黑水县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

黑水县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．a ＜1＜b
B ．a ＜b ＜1
C ．1＜a ＜b
D ．b ＜1＜a
2． 已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
3 B ．5 C.7
D ．34
3． 已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）
|x ﹣2|
+（）
|x ﹣2|
，则关于x 的不等
式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）
B ．（，2）
C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）
D ．（﹣，2）
4． 如图，该程序运行后输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
5． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
6． 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A ．
πR 3
B ．
πR 3
C ．
πR 3
D ．
πR 3
7． 下列命题正确的是（ ）
A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22
a b >”的必要不充分条件
B ．“存在0x R ∈，使得2
010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有2
10x ->” C ．函数13
1()()2x
f x x =-的零点在区间11(,)32
内
D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥
8． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）
A ．20人
B ．40人
C ．70人
D ．80人
9． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）
的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．给出下列两个结论： ①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；
②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；
则判断正确的是（ ） A ．①对②错 B ．①错②对 C ．①②都对
D ．①②都错
11．lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），
则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2
，且
函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a ≤
C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
二、填空题
13．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2
=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．
15．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面
SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．
16．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ． 17．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，CE=3，异面直线A 1C 1与CE
所成角的余弦值为
，且四边形ABB 1A 1为正方形，则球O 的直径为 ．
18．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
三、解答题
19．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，
且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．
20．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2
ln f x ax x =+，
()21145ln 639f x x x x =
++，()221
22
f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3）当2
3
a =
时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）
21．已知椭圆G ：
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，右焦点为（2
，0），斜率为1的直线l 与椭圆
G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△PAB 的面积．
22．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；
（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=
，R=
，试比较P ，Q ，R 的
大小，并说明理由．
23．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．
24．已知集合P={x|2x2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．
黑水县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由f（x）=e x+x﹣2=0得e x=2﹣x，
由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，
作出计算y=e x，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，
∴y=e x与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．
2．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
3．【答案】B
【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，
由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），
∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；
故选：B．
4．【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（）
D
【解析】解：因为A=1，s=1
判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2；
判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3；
判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4；
判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5；
判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；
此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5．
故答案为5．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．
5．【答案】C
【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
6．【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=
故选A
7．【答案】C
【解析】
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.
8． 【答案】A
【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，
则这样的样本容量是n==20．
故选A ．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解
答的关键．
9． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f （﹣x ）+f （x ）=0
即（k ﹣1）（a x ﹣a ﹣x
）=0
则k=1
又∵函数f （x ）=ka x
﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a ＞1
则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
10．【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确．
故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
11．【答案】A
【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
二、填空题
13．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
法，本题的解答中把y
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
x
14．【答案】（，）．
【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C的坐标为（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
16．【答案】35．
【解析】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），
∴数列{a n}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去）
∴a n=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2．
∴a1=﹣1，
∴S10=10a1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
17．【答案】4或．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
18．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，
在△PF1F2中，由勾股定理得，，
即4c2=20，解得c2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，
∵，，
∴，解得．
∴P （）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
20．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2） a 的范围是11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足
()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-
=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
试题解析：
（1）因为()12f x ax x '=+
，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为1
2k ae e
=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛
⎫=+-++ ⎪⎝
⎭，
整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛
⎫--+< ⎪⎝
⎭，对()1,x ∈+∞恒成立，
因为()()1212p x a x a x =--+'()2
2121a x ax x --+=()()()
1211*x a x x
⎡⎤---⎣⎦=
令()0p x '=，得极值点11x =，21
21
x a =-，
①当112a <<时，有211x x >=，即1
12
a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>，
此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意；
②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()
1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当1
2
a ≤
时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数；
要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022
p a a =--≤⇒≥-， 所以11
22
a -
≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
． （利用参数分离得正确答案扣2分）
（3）当23a =
时，()21145ln 639f x x x x =++，()221423
f x x x =+ 记()()22115
ln 39
y f x f x x x =-=-，()1,x ∈+∞．
因为22565399x x y x x
='-=-，
令0y '=，得x =
所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝
为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，
所以当x =时，min 59
180y =
设()()()159
01180
R x f x λλ=+<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=
，又b 2
=a 2﹣c 2
=4，
所以椭圆G 的方程为．
（Ⅱ）设直线l 的方程为y=x+m ，
由
得4x 2+6mx+3m 2
﹣12=0．①
设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（x 1＜x 2），AB 的中点为E （x 0，y 0），
则x 0=
=﹣
，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．
∴g（x）=e x．，f（﹣x）=ln（﹣x），
则函数的导数g′（x）=e x，f′（x）=，（x＜0），
设直线m与g（x）相切与点（x1，），
则切线斜率k2==，则x1=1，k2=e，
设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1==，则x2=﹣e，k1=﹣，
故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m．
（Ⅱ）不妨设a＞b，
∵P﹣R=g（）﹣=﹣=﹣＜0，∴P＜R，
∵P﹣Q=g（）﹣=﹣
==，
令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x）＜φ（0）=0，
取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，
⇔==1﹣
令t（x）=﹣1+，
则t′（x）=﹣=≥0，
则t（x）在（0，+∞）上单调递增，
故t（x）＞t（0）=0，
取x=a﹣b，则﹣1+＞0，
∴R＞Q，
综上，P＜Q＜R，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数，得
x+y﹣=0，
直线l的直角坐标方程为x+y﹣=0，
∵圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．
∴（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．
∴圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．
（Ⅱ）∵圆心C（﹣，﹣），半径为r，…（5分）
圆心C到直线x+y﹣=0的距离为d==2，
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，
∴r=3﹣2=1．
【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．24．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}
则P∩Q={1}
（2）∵a≤a+1，∴Q={x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0}={x|a≤x≤a+1}
∵x∈P是x∈Q的充分条件，∴P⊆Q
∴，即实数a的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．。