高考最新-2018届高三年级数学第二次联考试题 精品

18届高三年级数学第二次联考试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的） 1．集合)(},1|2||{},1log |{2B C A R x x x B R x x x A R ⋂∈<-=∈<=，那么，集合等于
（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}3|{≥x x
C ．}31|{≤≤x x
D ．}10|{≤<x x
2．△ABC 中，“A>30°”是“2
1
sin >A ”的
（ ）
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知y x z y y
x y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+216，则函数的最大值是 （ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
4．（理）已知数列{a n }是等比数列，若S 3=18，S 4－a 1=－9，S n 为它的前n 项和，则n n S ∞
→lim 等于 （ ）
A ．48
B ．32
C ．16
D ．8 （文）在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5等于（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5．函数)01(31
2
<≤-=-x y x 的反函数是
（ ）
A ．)13
1
(log 13≤<+=x x y B ．)13
1
(log 13≤<+-=x x y
C ．)31(log 13≥+=x x y
D ．)3
1(log 13≥+-=x x y
6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球
的个数不小于该盒子的编号，则不同的放法有 （ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．52种 7．定义在R 上的偶函数]1,0()()1()(∈-=+=x x f x f x f y ，且当满足时单调递增，则
（ ）
A ．)2
5()5()31
(f f f <-<
B ．)5()2
5()31(-<<f f f
C ．)5()3
1()25(-<<f f f
D ．)2
5()31()5(f f f <<-
8．已知0||2||≠=b a ，且关于x 的函数x x x x f ⋅++=
23||2
1
31)(在R 上有极值，则与的夹角范围为
（ ）
A ．)6
,
0[π
B ．],6
(
ππ
C ．],3
(
ππ
D ．]3
2,3(
π
π
9．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点，而且被该双曲线
的右准线分成弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心离e 等于 （ ）
A ．5
B ．
2
5 C ．3 D ．2
10．已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足
52||,2||||=-=-，
|
||
|PB PA =
，I 为线段PC 上一点，且有)0)(|
||
|>+
+=λλAP AC ，
（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．5－1
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，将答案写在题中横线上）
11．（理）复数i
i 31)1(2
+-+的虚部为
（文）某校有老师200人，男学生1200，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有
老师中抽取一个容量的n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= 12．9)12(x
x -
的展开式中，常数项为
13．设点（m ，n ）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则n m 22log log +的最大
值是 14．已知)2
,2(,π
πβα-∈，且0433t a n ,t a n 2=++x x 是方程βα的两个根，则=+βα
15．过抛物线x y =2
的焦点F 的直线l 的倾斜角l ,4
π
θ≥
交抛物线于A ，B 两点，且A 点
在x 轴上方，则|AF|的取值范围是
16．（理）数列),3,2,1}({},{ =n b a n n 由下列条件所确定：时，2)(;0,0)(11≥><k ii b a i
k k b a 与满足如下条件：当2
,01
1111-----+=
=≥+k k k k k k k b a b a a b a 时，，当 11
111,2
0-----=+=
<+k k k k k k k b b b a a b a 时，. 那么，当}{5,511n a b a 时，=-=的通项公式)2(;2,1
,521≥>>>⎩
⎨⎧≥=-=n b b b n n a n n 当
时，用a 1，b 1表示{b k }的通项公式b k = （k=2，3，…，n ）
（文）数列{a n }满足递推式}3
{5)2(13311n
n n
n n a a n a a λ
+=≥-+=-，则使得
，又为等差数列的实数λ=
三、解答题（本大题共6小题，满分76分） 17．（本小题满分12分） 已知函数)0.(2
1
cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4. （1）求)(x f 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 满足C b B c a cos cos )2(=-，
求函数)(A f 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
（理）一个小正方体的六个面，三个面上标以数字0. 两个面上标以数字1，一个面上标
以数字2，（1）甲、乙两人各抛掷一次，谁的点数大谁就胜，求甲获胜的概率；（2）将这个小正方体抛掷两次，用变量ξ表示向上点数之积，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望E ξ. （文）甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中的概率为
32，乙每次投中的概率为4
3，求：（1）甲恰好投中2次的概率；（2）乙至少投中2次的概率；（3）甲、乙两人共投中
5次的概率. 19．（本小题满分12分）
已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且2),2(2711=≥+=-a n S a n n ，（1）求数列{a n } 的通项公式；（2）设n n n n T a a b ,l o g
l o g 1
1
2
2+⋅=
是数列{b n }的前n 项和，求使得20
m
T n <
对所有*N n ∈都成立的最小正整数m. 20．（本小题满分12分） （理）已知函数b
x ax
x f +=
2)(，在x =1处取得极值2，（1）求函数)(x f 的解析式；（2）m 满足什么条件时，区间（m ，2m+1）为函数)(x f 的单调增区间；（3）若),(00y x P 为
b
x ax
x f +=
2
)(图象上的任意一点，直线l 与)(x f 的图象切于P 点，求直线l 的倾斜角的取范围.
