初中数学实数与二次根式综合

实数与二次根式综合
一．实数
有理数和无理数统称为实数，实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类 （2）按大小分类
2．实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如3-的相反数为3，倒数为3
33
1-
=-
，3-的绝对值为33=-。

3．实数与数轴上点的关系
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

4．实数的运算
（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。

二．平方根与立方根
1．平方根性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根 2．注意点：
（1）求一个正数的平方根，“±”不能忘。

（2
0.23=
，
2
6=
，
2
0.125=。

（3）
再求这个结果的平方根。

的结果为4，则4
2。

（4）根号里面是带分数、算式时，先把带分数化成假分数，把算式化简，再求平方根。

（5）解最高次数为x 2
的方程时，x 一般都有两个解。

3．立方根性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

三．二次根式
1．二次根式的性质： （1）)0()(2≥=a a a ；
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==)
0()0(0
)0(2
a a a a a
a a ； 2．最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。

即被开方数不含有分母。

②被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。

即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。

3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。

⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数
负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0⎪⎩
⎪⎨⎧负实数正实数
实数
四．二次根式的运算
1．二次根式的运算法则：
（1）)0()(≥+=+c c b a c b c a ； （2）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；
（3）
)0,0(>≥=
b a b
a
b
a ； （4）)0()(≥=a a a n n ； 2．分母有理化：前面学过分母是单项二次根式时，
b a +与b a +互为有理化因式。

那么两项式的二次根式的有理化因式是b a +与b a -。

b a -与b a + 互为有理化因式。

3．二次根式的混合运算
（1）运算顺序：二次根式的加、减、乘（乘方）、除的运算顺序与实数的运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。

（2）在二次根式的混合运算中，整式和分式中的运算法则、定律、公式等仍然适用。

五．非负性及应用 1．非负数包括正数和零
2．常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下： ①若a 是实数，则0a ≥； ②若a 是实数，则20n
a ≥（n 为正整数），当n=1时，a 2≥0；
③n 为正整数）在实数范围内有意义，则0a ≥0≥；
3．非负数有如下性质：
①有限个非负数之和是非负数；
②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。

实数与二次根式综合复习专练
一、填空题
1．在π,3,8
5
,0,5.2,16,17.2---∙
∙中，属于有理数的是 ， 属于无理数的是 。

2．设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的实数，则=+-c b a 。

3．计算=∙273
11 ；=÷⨯
33
13 。

4．化简：=⨯÷+-18271264
17
1。

5．23-的相反数是 ；
23-= 。

6．若2
0a b a b a --<<则= 。

7．计算
=+-232 。

8。

9．比较大小：3+6+。

10．若1+x 是4的平方根，则x = ；若1+x 是-8的立方根，则x = 。

二、单项选择题 1．若23-+-x x 有意义，则x 的取值为（ ）
A ．x ﹥3
B ．x ﹤3
C ．x ≦3
D ．x =3
2．下列各式中：,321024,1.000001.0,3
42710253-=-==()272733
-=--，计算正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．已知a 、b 是实数，下列命题中正确的是（ ） A ．22,b a b a >>则 B ．22,b a b a >>则 C ．22,b a b a >>则
D ．2233,b a b a >>则
4．设a 、b 均为负实数，且b a ->，则（ ） A ．b a ->
B ．b a <
C ．b a -<-
D ．b a >
5．若数轴上表示数a 的点在原点左边，则化简22a a +的结果是（ ）
A ．a 3
B ．a 3-
C ．a
D ．a -
6．下列答句中不正确的是（ ）
A ．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽；
B ．8的立方根是±2；
C ．绝对值等于6的实数是6；
D ．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。

