18学年高中数学第一章三角函数4第1课时单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性课件北

1．已知 P(1，－5)是终边α 上一点，则 sin α 等于( 5 26 26 A．1 B．－5 C ．－ D. 26 26
解析：选 C 5 26 － 26 25π 2．cos 的值为( 6 1 3 A．－ B．－ 2 2
)
y ∵x＝1，y＝－5∴r＝ 26∴sin α＝r ＝
) C. 1 2 D.
(3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系 ①sin(α＋2kπ)＝ sin α(k∈Z)； ②cos(α＋2kπ)＝ cos α(k∈Z)．
[问题思考]
1．等式 sin(30°＋120°)＝sin 30°是否成立？如果这个式子 2π 成立，那么能否说明 是正弦函数 y＝ sin x 的周期？ 3 1 提示：根据三角函数的定义 sin 150° ＝sin 30° ＝ 成立，但 2 2π 不能说 是 y＝sin x 的周期，在周期函数定义中，对每一个 x 3 都有 f(x＋T)＝f(x)，则 T 是周期，而等式 sin(x＋120° )＝sin x， 不是对任意的 x 成立．如 x＝0° 时 sin 120°≠sin 0°.
1.已知角 α 的终边在射线 y＝2x(x＞0)上，求角 α 的正 弦值和余弦值．
[尝试解答 ] 法一：设角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)， 则 y＝2x(x＞0)．又因为 x2＋y2＝1，
5 x＝ ， 5 所以 2 5 y＝ ， 5
2 5 5 于是 sin α＝y＝ ，cos α＝x＝ . 5 5
1 (3)∵sin 1 110° ＝sin(3× 360° ＋30° )＝sin 30° ＝ ， 2 1 4 ∴log24sin 1 110° ＝log2 × ＝log22＝1. 2
利用公式sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z，
可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的
π 当 k 为偶数时，设 k=2m(m∈Z)，有 2mπ<α<2mπ＋ (m 2 ∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝(2m＋1)(m∈Z)． 3π 有 2mπ＋π<α<2mπ＋ (m∈Z)． 2 ∴α 为第一或第三象限角． 又由 cos α<0，可知 α 为第三象限角．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括 为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角 α 的终边在 x 轴的上 方时 sin α>0；当角 α 的终边在 y 轴的右侧时，cos α>0. 2．对于确定角 α 所在象限的问题，应首先确定题目中 所有三角函数的符号， 然后根据各三角函数的符号来确定角 α 所在象限，则它们的公共象限即为所求． π 3．由 kπ<θ<kπ＋ (k∈Z)确定 θ 所在象限时应对 k 进行 2 分类讨论．
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解析：选 D
3 2 π 25π π 3 cos ＝cos4π＋6 ＝cos ＝ . 6 6 2
3．已知θ是第三象限 θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ<0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0 解析：选D 由三角函数值在各象限的符号，易知D正确．
1．[多维思考] 本讲中，把“射线 y＝2x(x>0)”改为“直 线 y＝2x”，求 sin α，cos α.
解：设直线 y＝2x 与单位圆的交点为 P(x，y) 5 2 5 5 2 5 解得 P( ， )或(－ ，－ )． 5 5 5 5 5 2 5 2 5 5 当 x>0 时，P( ， )，则 sin α＝ ，cos α＝ ； 5 5 5 5 5 2 5 2 5 当 x<0 时，P(－ ，－ )，则 sin α＝－ ，cos α 5 5 5 5 ＝－ . 5
2.周期性 (1)周期函数 一般地，对于函数f(x)，如果存在 非零常数T ，对定义域内的
T 称为这
，则称f(x)为周期函数， 任意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x)
个函数的周期．
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函 数、余弦函数的周期， 其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为 最小正周期 ．
定义理解有误．定义中的(x，y)须是α终边与单位圆的交点坐 标，不是任意点。
二是α的终边在直线y＝－3x上包括两种情况，在射线y＝ －3x(x≥ 0)上或在射线y＝－3x(x≤0)上，而错解中漏掉了一种情
况．
错解二只考虑了y＝－3x(x≥0)时的情形，没考虑y＝－3x (x≤0)时的情况．
[正解]
35 π π ∴cos－ ＝cos ＝ 6 6
3 . 2
已知角α的终边落在直线 y＝－3x 上，求 2sin α ＋3cos α 的 值． [错解一] 取直线上一点(1,－3)， 则 sin α＝－3，cos α＝1， ∴2sin α＋3cos α＝2×(－3)＋3×1＝－3. 10 ， [错解二] 取直线 y＝－3x 与单位圆的交点 10 3 － 10 －3 10 10 得 sin α＝ ，cos α＝ ， 10 10 10 3 10 ∴2sin α＋3cos α＝－ . 10 [错因] 错解一，犯了两个错误，一是对正、余弦函数的
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6．已知角α 的终边经过点 P(a， 3a)(a≠0)，求角α 的正弦、 余弦．
解：|OP|＝ a2＋3a2＝2|a|， 3a 3 a 1 ＝ ，cos α＝ ＝ ， 2a 2 2a 2 3a a 3 1 当 a<0 时，sin α＝ ＝－ ，cos α＝ ＝－ . 2 2 －2a －2a 当 a>0 时，sin α＝
法二：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)(x＞0)，则 OP＝ x2＋y2＝ x2＋4x2＝ 5|x|，又因为 x＞ 0，所以 y y 2 5 x OP＝ 5x.所以 sin α= 2 2＝ ＝ ； cos α＝ 2 2＝ 5 5x x ＋y x ＋y x 5 ＝ . 5x 5
求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义． (2)利用正、余弦函数定义的推广：若 P(x，y)是角 α 终 y x 边上的任意一点，则 sin α＝ 2 2，cos α＝ 2 2 x ＋y x ＋y .
