高中数学教师用书第课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)含答案

第3课时直线与椭圆的位置关系（习题课)
［思考1］判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
名师指津:(1）几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．
(2）代数法：联立直线与圆的方程,利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津:不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．
［思考3] 已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；
Δ＝0⇔直线与椭圆相切;
Δ<0⇔直线与椭圆相离．
讲一讲
1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m。

问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．
［尝试解答］将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0。

Δ＝4m2－20（m2－1)＝20－16m2。

当Δ＝0时，得m＝±错误!,直线与椭圆相切;
当Δ〉0时,得－错误!〈m<错误!，直线与椭圆相交；
当Δ〈0时,得m〈－错误!或m>错误!，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的方法
练一练
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由错误!消去y,整理得
（m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
所以Δ＝100k2－20(m＋5k2）(1－m）＝20m(5k2＋m－1），
因为直线与椭圆总有公共点，
所以Δ≥0对任意k∈R都成立，
因为m〉0，
所以5k2≥1－m恒成立,
所以1－m≤0,
即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上，
所以0〈m<5，
综上，1≤m〈5，
即m的取值范围是［1,5）．
［思考1] 若直线l与圆C相交于点A,B，如何求弦长｜AB|?
名师指津：(1）利用r2＝d2＋错误!错误!求解;(2）利用两点间的距离公式求解；(3）利用弦长公式｜AB|＝1＋k2｜x1－x2|求解．[思考2］若直线l：y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1相交于A（x1，y1)，B(x2，y2）两点，如何求｜AB｜的值？
名师指津：|AB｜＝错误!｜x1－x2|．
讲一讲
2．已知椭圆错误!＋错误!＝1和点P（4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1）当直线l的斜率为1
2
时，求线段AB的长度；
（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[尝试解答］(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝错误!(x－4），即y＝错误!x。

由错误!可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B（x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18。

于是|AB｜＝错误!
＝错误!
＝错误!错误!
＝错误!×6错误!＝3错误!。

所以线段AB的长度为3错误!.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－4）．
联立错误!
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k）x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1,y1)，B（x2,y2),
则x1＋x2＝错误!，
由于AB的中点恰好为P(4,2），
所以错误!＝错误!＝4，
解得k＝－错误!,且满足Δ〉0.
这时直线的方程为y－2＝－错误!（x－4），
即y＝－错误!x＋4.
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2),
则有错误!
两式相减得错误!＋错误!＝0，
整理得k AB＝错误!＝－错误!，
由于P（4，2）是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是k AB＝－错误!＝－错误!,
于是直线AB的方程为y－2＝－错误!（x－4）,
即y＝－错误!x＋4.
（1)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0），椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉b>0)
或错误!＋错误!＝1（a〉b>0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1),B （x2,y2）,
则|AB｜＝错误!，
所以|AB|＝错误!
＝错误!·错误!
＝错误!·错误!,
或|AB｜＝错误!
＝错误!·错误!
＝错误!·错误!。

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．（2）解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A（x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)上的两个不同的点,M（x0，y0）是线段AB的中点，
则错误!
由①－②，得错误!（x 错误!－x 错误!）＋错误!（y 错误!－y 错误!)＝0，变形得错误!＝－错误!·错误!＝－错误!·错误!，即k AB ＝－错误!。

练一练
2．直线y ＝x ＋1被椭圆错误!＋错误!＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A.错误! B 。

错误!
C.错误! D 。

错误!
解析：选C 联立方程组错误!
消去y 得3x 2＋4x －2＝0.
设交点A （x 1，y 1)，B (x 2，y 2），中点M （x 0，y 0)，
∴x 1＋x 2＝－43
,x 0＝错误!＝－错误!，y 0＝x 0＋1＝错误!。

∴所求中点的坐标为错误!。

3．椭圆错误!＋错误!＝1（a >b 〉0）的离心率为错误!，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ,Q ，且|PQ ｜＝10，求椭圆方程．
解:∵e ＝错误!,∴b 2＝错误!a 2。

∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.
与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，
由Δ〉0得a 2>32，由弦长公式得10＝错误!×[64－2（64－a 2)]．∴a 2
＝36,b2＝9.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

讲一讲
3．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!.
(1)若错误!＝3错误!，求椭圆方程；
（2)直线l过点C（－1，0)交椭圆于A、B两点,且满足：，试求△OAB面积的最大值．
[尝试解答] (1)由题意知错误!解得a＝错误!，c＝错误!。

所以a2＝3，b2＝1,
所以椭圆方程为错误!＋y2＝1.
（2）由e＝错误!＝错误!,及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可设椭圆的方
程为x2
3b2＋
y2
b2＝1，
设A（x1,y1)，B（x2,y2），
由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y＝k(x＋1)，由错误!
得（3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，
且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2,
因为直线l交椭圆于A、B两点,且，
所以点C 在椭圆内部，所以a >1,
所以3b 2>1,所以Δ〉0.所以x 1＋x 2＝错误!. 因为，所以(x 1＋1,y 1）＝3（－1－x 2，－y 2），
所以x 1＝－4－3x 2,
所以x 2＋1＝－错误!，所以|x 1－x 2｜＝错误!。

