高中数学必修2立体几何常考题型：球的体积和表面积

A ．12π
B ．16π
球的体积和表面积
【知识梳理】 1．球的体积 设球的半径为 R ，则球的体积 V ＝ 43πR 3.
3
2．球的表面积 设球的半径为 R ，则球的表面积 S ＝ 4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍．
【常考题型】 题型一、球的体积与表面积 【例 1 】 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球 面面积之比．
[ 解] 设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，球的半径为 R ，
r ＝2R
∴ 31π(2R)2·h ＝ 34πR 3，∴ R ＝h ， r ＝ 2h ，
∴ l ＝ r 2＋ h 2＝ 5h ，
∴ S 圆锥侧＝πrl ＝π× 2h × 5h ＝2 5πh 2 ， S 球＝4πR 2＝4πh 2，
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R ，然后代入体积或 表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也 就易如反掌了．
【对点训练】
1．球的体积是 332 π，则此球的表面积是 ( )
则由题意得 1 2 4 3
3πr 2·
h ＝3πR 3
类题通
法】
C.16π
解析：选 B 设球的半径为R，则由已知得43πR3＝323π，解得R＝ 2.
33 故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
题型二、根据三视图计算球的体积与表面积
【例2】一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是 ______ cm2.
[解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四
π
1
2
棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－2×π× 12＝2－2π，四棱柱中不重合的表面积为π π 1 1 5
2－2＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－2，半圆柱中不重合的表面积为2× 2π× 2＋2π＝2π，半球的
1
表面积为2× 4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.
[答案] 4π＋12
【类题通法】
1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．
【对点训练】
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )
A ．18π
C ．33π 解析： 选 C 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于
3， 圆锥的母线长等于 5，所以该几何体的表面积 S ＝2π× 32＋ π× 3× 5＝33π.
题型三、球的截面问题
【例 3】 已知球的两平行截面的面积为 5π和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为
1，
求这个球的表面积．
［解］ 如图所示，设以 r 1 为半径的截面面积为 5π，以 r 2为半径的截面 面积为 8π，O 1O 2＝1，球的半径为 R ， OO 2＝ x ，那么可得下列关系式：
2 2 2 2 2 2
r 2＝ R － x 且 πr 2＝π（R － x ）＝
8π，
2 2 2 2 2 2 r 1＝ R － （x ＋1） 且 πr 1＝π［R － （x ＋ 1） ］＝ 5π，
2 2 2 2
于是 π（R －x ）－π［R －（x ＋1） ］＝ 8π－5π， 2 2 2 2 即 R 2－x 2－R 2＋x 2＋2x ＋ 1＝3，∴2x ＝2，即 x ＝1.
2 2 2 2 又∵π（R 2－x 2）＝8π，∴R 2－1＝8，R 2＝9，∴R ＝3.
22 球的表面积为 S ＝ 4πR ＝4π× 3 ＝36π.
【类题通法】
球的截面问题的解题技巧 （1）有关球的截面问题，常画出
过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
（2） 解题时要注意借助球半径 R ，截面圆半径 r ，球心到截面的距离 d 构成的直角三角形， 即 R 2＝d 2＋ r 2
.
B ．30 π D ． 40π
C ．1∶3
D ．1∶1
【对点训练】
3．已知过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC ＝BC ＝ 6， AB ＝4，求球的表面积与球的体积．
解： 如图，设球心为 O ，球半径为 R ，作 OO 1 垂直平面 ABC 于 O 1，
由于 OA ＝ OB ＝ OC ＝ R ，
则 O 1 是△ABC 的外心．
设 M 是 AB 的中点，
由于 AC ＝BC ，则 O 1在 CM 上．
设 O 1M ＝ x ，易知 O 1M ⊥AB ，
又 O 1A ＝O 1C ，∴ 22＋x 2＝ 62－ 22－ x.
R
在 Rt △OO 1A 中， O 1O ＝ 2，∠OO 1A ＝ 90°，OA ＝R.
由勾股定理得 (2R )2＋(942)2＝ R 2.
解得 R ＝ 326.
故 S 球＝ 4πR 2＝ 54π， V 球 ＝34πR 3＝ 27 6π.
3
练习反馈】
1．两个球的半径之比为 1∶ 3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A ．
1∶9 B ．1∶
27解得 x ＝ 72 4 .则 O 1A ＝ O 1B ＝ O 1C ＝ 92
4
设 O 1A
＝
O 1C ＝ CM －O 1M ＝
答案： A
2．棱长为 2 的正方体的外接球的表面积是 ( )
A ． 8π
B ．4π
C ．12π
D ． 16π
解析： 选 C 正方体的体对角线长为 2 3，即 2R ＝ 2 3， ∴R ＝ 3，S ＝ 4πR 2＝12π.
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的 __________ 倍．
43 V 地 3π2r 3 解析： 设火星半径为 r ，地球半径则为 2r ， ＝ 3 ＝8.
V 火 4πr 3
火
3πr 答案： 8
的面积为 3π，则球 O 的表面积等于 _______
解析： 由题意得圆 M 的半径 r ＝ 3，又球心到圆
定理得 R 2＝r 2＋(2R )2，R ＝ 2，则球的表面积为 16π.
答案： 16π
5． (1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积．
(2)已知球的体积为 1038 π，求它的表面积．
解： (1)∵直径为 2，∴半径 r ＝1，∴表面积 S 球＝ 4πr 2＝ 4π× 12＝ 4π，体积 V 球＝ 34πr 3＝ 34π× 13 33
(2)∵V 球＝34πr 3＝1038π，∴r 3＝27，r ＝3，∴S 球＝4π×32＝36π.
你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。

(舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风)我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃 花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。

用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。

篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。

你必得一个人和日月星辰对 话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无 法知道它的对错。

到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。

看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也 没有等到月亮升起。

潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了⋯⋯记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消
灼灼其华，非我桃花。

苍苍蒹葭，覆我其霜。

芦荻不美，桃花艳妖。

知我怜我，始觉爱呵。

只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还 可以重新回来只要生
命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在 我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色
的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。

一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝 随风舞动。

眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。

淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。

暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。

原来 时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。

尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。

婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀 扶的老人 ... 那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。

余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。

孔明灯真的很漂亮，就
像是星星流过天河的声音。

你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。

原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。

能忘掉结果，未能忘掉遇上。

我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。

风。

无垠的旷野。

一棵树。

就那么一棵树，孤零零的。

风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。

天高路远，是永不能抵达的摸样 ............................................ 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必 定有光 最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。

我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。

过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。

谁也阻止不了忘记的 步伐每一次的离别都在夏天，4．已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M
融。

保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。

明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。

睡着你的秘密，醒着你的自由。

它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。

人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。

人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年⋯⋯人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。

有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。

桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。

那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。

桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。

问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。

竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻等候，公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过千年。

1、起地你出小起时，我们手牵手，看过声地你一棵树的叶子，闻过声
地你一朵花香。

夏日如格成我实每我们一实每吃孩把发一冰激凌一实每在绿茵道上玩会也嬉闹。

我们不实把发一零食和啤酒，坐在广时说的大草作把上看电影。

冬日午实每好如我躺在在作腿上晒把发一太阳的慵懒时光我躺在在作怀如格成我实每，风着一格光透格成我就为吃孩风着一格玻璃窗，温暖一格那他的开清亮。

实每好如来作把图上几公分的距离，成了我们那他也也天过却法跨越的海角开天觉涯。

小小的白纸上记录着我们的曾经虽然有的时候真的相信的未必开花结果可是那本子里记录的快乐与我们的青春与泪水与那时的我们，还谈论着自己的青春、年少与梦想记得那一年你的离开我在夜里痛哭了一场那天，你的作文被贴在最显眼的地方当我们蜂拥来到你的作文旁却只得到你要走了的消息可你却不彻底磨灭我们的希望你说过你会回来我相信你所以我就傻傻的等着一年又一年，就这样两年时光飞逝正当我要忘记你时，你回来了那时我真的很高兴好像冲上讲台，拥抱一下你问问你，这几年过得好吗本上的荷花提醒着我们要出淤泥而不染更要濯清涟而不妖是你让我懂得了友情的可贵我们一定会再见的“你想要我追那只风筝给你吗?” 他的喉结吞咽着上下蠕动。

风掠起他的头发。

我想我看到他点头“为你，千千万万遍。

”我听见自己说。

然后我转过身，我追。

它只是一个微笑，没有别的了。

它没有让所有事情恢复正常。

它没有让任何事情恢复正常。

只是一个微笑，一件小小的事情，像是树林中的一片叶子，在惊鸟的飞起中晃动着。

但我会迎接它，张开双臂。

因为每逢春天到来，它总是每次融化一片雪花；而也许我刚刚看到的，正是第一片雪花的融化。

我追。

一个成年人在一群尖叫的孩子中奔跑。

但我不在乎。

我追。

风拂过我的脸庞，我唇上挂着一个像潘杰希尔峡谷那样大大的微笑。

我追。

一个安静的夜晚，我独自一人，有些空虚，有些凄凉。

坐在星空下，抬头仰望美丽天空，感觉真实却又虚幻，闪闪烁烁，似乎看来还有些跳动。

美的一切总在瞬间，如同“海市蜃楼”般，也只是刹那间的一闪而过，当天空变得明亮，而这星星也早已一同退去⋯⋯夕阳已去，皎月方来。

朱自清月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。

薄薄的青雾浮起在荷塘里。

叶子和花仿佛在牛乳中洗过一样；又像笼
着轻纱的梦。

虽然是满月，天上却有一层淡淡的云，所以不能朗照；但我以为这恰是到了好处酣眠固不可少，小睡也别有风味的。

月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影，峭愣愣如鬼一般；变变的杨柳的稀疏的倩影，却又像是画在荷叶上。

塘中的月色并不均匀；但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。

东风里，掠过我脸边，星呀星的细雨，是春天的绒毛呢。

好久不见，你们还好吗？一直觉得学校最神圣的能力，就是把一些原本毫无瓜葛的人聚在了一间教室里，并在他们最美好的年纪，留下了一生中最珍贵的记忆。

然后不经意间，也决定了很多人这一生中最好的朋友是谁。

许多年过去，我们已经渐渐长大，也渐渐散落在天涯。

那些白衣飘飘的年代仿佛还在昨天，那些风华正茂的人呐，仿佛还是少年⋯⋯将清晨化成钥匙，扔到水井去。

慢慢走，我心爱的月亮，慢慢走，让朝阳忘记从东方升起，慢慢走，我心爱的月亮。