第四章 弹性力学平面问题的有限单元法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4-14)
(i, j,m)
22
如果注意到(4-1)式，则(4-11)式可写成
S i i S j j S m m
从(4-13)、(4-14)式可以看出， S 中的元素都是常量，所以每 个单元中的应力分量也是常量。因而，相邻单元将具有不同的应 力和应变。这样，越过公共边界，从一个单元到另一个与它相邻 的单元，应力和应变的值都将有突变，但是位移是连续的（参阅 下节），常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移 模式所造成的。
(f)
式(e)和式（f）可以看出单元内部位移是由节点位移表示的
14
如令
1 Ni (ai bi x ci y ) , 2
位移模式(e)、(f)就可以写成
(i, j,m)
(4-4)
u N i ui N j u j N m u m v N i vi N j v j N m vm
yi yj ym
的面积，
(4-2)
等于三角形 i , j , m
, j,m
为使求得面积的值不致成负值，结点 i 转向，如图所示。
的次序必须是逆时针
13
将(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得
u
其中
1 (ai bi x ci y ) ui (a j b j x c j y ) u j 2 (am bm x cm y ) um
。
15
例1
求图示的三角形单元的形函数
三角形单元
16
二 单元的应变
有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程
u x x v y y xy u v y x
的坐标分别为
( xi , y i )
( 、
x j , y j ) 、( x m , y m )
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
联立解(c)式关于
vi a4 a5 xi a6 yi v j a4 a5 x j a6 y j vm a4 a5 xm a6 ym
(4-15)
23
四 形函数的性质
上节讨论常应变三角形单元时，曾提出形函数
1 Ni (ai bi x ci y) , 2
其中
(i, j,m)
1 xi 2 1 x j 1 xm
yi yj ym
, ai
xj xm
yj ym
坐标轮换 i
bi
1 yj 1 ym
, ci
1 xj 1 xm
yj 1 x j ym xm y j , bi ym 1 yj y j ym , ym
(e)
xj ai xm
1 xj ci ( x j xm ) 1 xm
同理得到
(4-3)
(i , j , m)
v
1 (ai bi x ci y ) vi (a j b j x c j y ) v j 2 (am bm x cm y ) vm
E
换成
E 1 2
，把 换成 1
。
6
4.边界条件
位移边界条件
u u , vv
应力边界条件
在边界
Su
上
l x m yx X , m y l xy Y
在边界
S
上
7
5 弹性体的虚功方程
设变形体处于平衡受力状态：体积力为X 上的表面力为 X
,Y
，在自由边界 S 。
j
m
24
由(4-3)式可知，常数 依次式行列式
ai , bi , ci , a j , b j , c j
和
am , bm , cm
2 的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，根
据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其它行（或列）的元素 的代数余子式乘积之和则等于零，从而可以推出形函数的许多性质如下： 1 形函数 N 在在本结点
x
上述两类问题有许多共同特点，合成为弹性力学平面问题。
4
4.2 弹性力学平面问题基本方程
1.平衡方程
x yx X 0, x y
xy x
y y
Y 0
2.几何方程
u v u v x , y , xy x y y x
ⓔ
(g)
B
(4-7)
18
其中 B
可写成分块形式
B Bi
而子矩阵
Bj
Bm
(i, j,m)
(4-8)
bi 1 Bi 0 2 ci
0 ci , bi
(4-9)
公式(4-7)是用结点位移表示单元应变的矩阵方程，矩阵 B 是单元 应变矩阵 。由于 和 所以
ⓔ
便可导出以结点位移表示应力的关系式。把(2-7)式代入上式，得到
令
D B
S DB
(h) (4-11)
则(4-10)式写成
S
ⓔ
。 这就是应力与结点位移的关系式，其中 S 称为 应力矩阵
20
矩阵 S 可写成分块形式
(g)
17
求得应变分量，将(e)、(d)两式代入上式即得
bi 1 0 2 ci
或简写成
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v 0 i u j cm vj bm u m vm
讲 授：卫青
Tel： QQ： Email：
1
本章主要内容
4.1 弹性力学平面问题 4.2弹性力学平面问题基本方程 4.3 弹性力学平面问题的三角形单元 4.4 弹性力学平面问题的整体分析 4.5收敛准则和单元位移函数的选择 4.6分析实例
2 2
4.1 弹性力学平面问题
严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于 空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平 面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供 方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(4-13)
