初中数学 人教版九年级上册 22.3实际问题解答题与二次函数同步练习(三)(带答案)

22.3实际问题解答题与二次函数同步练习（三）
1．某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z＝10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；
（年获利＝年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
2．某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为y＝﹣x2+8，BC所在抛物线的解析式为y＝（x﹣8）2，且已知B（m，4）．
（1）设P（x，y）是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝（x﹣16）2．试求索道的最大悬空高度．
3．某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．
（1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积y（cm2）与x（cm）（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成y 取最大值时的设计示意图；
（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？
请简要说明理由．
4．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
5．某塑料大棚的截面如图所示，曲线部分近似看作抛物线．现测得AB＝6米，最高点D到地面AB的距离DO＝2.5米，点O到墙BC的距离OB＝1米．借助图中的直角坐标系，回答下列问题：
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求墙高BC．
6．我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图②的抛物线表
示．
（1）直接写出图①中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；
（2）求出图②中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；
（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？
（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克．）
7．东方专卖店专销某种品牌的钢笔，进价12元/支，售价20元/支．为了促销，专卖店决定凡是买10支以上的，每多买一支，售价就降低0.10元（例如，某人买20支钢笔，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1元，就可以按19元/支的价格购买），但是最低价为16元/支．
（1）求顾客一次至少买多少支，才能以最低价购买？
（2）写出当一次购买x支时（x＞10），利润y（元）与购买量x（支）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46支，另一位顾客买了50支，专实店发现卖了50支反而比卖46支赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/支至少要提高到多少，为什么？
8．如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，2，3，4，5 …的点作OA的垂线与OB相交，再按一定规律标出一组如图所示的黑色梯形．设前n个黑色梯形的面积和为S n．
n 1 2 3 …
…
S
n
（1）请完成上面的表格；
（2）已知S n与n之间满足一个二次函数关系，试求出这个二次函数的解析式．
9．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
10．杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y＝ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g（万元），g也是关于x的二次函数；
（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；
（2）求纯收益g关于x的解析式；
（3）问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大；几个月后，能收回投资？
参考答案
1．解：（1）由题意，设y＝kx+b，图象过点（70，5），（90，3），∴
解得
∴y＝﹣x+12．
（2）由题意，得
w＝y（x﹣40）﹣z
＝y（x﹣40）﹣（10y+42.5）
＝（x+12）（x﹣40）﹣10（x+12）﹣42.5
＝﹣0.1x2+17x﹣642.5＝（x﹣85）2+80．
当x＝85元时，年获利的最大值为80万元．
（3）令w＝57.5，得﹣0.1x2+17x﹣642.5＝57.5．
整理，得x2﹣170x+7000＝0．
解得x1＝70，x2＝100．
由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价应在70元到100元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．
