知是正项等比数列，是等差数列，且，，. {}n a {}n b 111a b ==3241a b b +=+232a b +=（1）求和的通项公式；
{}n a {}n b （2）从下面条件①、②中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.
{}n c n n S
条件①：；条件②：；条件③：.
n n n b c a =n n n c a b =()()1322n
n n n c a a +=
++注：若条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1），
13n n
a -=21n
b n =-（2）若选①，；若选②，；若选③，. 113n n n S +=-(1)31n
n
S n =-⨯+311()2332
n n S =-+【解析】
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式列式求出公比和公差即可得结果； （2）利用错位相减法和裂项求和法可求出结果. 【小问1详解】
设等比数列的公比为，等差数列的公差为， {}n a q (0)q >{}n b d 由，，，
111a b ==3241a b b +=+232a b +=得，解得（负值已舍），则， 21113212q d d
q d
⎧+=+++⎨+=+⎩3q =2d =所以，，
13n n
a -=21n
b n =-【小问2详解】 若选①：，则， n n n b
c a =213
n n n c -=则， 23135213333n n S n -=
++++ ， 234113512133333
n n S n +-=++++ 则，
2341111111212()3333333
n n n n n S S +--=+++++- 则， 1111(1)
2121932133313
n n n n S -+--=+⨯
--则，所以. 12222333n n n S ++=-113
n n n S +=-若选②：，则，
n n n c a b =1
(21)3n n c n -=-⨯则，
0121
133353(21)3
n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，
1233133353(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯
则，
231212(3333)(21)3n n
n S n --=+++++--⨯ 则，
13(13)
212(21)313
n n n S n ---=+⨯--⨯-得.
(1)31n
n S n =-⨯+若选③：，则， ()()1322n n n n c a a +=++13(32)(32)n
n n n c -=++131123232n n
-⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
所以 223131111111121232323232323232n n n
S -⎛⎫
=
-+-+-++- ⎪++++++++⎝⎭
. 311
(2332
n =-+19. 如图1，直角梯形中，，，，为的中点，ABCD 224CD AB BC ===AB CD AB BC ⊥E CD 现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中为的中点，为DAE
AE CD =F AD G BD 上一点，与交于点，连接.
AC
BE O OF
（1）求证：平面； //CD EFB （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角. G BCE -2
3
GEC BEC θ【答案】（1）证明见解析；
（2）. 45︒【解析】
【分析】（1）证明出，，两两互相垂直，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标DE AE CE E 系，利用向量法证明平面；
E xyz -//CD EFB （2）设点到平面的距离为，利用体积求出，利用向量法求出平面与平面的G BCE h 1h =GEC BEC 夹角.
【小问1详解】
在直角梯形中，，，，为的中点， ABCD 224CD AB BC ===//AB CD AB BC ⊥E CD 由翻折的性质可得，翻折后，，
AE EC ⊥DE AE ⊥
又，，
2DE CE =
=CD =，则，故，，两两互相垂直，
222CD DE CE ∴=+DE CE ⊥DE AE CE 以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图示：
∴E E xyz
-
则，，，，
()0,2,0C ()0,0,2D ()1,1,0O ()1,0,1F ，，
()0,2,2CD ∴=- ()0,1,1OF =-
，即，
2CD OF ∴=
//OF CD 又平面，平面，
CD
⊄EFB OF ⊂EFB 平面．
∴//CD EFB 【小问2详解】
设点到平面的距离为， G BCE h 则，解得， 1112
223323
G BCE BCE V S h h -=
⋅=⨯⨯⨯⨯= 1h =点为的中点，
∴G BD 在空间直角坐标系中，，，.
∴E xyz -()1,1,1G ()0,0,0E ()0,2,0C ，，
()1,1,1EG ∴=
()0,2,0EC = 设平面的法向量为，
GEC (),,n x y z =
则，即，令，则，， 0
n EG n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
020x y z y ++=⎧⎨=⎩=1x -0y =1z =故平面的一个法向量为，
GEC ()1,0,1n =-
又平面的一个法向量为，
BEC ()0,0,1m =
所以，
cos ,m n m n m n ⋅===
令平面与平面的夹角，由图可知，， GEC BEC θ090θ<<︒则，即．
cos θ=
45θ=︒20. 袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球，甲、乙两人分别从中随机地连续抽取3次，每次抽取1个球．
（1）若甲是无放回地抽取，求甲至多抽到一个黑球的概率；
（2）若乙是有放回地抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分的分布列和数学X 期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析，； 49
60
()39E X =【解析】
【分析】（1）由无放回抽取，甲至多抽到一个黑球事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，结合古典概型的概率求它们的概率，然后加总两种情况下的概率即为甲至多抽到一个黑球的概率；（2）由有放回地抽取及白球得10分，黑球得20分，可知抽取3个球的事件{3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球}对应，结合二项分布概率公式即可求4种情况下的概率，得到分布列，X {30,40,50,60}应用分布列求期望即可；
【详解】（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}；
∴没有抽到黑球}，抽到一个黑球}， {P 37310724C C =={P 21
733
1021
40
C C C ==∴甲至多抽到一个黑球的概率为：
； 72149244060
+=（2）乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，
∴抽取3次{3个白球，2个白球1个黑球，1个白球2个黑球，3个黑球}， 对应的取值有；而每次抽到白球、黑球的概率分别为、， X {30,40,50,60}710310
故：，即可得分布列如下： 3373(3010)(
)(1010
r
r r
P X r C -=+=
X 30
40
50
60
P 3431000 441
1000 189
1000 27
1000
∴ ()34344118927
30405060391000100010001000
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查了求有无放回事件的概率，应用古典概型求无放回试验的概率，并根据有放回试验中的各次试验的独立性，应用二项分布求分布列，进而求期望值；
21. 已知、是椭圆
，点在椭圆上，且
1F 2F ()2222:
10x y C a b a b +=>>A C 的周长为． 12AF F △2+（1）求椭圆的方程：
C （2）若点为椭圆的上顶点，过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两个不同的点、
B C ()0,2D x l C P ，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：
Q BP x M BQ x N 为定值．
OM ON ⋅【答案】（1）；（2）证明见解析.