(i, j,m)
21
对于平面应变问题
bi E (1 ) Si bi 2(1 )(1 2 ) 1 1 2 ci 2(1 )
ci 1 ci 1 2 bi 2(1 )
是坐标的函数它们反映单元形函数15例1求图示的三角形单元的形函数16三角形单元???????????????xux有了单元的位移模式就可以利用平面问题的几何方程二单元的应变??????????????????????????xvyuyvxyyg1700010002iiijmjijmjuvbbbucccv????????????????????求得应变分量将ed两式代入上式即得g2jiijjmmmmvcbcbcbuv??????????????b?或简写成4718bmjibbbb0021mjibcbbiii??????????其中可写成分块形式而子矩阵4948bcii????bmjimjicccbbbbxyxy公式47是用结点位移表示单元应变的矩阵方程矩阵是单元
i
i 上的值等于1，在除i
以外的其他节点处都等于零
N i ( xi , yi )
而在其余两结点
1 (ai bi xi ci yi ) 1 2
W U
8
其中
W ( Xu Yv ) t dx dy ( Xu Y v ) t ds ,
* * * * A S * * U ( x x y * y xy xy ) t dx dy A
上面三个积分的意义为：
W
中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
,Y
， 应力为 x
, y , xy
v
设变形体产生虚位移 u *
*
, v*
，在固定边界 S u 上的位移
u*
及
为零，相应的虚应变为
* * * * u v u v * * x , * , y xy x y y x
则体积力和表面力在虚位移上作的外力虚功W 恒等于应力在虚应变上作的虚变形功U 即
bi , b j , bm , ci , c j , cm 等都是常量，
B 中的元素都是常量，因而单元中各点的应变分量 x , y , xy
也都是常量，故通常称这种单元为 常应变单元 。
19
三 单元的应力
在得到应变之后，再利用物理方程
称为弹性矩阵
(4-10)
D
3.物理方程 对于平面应力问题
E E x ( x y ) , y ( x y ) , 2 2 1 1 E E 1 xy xy xy 2 2(1 ) 1 2
5
若令
x
则
y xy T ,
按此位移模式，单元内各点的位移可以由单元结点位移通过插值来获得。 可假定单元内任一点位移是其坐标的线性函数，即
u a1 a2 x a3 y
式中，
v a 4 a5 x a 6 y
(b)
a1 , a 2 , , a6
是待定常数，它可以确定于下：
11
设结点
，
i, j,m
将它们代入(b)式得
自由边界
S
上的表面力作的虚功。
U
中的积分为
* * dU ( x x y * y xy xy ) t dx dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
9
4.3 弹性力学平面问题三角形常应变单元
一 单元的位移模式和形函数 分析一个典型三角形单元的力学特性。首先建立以单元结点位移表示单 元内各点位移的关系式。设单元的结点号码 i , j , m ，其结点的坐标分 别 ( xi , y i ) ( x j , y j ) ( x m , y m )
x
y xy T
D
1 E D 2 1 0 0 1 0 1 0 2
而
D
称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵，它的元素只与弹性常数与 有关。
对于平面应变问题，须把
(ui , vi ),(u j , vj ),(um , vm ), 每个结点在其单元内的位移可以有两个，三个结点位移为
记单元的结点位移向量 δ 和结点力向量Fxi
ⓔ
vi
uj
vj
um
vm
T
(xm, ym) m
um vj j uj
(4-1a)
Fyi
Fx j
Fy j
Fxm
Fy m
T
vi i ( x i, y i) O ui
( x j, y j)
(4-1b)
x
10
其中子矩阵
i ui
在
vi
T
（i , j , m )
(a)
式中，u i
, v i 是结点 i
x 轴和 y 轴方向的位移。
y
由于单元体也是一个二维的弹性体，单元内各点的位移分量是坐标 x , 的函数，在进行有限元分析时，需要假定一个位移模式：
(c)
u
的三个方程，可以求得
a1
1 uj 2 um
ui
xi xj xm
1 y j , a2 1 uj 2 ym 1 um
yi
1 ui
1 y j , a3 1 xj 2 ym 1 xm
yi
1
xi
ui uj um
(d)
12
其中
1 xi 2 1 x j 1 xm
从解析几何知，(4-2)式中的
S D Bi
对于平面应力问题，
Bj
Bm S i
Sj
Sm
(4-12)
S 的子矩阵可写成
ci ci 1 bi 2
bi E b Si D Bi i 2 2(1 ) 1 ci 2
(1) 平面应变问题
如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺 寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿 纵向的位移分量 等于零。 y
P
x
3
(2) 平面应力问题
等厚或不等厚平板，具有如下特点：a 长宽尺寸远大于厚度，b载荷只沿 板面，且沿厚度均匀分布，因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。 y
上两式可合并写成矩阵形式如下
(4-5)
f
式中
ⓔ
u Ni I v
N jI
Nm I N
ⓔ
ⓔ
(4-6)
位移状态，因而称为形函数 ，矩阵 N 则称为形函数矩阵