7．下列计算正确的是（ ） A ．2
7423
= B ．213
2319
= C ．
()02343>=
y y
xy y x
D ．
23
1
132=÷ 8．一个三角形的三边的长为502,322,83，则此三角形的周长是（ ） A ．29 B ．21032226++ C ．50214+ D ．224
9．底面为正方形的水池容积是3
86.4m ，池深m 5.1，则底面边长是（ ）
A ．3.24m
B ．1.8m
C ．0.324m
D ．0.18m
10．已知x 是169的平方根，且2
32x y x =+，则y 的值是（ ） A ．65
B ．±65
C ．3
143±
D ．65或
3
143
11．设a 是不等于零的有理数，b 是无理数，那么下面四个数中必然为无理数的是（ ） A ．3
3
b a + B ．()3
b a +
C ．()b b a ⋅+
D ．()a b a ⋅+
12．已知n 为任意整数，同()()()1123+---n n n n 表示的数是（ ） A ．一定是整数 B ．一定是无理数
C ．一定是有理数
D ．可能是有理数，也可能是无理数
13．下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）两个有理数的和是有理数 （2）两个无理数的和是无理数 （3）两个无理数的积是无理数 （4）无理数与有理数的积是无理数 （5）无理数除以有理数是无理数 （6）有理数除以无理数是无理数 A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
14．下列计算正确的是（ ） A ．532=+ B ．2222=+ C ．632=
∙
D ．
22
4
= 15．与()
32-相乘，结果为1的数是（ ） A ．3
B ．32-
C ．32+
D ．32+-
16．下列计算正确的是（ ） A ．352332=+ B ．228=÷ C ．26255=+
D ．
()662
-=-
17．数轴上表示实数x 的点在表示-1的点的左边，则式子()()22
12
2---x x 的值是（ ）
A ．正数
B ．-1
C ．小于-1
D ．大于-1
18．设c b a c b a ,,,10012,9991001,9971003那么=+=+=之间的大小关系是（ ） A ．a ﹥b ﹥c B ．a ﹥c ﹥b
C ．b ﹥a ﹥c
D ．c ﹥b ﹥a
19．若a ﹤0，则332a a -的值为（ ）
A ．-2a
B ．0
C ．2a
D ．±2a
20．化简
2
53+，甲、乙两同学的解法如下：甲：
(
)
(
)(
)
252
52
52532
53-=-+-=
+；
乙：
(
)(
)252
52
52
52
53-=
+-+=
+，对于他们的解法，正确的是（ ）
A ．甲、乙的解法都正确
B ．甲正确、乙不正确
C ．甲、乙的解法都错误
D ．乙正确、甲不正确
三、解答题 1．计算： （1）()362001
66620
1--+⨯+--； （2）()()6466
1
332
2+-⨯+-÷；
（3）()()
21212<
<-+-x x x ； （4）
8
9
2334⨯
÷；
（5）233221-+-+-； （6）
5
2
10
100051+；
（7）()()[]
12
3
3
32933
645.22--÷---+⨯---； （8）753
1312
34+-； （9）(
)(
)
223122-⋅+； （10）()
273272300-
-
-；
2．已知实数x ，y 满足等式()0221322
=+-+--y x y x ，求y x 5
3
2-
的平方根。

3．已知x y x x y 求,355+-+-=的平方根。

4．已知x ，y 是正数a 的两个平方根，且223=+y x ，求a 。

5．已知22,2
321,2321y x y x --=+=求的值。

6．已知a 是有理数，且()
34732
+=-a ，求a 的值。

7．一正方形鱼池的边长是6m ，另一正方形鱼池的面积比第一个大452
m ，求另一个鱼池的边长。

8．大正方形边长为3223+，小正方形的边长为3223-，求图中阴影部分的面积。

9．四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AB=4
1
CD ，CD=6，BC=23，求四边形的周长和面积。

A B
C
D
课后作业
一、选择题
1、在下列各数3.1415、0.2060060006…、0、2
.0 、π-、35、7
22
、27无理数的个数是 ( ) A 、 1 ； B 、2 ； C 、 3 ； D 、 4。

2、一个长方形的长与宽分别时6、3，它的对角线的长可能是 ( ) A 、整数； B 、分数 ； C 、有理数 ； D 、无理数 3、下列语句中正确的是 （ ）
A 、3-没有意义；
B 、负数没有立方根；
C 、平方根是它本身的数是0，1；
D 、数轴上的点只可以表示有理数。

4、2
)5(-的平方根是（ ）
A 、5± ；
B 、5；
C 、5-；
D 、5±。

5、下列运算正确的是（ ） A 、3311--=-；B 、 33
33=- ；C 、
33
11-=- ；D 、3311-=- 。

6、下列说法错误的是（ ）
A 、2是2的平方根； B
C 、—２７的立方根是—３；
D 、无限小数是无理数。

二.填空题
1、如右图：以直角三角形斜边为边的正方形面积是 ；
2、9的算术平方根是 ， 0)5(-的立方根是
3、在棱长为5的正方体木箱中，想放入一根细长的铁丝，则这根铁丝的最大长度可能是 ；
4、2
10-的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 0
)5(-的平方根是 ； 5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3=++cd b a ； 三．解答题
1、1
3.14⎛⎫ ⎪⎝⎭
－1＋（－π）2 2、)32)(32(-+
3、2224145-
4、)81()64(-⨯-
5、已知a a a =-+-20052004，求2
2004-a 的值；
F。