2. 已知 sin α cos α<0，试写出角α 所适合的集合．
sin α>0， α<0.∴ cos α<0， sin α<0， 或 cos α>0. .
解：∵sin αcos
∴α 是第二或第四象限的角． ∴角 α
π 的集合为αkπ＋2<α<kπ＋π，k∈Z
4．已知函数y＝f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则 f(14)＝________. 解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1. 答案： 1
5．sin 390°＝________.
1 解析：∵390° ＝360° ＋30° ，∴sin 390° ＝sin 30° ＝2.
1 答案： 2
(3)正弦、余弦函数的定义域，值域： 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表 示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数 y＝sin x 和 y＝cos x ．它们的定义域为R，值域为[－1,1]．
(4)正弦函数、余弦函数值的符号 象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
三角函数
sin α cos α ＋ ＋ . . ＋ － . . － － . . － ＋ . .
3.求下列三角函数值． (1)cos(－1
31π － 050° )；(2)sin ；(3)log2(4sin 4
1 110° )．
[尝试解答] (1)∵－1 050° ＝－3× 360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同． 3 ∴cos(－1 050)° ＝cos 30° ＝ . 2 31π π 31π π (2)∵－ ＝－4×2π＋ ， ∴角－ 与角 的终边相同． 4 4 4 4 31π π 2 ∴sin－ 4 ＝sin ＝ . 4 2
2．公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z， 揭示了什么规律，有什么作用？ 提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变 化规律，即角α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现
一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
正弦、余弦函数值问题．一般步骤是： (1)把角β写成β＝2kπ＋α(k∈Z)形式； (2)求出角α的正弦或余弦； (3)得到角2kπ＋α(k∈Z)的正弦或余弦．
3．求下列三角函数值．(1)sin(－1 020°)；(2)cos
－
35π 6
解：(1)∵－1 020° ＝－3× 360° ＋60° ， ∴－1 050° 的角与 60° 的角的终边相同． 3 ∴sin(－1 050° )＝sin 60° ＝ . 2 35π 36π π π (2)∵－ 6 ＝－ 6 ＋6＝－3×2π＋6， 35π π ∴－ 6 角的终边和6角的终边相同；
y＝－3x， 设 α 终边与单位圆交点为(x，y)；则 2 2 x ＋y ＝1， x＝－ 10， 10 或 3 10 y＝ ， 10
x＝ 10， 10 解得 3 10 y ＝－ ， 10
3 10 3 10 ∴2sin α＋3cos α＝－ 或 2sin α＋3cos α＝ . 10 10
第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性
[核心必知]
1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以 原点 为圆心，以 为半径的圆，称为单位圆． 单位长 (2)正弦、余弦函数的定义：
如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴 正半轴 重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么点P 的 纵坐标v .叫作角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P 的 横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作 u＝cos .α
y＝2x， 则 x2＋y2＝1，
2.(1)判断符号：sin 340°cos 265°； (2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．
[尝试解答] (1)∵340° 是第四象限角，265° 是第三象限 角， ∴sin 340° <0，cos 265° <0.∴sin 340° cos 265° >0. π (2)∵ sin 2α>0,∴ 2kπ<2α<2kπ+π(k∈ Z),∴ kπ<α<kπ+ (k 2 ∈Z)．