（文）已知函数2362)(x x x f -=，求曲线)(x f y =的平行于直线318=-y x 的切线
方程；（2）若函数m x f y +=)(在区间[－2，2]上有最大值3，求常数m 的值及此函数的最小值. 21．（本小题满分14分）
已知椭圆C 的方程是)0(122
22>>=+b a b
y a x ，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于),,(11y x A
),(22y x B 两点. （1）若椭圆的离心率2
3=e ，直线l 过点M （b ，0）
，且AOB ∠=
⋅cot 5
32
，求椭圆的方程；
（2）直线l 过椭圆的右焦点F ，设向量)0)((>+=λλ，若点P 在椭圆C 上，求λ的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数)0,1(),,(1
)1()(2-=∈-++-=
e N c b a b
c bx x a x f 的图象按平移后得到的图
象关于原点对称，.3)3(,2)2(<=f f
（1）求a ，b ，c 的值；（2）设|)1(||||:|1||0,1||0+<-++≤<<<tx f x t x t t x ，求证； （理科学生）（3）设x 是正实数，求证：.22)1()1(-≥+-+n n n x f x f
参考答案
1．D 2． B 3．A 4．（理）C （文）C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．D 10．D 11．（理）21-
（文）192 12．672 13．－2 14．32π- 15．]2
2
1,41(+
16．（理）11112
)21)((;)
2
1
(5---+k n a b a （文）2
1
-
17．（1）)6
2sin(21cos cos sin 3)(2
πωωωω+=-+=x x x x x f …………2分
∵)6
21sin()(41422πωπωπ+=∴=∴==x x f T …………4分 ∴)(x f 的单调递增区间为)](3
24,344[Z k k k ∈+-ππππ …………6分 （2）∵C b B c a cos cos )2(=-
∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=- …………8分
3
21cos sin )sin(cos sin 2π
=
∴=∴=+=B B A
C B B A ……10分
∵2
6263
20)6
21sin(
)(π
ππ
ππ<+<
∴
<
<+=A A A A f ∴)1,2
1
()(∈A f …………12分 18．（理）（1）面上是数字0的概率为
21，数字为1的概率为31，数字为2的概率6
1
…2分
当甲掷出的数字为1，乙掷出的数字为0时，甲获胜的概率为
6
1 当甲掷出的数字为2，乙掷出的数字为0或1时，甲获胜的概率为36
5 ∴甲获胜的概率为
36
11
……………………6分 （2）ξ的取值为0、1、2、4
……………………10分 ∴E ξ=
9
4
……………………12分 （文）（1）甲恰好投中2次的概率为9
4
31)3
2(2
2
3=⋅
C …………3分 （2）乙至少投中2次的概率为 32
27)43(41)43(3
33223=+⋅C C ……7分
（3）设甲、乙两人共投中5次为事件A ，甲恰投中3次且乙恰投中2次的事件B 1， 甲恰投中2次且乙恰投中3次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1、B 2为互斥事件
,3141)43()32()(2233331=⋅⋅=C C B P 16
3)43()32()(2
122232=⋅=C C B P ……11分
∴16
5
)()()(21=+=B P B P A P ………………12分
19．（1）∵n n n n n n n a a a S a S a n 7,272
72111=-∴+=∴+=≥++-时
∴)2(81≥=+n a a n n …………2分 又a 1=2 ∴*)(89162711
12N n a a a a a n n ∈=∴==+=+ ……4分
∴{a n }是一个以2为首项，8为公比的等比数列 ∴231282--=⋅=n n n a ………………6分 （2）)1
31
231(31)13)(23(1log log 1122+--=+-=⋅=+n n n n a a b n n n ……8分
∴31)1311(31)1312317141411(31<+-=++-++-+-=
n n n T n …………10分 ∴3
20312≥∴≥m m θ∴最小正整数m=7 …………12分 20．（理）（1）已知函数2
222)
()(,)(b x ab ax x f b x ax x f ++-='∴+= …………2分
又∵在x =1处取得极值2， ∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=-+⎩⎨⎧=='210
2)1(2)1(0)(b a
a b a f x f 即 解得 1
4)(1
4
2
+=
∴⎩⎨
⎧==x x
x f b a …………4分 （2）由0)(>'x f 得：11<<-x ，∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，1）……6分
若（m ，2m+1）为)(x f 单调增区间，则有01121121≤<-⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤+-≥m m m m m ，解得 ……8分