I 是二阶单位阵； N i , N j , N m 是坐标的函数，它们反映单元
(i, j,m)
22
如果注意到(4-1)式，则(4-11)式可写成
S i i S j j S m m
从(4-13)、(4-14)式可以看出， S 中的元素都是常量，所以每 个单元中的应力分量也是常量。因而，相邻单元将具有不同的应 力和应变。这样，越过公共边界，从一个单元到另一个与它相邻 的单元，应力和应变的值都将有突变，但是位移是连续的（参阅 下节），常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移 模式所造成的。
(f)
式(e)和式（f）可以看出单元内部位移是由节点位移表示的
14
如令
1 Ni (ai bi x ci y ) , 2
位移模式(e)、(f)就可以写成
(i, j,m)
(4-4)
u N i ui N j u j N m u m v N i vi N j v j N m vm
yi yj ym
的面积，
(4-2)
等于三角形 i , j , m
, j,m
为使求得面积的值不致成负值，结点 i 转向，如图所示。
的次序必须是逆时针
13
将(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得
u
其中
1 (ai bi x ci y ) ui (a j b j x c j y ) u j 2 (am bm x cm y ) um
。
15
例1
求图示的三角形单元的形函数
三角形单元
16
二 单元的应变
有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程
u x x v y y xy u v y x
的坐标分别为
( xi , y i )
( 、
x j , y j ) 、( x m , y m )
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
联立解(c)式关于
vi a4 a5 xi a6 yi v j a4 a5 x j a6 y j vm a4 a5 xm a6 ym
(4-15)
23
四 形函数的性质
上节讨论常应变三角形单元时，曾提出形函数
1 Ni (ai bi x ci y) , 2
其中
(i, j,m)
1 xi 2 1 x j 1 xm
yi yj ym
, ai
xj xm
yj ym
坐标轮换 i
bi
1 yj 1 ym
, ci
1 xj 1 xm
yj 1 x j ym xm y j , bi ym 1 yj y j ym , ym
(e)
xj ai xm
1 xj ci ( x j xm ) 1 xm
同理得到
(4-3)
(i , j , m)
v
1 (ai bi x ci y ) vi (a j b j x c j y ) v j 2 (am bm x cm y ) vm
E
换成
E 1 2
，把 换成 1
。
6
4.边界条件
位移边界条件
u u , vv
应力边界条件
在边界
Su
上
l x m yx X , m y l xy Y
在边界
S
上
7
5 弹性体的虚功方程
设变形体处于平衡受力状态：体积力为X 上的表面力为 X
,Y
，在自由边界 S 。
j
m
24
由(4-3)式可知，常数 依次式行列式
ai , bi , ci , a j , b j , c j
和
am , bm , cm
2 的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，根
据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其它行（或列）的元素 的代数余子式乘积之和则等于零，从而可以推出形函数的许多性质如下： 1 形函数 N 在在本结点
x
上述两类问题有许多共同特点，合成为弹性力学平面问题。
4
4.2 弹性力学平面问题基本方程
1.平衡方程
x yx X 0, x y
xy x
y y
Y 0
2.几何方程
u v u v x , y , xy x y y x
ⓔ
(g)
B
(4-7)
18
其中 B
可写成分块形式
B Bi
而子矩阵
Bj
Bm
(i, j,m)
(4-8)
bi 1 Bi 0 2 ci
0 ci , bi
(4-9)
公式(4-7)是用结点位移表示单元应变的矩阵方程，矩阵 B 是单元 应变矩阵 。由于 和 所以
ⓔ
便可导出以结点位移表示应力的关系式。把(2-7)式代入上式，得到
令
D B
S DB
(h) (4-11)
则(4-10)式写成
S
ⓔ
。 这就是应力与结点位移的关系式，其中 S 称为 应力矩阵
20
矩阵 S 可写成分块形式
(g)
17
求得应变分量，将(e)、(d)两式代入上式即得
bi 1 0 2 ci
或简写成
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v 0 i u j cm vj bm u m vm
讲 授：卫青
Tel： QQ： Email：
1
本章主要内容
4.1 弹性力学平面问题 4.2弹性力学平面问题基本方程 4.3 弹性力学平面问题的三角形单元 4.4 弹性力学平面问题的整体分析 4.5收敛准则和单元位移函数的选择 4.6分析实例
2 2
4.1 弹性力学平面问题
严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于 空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平 面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供 方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(4-13)
(i, j,m)
21
对于平面应变问题