2
212
x y +=【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得、、的值，进而可得出椭圆的标准方程；
a b c C （2）设直线的方程为，设点、、、，将直线的方l 2y kx =+()11,P x y ()22,Q x y (),0M m (),0
N n l 程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点
、的坐标，结合韦达定理可计算出的C M N OM ON ⋅值，进而得解.
【详解】（1）由题意可得，解得，，，
222
0c a a c a ⎧=
⎪⎪⎪
+=+⎨⎪>⎪⎪⎩
a =1
c =1b ∴==因此，椭圆的方程为；
C 2
212
x y +=（2）如下图所示：
设直线的方程为，设点、、、，
l 2y kx =+()11,P x y ()22,Q x y (),0M m (),0N n
联立，消去并整理得， 22
212
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()22
21860k x kx +++=，可得.
()22264242116240k k k ∆=-+=->232
k >由韦达定理可得，， 122821k
x x k +=-
+122
621
x x k =+易知点，直线的斜率为，直线方程为， ()0,1B BP 1111111y kx k x x -+=
=BP 11
1
1kx y x x +=+由于直线交轴于点，可得
，解得，同理可得， BP x M 11110kx m x ++=111x m kx =-+221
x
n kx =-+，
()()()2121222212121226
216681111
21
x x x x k mn k k kx kx k x x k x x k +=
===-+++++++ 因此，.
6OM ON mn ⋅==【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 22. 已知函数．
()1()ln f x a x a R =+∈（1）若，讨论函数的单调区间： ()()g x x f x =-()g x （2）若， （其中是自然对数的底数），且， ， 2
1()2
t x x x =+()1x h x e =-e 1a =(0,)x ∈+∞求证：
（i ）；
()()()h x t x f x >>（ⅱ） ．
()()2
·ln 1h x x x +>【答案】（1）单调区间见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】
【分析】（1）将的解析式写出，对其求导。

分类讨论求得其单调区间； ()g x （2）（i ）利用导数，研究相应函数的单调性，证得不等式成立； （ii ）将不等式进行变形，即证
，构造新函数，求导研究其单调性，证得结果. ln(1)1
x x x
x e +>-【详解】（1）， ()()ln 1,(0)g x x f x x a x x =-=-->所以， ()1a x a
g x x x
'-=-
=
所以当时，在上恒成立，函数在上是增函数， 0a ≤()0g x '>(0,)+∞()g x (0,)+∞当时，当时，，所以函数在上是增函数， 0a >x a >()0g x '>()g x (,)a +∞当时，，所以函数在上是减函数， 0x a <<()0g x '<()g x (0,)a 所以当时，函数在上是增函数；
0a ≤()g x (0,)+∞当时，函数在上是增函数，在上是减函数； 0a >()g x (,)a +∞(0,)a （2）（i ）， 2
1()()1()2
x
h x t x e x x u x -=--
-=则，， ()1x
u x e x ='--()1x
u x e ='-'当时，， 0x >()0u x ''>所以在上单调增， ()u x '(0,)+∞所以， ()()00u x u ''≥=所以在上单调增，
()u x (0,)+∞所以，所以在上恒成立， ()(0)0u x u >=()()0h x t x ->(0,)+∞即，
()()h x t x >当时，，所以当时，， 1a =2211
()()22
v x t x x x x x x =-=+-=0x >()0v x >所以，
()t x x >，， ()ln 1s x x x =--()11
1x s x x x
'-=-
=所以当时，，当时，， 1x >()0s x '>01x <<()0s x '<所以在上单调递减，在上单调递增， ()s x (0,1)(1,)+∞所以，所以， ()(1)0s x s ≥=ln 1x x ≥+所以有，即， ()()t x x f x >≥()()t x f x >即；
()()()h x t x f x >>（ii ）要证，即证，即证
， ()()2·ln 1h x x x +>2
(e 1)ln(1)x x x -+>ln(1)1
x x x
x e +>-设，则，即证， ()1x
x R x e =
-ln(1)
(ln(1))x R x x
++=(ln(1))()R x R x +>
因为，
()()()()2211111x x x
x x e x e xe R x e e ---=='---令，则，
()(1)1x r x e x =--()()()110x x x r x e x e xe '=-+-=-<所以在上单调递减，，
()r x (0,)+∞()(0)110r x r <=-=所以，所以在上单调递减，
()0R x '<()R x (0,)+∞再证：，
ln(1)x x +<令， ， ()ln(1)p x x x =+-()11011
x p x x x =-=-+'<+所以在上单调递减，所以，
()p x (0,)+∞()(0)0p x p <=所以，所以，
ln(1)x x +<(ln(1))()R x R x +>即得证.
2(e 1)ln(1)x x x -+>【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，构造新函数研究函数的单调增证得不等式，属于较难题目.。