河北省武邑中学2018_2019学年高一数学上学期第二次月考试题(含解析)

河北省武邑中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题考试说明：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，，故D选项正确.
考点：集合交并补的简单运算.
2.函数f(x)＝的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出式子得到.
【详解】函数f(x)＝的定义域是
故答案为：D
【点睛】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；
②对应f下的范围一致;(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．
3.已知集合，且，则等于（）
A. -1
B.
C.
D. 或-1
【答案】C
【解析】
或或
∴当时，，不符合集合中元素的互异性，
故应舍去
当时，，满足题意
故选C．
【点睛】本题主要考察了集合中元素的互异性，较难．解题的关键是求出的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．
4.且的否定是（）
A. 或
B. 且
C. 或
D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含参命题的否定，直接变且为或，大于等于号变小于号，小于等于号变大于号即可.【详解】且的否定是:或.
故答案为：C.
【点睛】根据含参命题的否定，直接变且为或，变且为或，否定结论即可，较为基础.
5.已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 0或1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义: 一个x只能对应1个或者零个y值，得到结果.
【详解】已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，根据函数的定义得到，一个x最多对应1个函数值y,得到函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是1个.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了函数的定义，一个x只能对应1个或者零个y值，一个y值可以对应多个x值.
6.已知函数在（）上是减函数，在上是增函数，则（）
A. 1
B. -2
C. -1
D. 2
【答案】D
【解析】
依题意有二次函数对称轴，解得.
7.集合A＝{x∈Z|y＝，y∈Z}的元素个数为( )
A. 4
B. 5
C. 10
D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，集合中的元素满足x是正整数，且是整数．由此列出x与y对应值，即可得到题中集合元素的个数．
【详解】由题意，集合{x∈Z|y=∈Z}中的元素满足
x是正整数，且y是整数，由此可得x=﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；
此时y的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，
符合条件的x共有12个，
故选：D．
【点睛】本题求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础题．
8.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则（）
A. f（－x1）＞f（－x2）
B. f（－x1）＝f（－x2）
C. f（－x1）＜f（－x2）
D. f（－x1）与f（－x2）大小不确定
【答案】A
【解析】
因为x1＜0且x1＋x2＞0，所以x1＜0且x2＞-x1>0,又在（0，＋∞）上是减函数，所以f（－x1）＞f（x2）=f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故选A。

9.设则满足的的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式得到函数的图像，只需要2x在单调递减的一次函数部分即可，而x+1在2x 右侧即可.
【详解】
根据题意画出分段函数的图像，则只需要2x在单调递减的一次函数部分即可，而x+1在2x 右侧即可，
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了分段函数的性质和应用，根据表达式画出函数图像得到不等式即可；求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
10.已知偶函数的定义域为，且在是减函数，且，则实
数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶函数性质可把f（m﹣1）-f（3m﹣1）＞0化为f（m﹣1）＞f（3m﹣1），再根据f（x ）的单调性可去掉符号“f”化为一次不等式，注意考虑函数定义域．
【详解】∵f（x）为偶函数，故函数在是减函数，在是增函数，
∴f（m﹣1）-f（3m﹣1）＞0化为f（m﹣1）＞f（3m﹣1），
又f（x）在（﹣3，3）上为减函数，
∴，解得，
故答案为：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，属基础题，解决本题的关键是利用函数的性质把抽象不等式化为具体不等式．
11.设，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是单调递减区间的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，根据奇函数在对称区间上的单调性相反得到结果.
【详解】设，F(-x)==-F(x)故函数为奇函数，根据奇函数在对称区间上的单调性相反得到，函数单调递减区间为.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用，奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别
取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.
12.如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数
是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：在上单调递增，且在上单调递减，且，则其“缓增区间”为．
考点：1．新定义型题目；2．函数的单调性．
第II卷（非选择题共90分）
填空题（本大题共4小题,每题5分.）
13.函数的定义域为，则函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
函数的定义域为，故函数的解出即可.
【详解】函数的定义域为，故函数的
故答案为：.
【点睛】求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由
a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
14. 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．
【答案】
【解析】
由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为
15.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则
f(7)=________.
【答案】-2
【解析】
分析：利用函数的周期性。