（3）2
22)
1()
2(4)1(4)(+-+='x x x x x f ∴直线l 的斜率为 ]1
1
)1(2[4)1(8)1(4)(2
022*********+-+=+-+='=x x x x x x f k ……10分 令]1,0(,1
12
0∈+=
t x t ，则直线l 的斜率 ]1,0(),2(42
∈-=t t t k ∴]4,21[-∈k ∴倾斜角的取值范围是 ],2
1a r c t a n []4a r c t a n ,0[ππ-⋃ ……12分
（文）（1）)2(61262
-=-='x x x x y ，设所求切线的切点为),(00y x P ，
则其斜率为13,181260002
0-==∴=-=x x x x k 或 …………3分
当30=x 时切点为（3，0）， ∴切线方程为y=18x －54
当10-=x 时切点为（－1，－8）， ∴切线方程为y=18x +10 …………5分 （2）令200)(==='x x x f 或有 …………6分
………………………………10分
由此可知 3,)0(m a x ==+=m m m f y 故
3740)2(min -=-=+-=m m f y …………12分
21．（1）∵，
b c b a a c e ==⇒=∴=
,22
3
,23 ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+-=b y x b y x b x y 112
22044由，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=535
822b y b x 即8
3
tan cot 2),53,58(
),,0(-=-=∠-=∠⇒∠+=∠-OA k AOx AOB AOx AOB b b A b B π 根据 16,45
32
8353cot 532222==⇒⨯-=-∠=⋅a b b AOB ，得， 所以椭圆方程为
14
162
2=+y x ………………6分 （2）由0)(2)(1
222222222
22=-+-+⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=b c a cx a x a b b y a
x c x y 据韦达定理可得： 2
22212222122b c c
b y y b a
c a x x +-=++=+，从而 ……8分 )2,2)(),2,2(2
22222222222b a c
b b a
c a b a c b b a c a +-+=+=+-+=+λλλ 因为P 在椭圆上， 1)2()2(22
2222
2222=+-++b b a c b a b a c a λλ， 2
2222222
2222441)2()2(
c b c a b
a bc
b a a
c λλλλ+⇒=+-++ 2
2
22
2
22
4)(c
b a b a +=⇒+=λ …………11分 ∵.10,2
22<<=
=+e a
c
e a b c ，且 ∴),21
(21,4141214242
2222222
+∞>∴>-=-=+=的范围为，故λλλe
c c a c b a ……14分
22．（1）函数)(x f 的图象按 )0,1(-=平移后得到的图象的函数式为c
bx ax x f ++=+1
)1(2
∵其函数图象关于原点对称， ∴)1(+x f 为奇函数， ∴)1()1(+-=+-x f x f
即 c
bx ax c x b x a ++-
=+-+-1)(1)(22， ∵,01,2>+∴∈ax N a =∴--=+-∴c c bx c bx ,0 ………………3分
又∵12,21,2)2(-==++∴
=b a b c a f ①，又b a b
a f 614,321
4)3(<+<+=② 由①②及1,1,==∈b a N b a 得 ………………5分
（2）tx
tx tx f x x x f 1
)1(,11)1()(2+=+∴++-=
， 2|1
|||2|1||||1||)1(|=⋅≥+=+
=+tx
tx tx tx tx tx tx f 当且仅当1||=tx 时，取等号
但2|)1(|,1||,1||0,1||0>+≠∴
≤<<<tx f tx t x …………7分 ||2)(2|)||(|22222x t x t x t x t -++=-++，
当44||||44||||2
2
<=<≤=>t x t t x t 时，上式，当时，上式
∴|)1(||||||)1(|2||||+<-+++<≤-++tx f x t x t tx f x t x t ，即 ……9分
（3）)1
()1()1()1(n n n n
x
x x x x f x f +-+
=+-+'' 11
22211111----⋅++⋅+⋅=n n n n n n n x
x C x x C x x C
2
1
42211----+++=n n n n n n n x C x C x C ………………10分
令2
14
221214221111---------+++=+++=n n n n n n n n n n n n n n n x C x
C x C S x C x C x C S ，又 ∴)1()1()1(2221442221-------++++++=n n n n n n n n n n x x
C x x C x x
C S 22
1
4
42
2
21
12
1212-------⋅++⋅
+⋅
≥n n n n n n n n n n x x C x x C x x C …………13分
)22(2)(21
21-=+++=-n n n n n C C C ………………14分。