bi E (1 ) Si bi 2(1 )(1 2 ) 1 1 2 ci 2(1 )
ci 1 ci 1 2 bi 2(1 )
是坐标的函数它们反映单元形函数15例1求图示的三角形单元的形函数16三角形单元???????????????xux有了单元的位移模式就可以利用平面问题的几何方程二单元的应变??????????????????????????xvyuyvxyyg1700010002iiijmjijmjuvbbbucccv????????????????????求得应变分量将ed两式代入上式即得g2jiijjmmmmvcbcbcbuv??????????????b?或简写成4718bmjibbbb0021mjibcbbiii??????????其中可写成分块形式而子矩阵4948bcii????bmjimjicccbbbbxyxy公式47是用结点位移表示单元应变的矩阵方程矩阵是单元
i
i 上的值等于1，在除i
以外的其他节点处都等于零
N i ( xi , yi )
而在其余两结点
1 (ai bi xi ci yi ) 1 2
W U
8
其中
W ( Xu Yv ) t dx dy ( Xu Y v ) t ds ,
* * * * A S * * U ( x x y * y xy xy ) t dx dy A
上面三个积分的意义为：
W
中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
,Y
， 应力为 x
, y , xy
v
设变形体产生虚位移 u *
*
, v*
，在固定边界 S u 上的位移
u*
及
为零，相应的虚应变为
* * * * u v u v * * x , * , y xy x y y x
则体积力和表面力在虚位移上作的外力虚功W 恒等于应力在虚应变上作的虚变形功U 即
bi , b j , bm , ci , c j , cm 等都是常量，
B 中的元素都是常量，因而单元中各点的应变分量 x , y , xy
也都是常量，故通常称这种单元为 常应变单元 。
19
三 单元的应力
在得到应变之后，再利用物理方程
称为弹性矩阵
(4-10)
D
3.物理方程 对于平面应力问题
E E x ( x y ) , y ( x y ) , 2 2 1 1 E E 1 xy xy xy 2 2(1 ) 1 2
5
若令
x
则
y xy T ,
按此位移模式，单元内各点的位移可以由单元结点位移通过插值来获得。 可假定单元内任一点位移是其坐标的线性函数，即
u a1 a2 x a3 y
式中，
v a 4 a5 x a 6 y
(b)
a1 , a 2 , , a6
是待定常数，它可以确定于下：
11
设结点
，
i, j,m
将它们代入(b)式得
自由边界
S
上的表面力作的虚功。
U
中的积分为
* * dU ( x x y * y xy xy ) t dx dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
9
4.3 弹性力学平面问题三角形常应变单元
一 单元的位移模式和形函数 分析一个典型三角形单元的力学特性。首先建立以单元结点位移表示单 元内各点位移的关系式。设单元的结点号码 i , j , m ，其结点的坐标分 别 ( xi , y i ) ( x j , y j ) ( x m , y m )
x
y xy T
D
1 E D 2 1 0 0 1 0 1 0 2
而
D
称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵，它的元素只与弹性常数与 有关。
对于平面应变问题，须把
(ui , vi ),(u j , vj ),(um , vm ), 每个结点在其单元内的位移可以有两个，三个结点位移为
记单元的结点位移向量 δ 和结点力向量Fxi
ⓔ
vi
uj
vj
um
vm
T
(xm, ym) m
um vj j uj
(4-1a)
Fyi
Fx j
Fy j
Fxm
Fy m
T
vi i ( x i, y i) O ui
( x j, y j)
(4-1b)
x
10
其中子矩阵
i ui
在
vi
T
（i , j , m )
(a)
式中，u i
, v i 是结点 i
x 轴和 y 轴方向的位移。
y
由于单元体也是一个二维的弹性体，单元内各点的位移分量是坐标 x , 的函数，在进行有限元分析时，需要假定一个位移模式：
(c)
u
的三个方程，可以求得
a1
1 uj 2 um
ui
xi xj xm
1 y j , a2 1 uj 2 ym 1 um
yi
1 ui
1 y j , a3 1 xj 2 ym 1 xm
yi
1
xi
ui uj um
(d)
12
其中
1 xi 2 1 x j 1 xm
从解析几何知，(4-2)式中的
S D Bi
对于平面应力问题，
Bj
Bm S i
Sj
Sm
(4-12)
S 的子矩阵可写成
ci ci 1 bi 2
bi E b Si D Bi i 2 2(1 ) 1 ci 2
(1) 平面应变问题
如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺 寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿 纵向的位移分量 等于零。 y
P
x
3
(2) 平面应力问题
等厚或不等厚平板，具有如下特点：a 长宽尺寸远大于厚度，b载荷只沿 板面，且沿厚度均匀分布，因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。 y
上两式可合并写成矩阵形式如下
(4-5)
f
式中
ⓔ
u Ni I v
N jI
Nm I N
ⓔ
ⓔ
(4-6)
位移状态，因而称为形函数 ，矩阵 N 则称为形函数矩阵
I 是二阶单位阵； N i , N j , N m 是坐标的函数，它们反映单元