奇偶性求解.
详解：在上是奇函数，且满足，
当时，，
.
故答案为：.
点睛：函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
16.几位同学在研究函数时，给出了下面几个结论：
①的单调减区间是，单调增区间是；
②若，则一定有；
③函数的值域为；
④若规定，，则对任意恒成立．
上述结论中正确的是____
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据题意，以此分析命题：①可根据函数的解析式判断出其是一个增函数；②由①可得到结果；③函数f（x）的值域为（﹣1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用归纳推理的方法证明，即可得答案．
【详解】①函数是一个奇函数，当x≥0时，，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数（x∈R）是一个增函数，故若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），此命题①不正确；
②由①已证，故此命题正确；
③|x|＜1+|x|，故，函数f（x）的值域为（﹣1，1），③不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=，假设n=k时，成立，则n=k+1时，成立，类推可得到，此命题正确．
故答案为：②④
【点睛】本题考查学生的总结归纳能力以及函数的单调性的判断与证明，函数的值域的求法等，本题涉及函数的三大性质，以及数学归纳法证明，难度不小，综合性强．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设全集为实数集，已知集合，,
求：（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据集合交集和集合补集的概念得到结果；（2）由题干得到，再由集合并集的概念得到结果.
【详解】（1）, ,
（2）,.
【点睛】与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
18.已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）见解析；（2）函数的最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
(1)根据函数单调性的证明过程书写即可；（2）根据第一问得到的单调性，可得到函数的最值.
【详解】（1）函数在上是增函数．
证明：任取，且，
则．
易知，所以，即，
所以函数在上是增函数．
（2）由（1）知函数在上是增函数，
则函数的最大值为，最小值为。

【点睛】本题考查的是函数的单调性的证明和单调性的应用，单调性的证明只能是通过定义得到结果，函数的最值一般先研究函数的单调性再得到最值.
19.已知函数
（1）若，试判断并用定义证明的单调性；
（2）若，求的值域.
【答案】(1)单调递增；(2)
【解析】
试题分析：（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）当，利用对勾函数的图象与性质可得的值域.
试题解析：
（1）当时，递增
证：任取且
则=
在上单调递增.
（2）当时，
令
所以的值域为.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或
）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
20.已知函数
（1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并证明；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据函数单调性的证明的定义法，取值，做差，若，
，判符号；（2）方法一，将问题等价于恒
成立，转化为轴动区间定的问题；方法二，变量分离，转化为恒成立，转化为函数求最值问题.
【详解】（1）当时，，此时在上单调递增，证明如下：
对任意的，，若，
，
由，故有：，，
因此：，，
故有在上单调递增；
（2）方法一：不等式在上恒成立
，
取，对称轴
当时，对称轴，
∴在上单调递增，，
故满足题意，
当时，对称轴，
又在上恒成立，
故
解得：，
故
综上所述，实数的取值范围为.
方法二：不等式在上恒成立。

取
由结论：定义在上的函数，当且仅当时取得最小值.故。

当且仅当，即时函数取得最小值.
故，即实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。

对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

21.已知二次函数的图像经过点，且满足，
(1)求的解析式；
(2)已知，求函数在的最大值和最小值；
函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2）当时，，当，
当，；当，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由得到函数的对称轴，所以，再根据函数所过的点得到c=11,进而得到函数表达式；（2）根据函数表达式将绝对值去点，写成分段形式，讨论t的范围，进而得到最值；设函数的图像上存在点符合要求其中则，
从而，变形为，根据数据43为质数，故可得到结果.
【详解】（1）因为二次函数
所以二次函数的对称轴方程为，即，所以.
又因为二次函数的图像经过点
所以，解得，
因此，函数的解析式为.
(2)由（1）知，=，
所以，当时，，
当，
当，
当，，
如果函数的图像上存在点符合要求其中
则，从而
即,
注意到43是质数，且，
所以有，解得 ,
因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标为.
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
22.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）
【解析】
试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.
(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．。