2．解：（1）∵P（x，y）是山坡线AB上任意一点，
∴y＝﹣x2+8，x≥0，
∴x2＝4（8﹣y），x＝2
∵B（m，4），∴m＝2，
∴B（4，4）（4分）
（2）在山坡线AB上，x＝2，A（0，8）
①令y0＝8，得x0＝0；令y1＝8﹣0.002＝7.998，
得x 1＝2≈0.08944
∴第一级台阶的长度为x1﹣x0＝0.08944（百米）≈894（厘米）（6分）
同理，令y2＝8﹣2×0.002、y3＝8﹣3×0.002，
可得x2≈0.12649、x3≈0.15492
∴第二级台阶的长度为x2﹣x1＝0.03705（百米）≈371（厘米）（7分）
第三级台阶的长度为x3﹣x2＝0.02843（百米）≈284（厘米）（8分）
②取点B（4，4），
又取y＝4+0.002，则x＝2≈3.99900
∵4﹣3.99900＝0.001＜0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚．（10分）
（3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由图可知，
只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值（11分）
索道在BC上方时，
悬空高度y＝（x﹣16）2﹣（x﹣8）2＝（﹣3x2+40x﹣96）＝﹣（x﹣）2+（13分）
当x＝时，ymax＝
∴索道的最大悬空高度为米．（14分）
3．解：（1）表中空白处填写项目依次为
y＝﹣2x2+60x；15；450，（3分）
表中y取最大值时的设计示意图分别为：
（5分）
（2）小华的说法不正确．（6分）
因为腰长x大于30cm时，符合题意的等腰梯形不存在，
所以x的取值范围不能超过30cm，
因此研究性学习小组画出的图象是正确的．（7分）
4．解：设抛物线解析式为y＝ax2+6，（1分）
依题意得，B（10，0）．
∴a×102+6＝0，
解得：a＝﹣0.06，
即y＝﹣0.06x2+6．（4分）
当y＝4.5时，﹣0.06x2+6＝4.5，
解得x＝±5，
∴DF＝5，EF＝10，
即水面宽度为10米．（8分）
5．解：（1）由题意得：
A（﹣5，0），B（1，0）．（2分）
（2）设y＝ax2+2.5，把A（﹣5，0）代入
得25a+2.5＝0，a＝﹣0.1，
即y＝﹣0.1x2+2.5．（6分）
当x＝1时，y＝﹣0.1+2.5＝2.4
即墙高BC为2.4米．（8分）
6．解：（1）依题意，可建立函数关系式：
y＝．
（2）由题目已知条件可设z＝a（t﹣110）2+20，
∵图象过点（60，），
∴＝a（60﹣110）2+20，
∴a＝，
∴z＝（t﹣110）2+20（t＞0）．
（3）设纯收益单价为W元，则W＝销售单价﹣成本单价，
故W＝，
①当W＝﹣（t﹣10）2+100（0＜t＜120）时，有t＝10时，W最大，最大值为100；
②当W＝﹣（t﹣110）2+60（120≤t＜150）时，由图象知，有t＝120时，W最大，
最大值为59；
③当W＝﹣（t﹣170）2+56（150≤t≤180）时，有t＝170时，W最大，最大值为56；
综上所述，在t ＝10时，纯收益单价最大，最大值为100元/500g ．
7．解：（1）由题意得：
+10＝50支；（1分）
（2）当10＜x ≤50时（1分），
y ＝[20﹣0.1（x ﹣10）﹣12]x ＝﹣0.1x 2+9x ，（2分）
当x ＞50时（1分），y ＝（16﹣12）x ＝4x ；（2分）
（3）方法（一）：列表
（2分）
x
… 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 … y … 200 200.9 202.6
202.1 202.4 202.5 202.4 202.1
201.6 200.9 200 由表格可知，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）＝16.5元；（1分）
方法（二）：利润y ＝﹣0.1x 2+9x ＝﹣0.1（x ﹣45）2+202.5，（2分）
∵卖的越多赚的越多，即y 随x 的增大而增大，
∴由二次函数图象可知，x ≤45，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）＝16.5元（1分）．
8．解：（1）
n
1 2 3 … S n …
（2）设二次函数的解析式为S n ＝an 2+bn +c ．
则
解得
∴所求二次函数的解析式为S n＝n2+n．
9．解：（1）由题意得：
45+×7.5＝60（吨）．
（2）由题意：
y＝（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y＝﹣x2+315x﹣24000．
（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W＝x（45+×7.5）＝﹣（x﹣160）2+19200来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
10．解：（1）由题意得：x＝1时y＝2；
x＝2时，y＝2+4＝6代入得：
解之得：
∴y＝x2+x；
（2）由题意得：
g＝33x﹣150﹣（x2+x）
＝﹣x2+32 x﹣150；
（3）g＝﹣x2+32 x﹣150＝﹣（x﹣16）2+106，
∴当x＝16时，g最大值＝106，
即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；
当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，
∴6个月后能收回投资．。