又O 到直线l 的距离为d ＝错误!，
所以S △ABO ＝12
|AB ｜d ＝错误! 错误!|x 1－x 2｜·d ＝错误!＝错误!≤错误!，
所以当且仅当3｜k ｜＝错误!，即k ＝±错误!时，
S △ABO 取得最大值错误!.
解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
练一练
4．在椭圆x 2
4
＋错误!＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解:设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝错误!x ＋m ，
代入错误!＋错误!＝1,
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16（m2－7）＝0
⇒m2＝16⇒m＝±4，
故两切线方程为y＝错误!x＋4和y＝错误!x－4，显然y＝错误!x－4距l最近,d＝错误!＝错误!，
切点为P错误!。

—-----—--——-——[课堂归纳·感悟提升］
--———————-—————
1．本节课的重点是直线与椭圆位置关系的判断、直线与圆的相交弦问题，难点是与椭圆有关的最值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与椭圆位置关系的判定方法，见讲1。

（2)弦长问题及中点弦问题的求解方法，见讲2.
(3)与椭圆有关的最值问题，见讲3。

课时达标训练（九）
[即时达标对点练］
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是（)
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
解析:选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆
错误!＋错误!＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆错误!＋错误!＝1相交．2．直线y＝x＋2与椭圆错误!＋错误!＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析:由错误!得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点,
∴Δ＝(4m)2－4m（m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m〉0，
解得m〉1或m<0.
又∵m>0且m≠3,
∴m>1且m≠3.
答案：（1，3）∪(3，＋∞)
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若｜AB|＝8，则｜AF1|＋｜BF1|的值为( ）A．10 B．12 C．16 D．18
解析：选B ∵|AB|＋｜AF1｜＋｜BF1|＝4a，∴｜AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝错误!x＋1截得的弦长为________．解析：由错误!
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M（x1，y1)，N(x2,y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6。

∴弦长｜MN｜＝错误!|x1－x2|
＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：错误!
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，错误!）的椭圆被直线l：y ＝3x－2截得的弦的中点横坐标为错误!，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0)．
弦两端点为（x1,y1),(x2，y2),
由错误!＋错误!＝1及y＝3x－2得
（a2＋9b2）x2－12b2x＋b2（4－a2）＝0，
x1＋x2＝错误!，由已知错误!＝错误!，
即错误!＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆错误!＋错误!＝1上，若A点坐标为(3，0)，｜｜＝1,且＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A（3,0)是椭圆的右焦点．
答案：错误!
7．若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．解析：由错误!＋错误!＝1可得F(－1,0)．
设P(x,y）,－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3错误!＝错误!x2
＋x＋3＝错误!(x＋2）2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案:6
8．如图，点A是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B,若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1）若点P的坐标为（0，1)，求椭圆C的标准方程；
（2)若点P的坐标为(0,t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°,
(1)∵P（0，1)，
即b＝2，且B（3，1）．
∵B在椭圆上，
∴错误!＋错误!＝1,得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为x2
12
＋错误!＝1。

(2）由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3）,
∴t－3＝－b,即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t),将它代入椭圆方程得，
错误!＋错误!＝1，解得a2＝错误!.
∵a2〉b2>0,
∴3（3－t）2
3－2t〉(3－
t）2〉0。

∴错误!〉1,即错误!－1＝错误!〉0,
∴所求t的取值范围是错误!。

［能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m,n)的直线与椭圆错误!＋错误!＝1的交点个数( ）
A．至多一个B．2个
C．1个D．0个
解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点,所以错误!〉2，即m2＋n2〈4，
所以n2<4－m2，
则错误!＋错误!〈错误!＋错误!＝1－错误!m2<1。

所以点(m，n)在椭圆错误!＋错误!＝1内部,
故过点(m，n）的直线与椭圆有2个交点．
2．已知点(m，n）在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( ）
A．［4－23，4＋2 3 ］B．［4－错误!，4＋错误!]
C．[4－2错误!，4＋2错误!] D．［4－错误!，4＋错误!]
解析：选A 方程可化为x2
3
＋
y2
8
＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a
＝2错误!，b＝错误!，所以
－3≤m≤错误!，
故4－23≤2m＋4≤23＋4。

3．已知椭圆C：错误!＋y2＝1的右焦点为F，直线l:x＝2，点A ∈l，线段AF交椭圆C于点B,若＝( ）
A。

错误!B．2 C。

错误!D．3
解析：选A 设点A（2，n），B（x0，y0）．
由椭圆C：错误!＋y2＝1知a2＝2,b2＝1，
∴c2＝1,即c＝1。

∴右焦点F（1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0。

∴x0＝错误!，y0＝错误!n。

将x0，y0代入错误!＋y2＝1，得错误!×错误!错误!＋错误!错误!＝1。

解得n2＝1,
∴｜|＝（2－12＋n2)＝1＋1＝ 2.
4．椭圆Γ:错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝错误!（x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线y＝错误!（x＋c）过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中,｜MF1｜＝c,｜MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!－1.
答案：错误!－1
5．已知椭圆G:x2
4
＋y2＝1,过点(0,2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭
圆G于A,B两点．
（1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)O为坐标原点,求△OAB的面积．
解：(1）由已知得a ＝2，b ＝1，
所以c ＝错误!＝错误!.
所以椭圆G 的焦点坐标为（－错误!,0），（错误!，0）,
离心率为e ＝错误!＝错误!。

（2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0,
由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得错误!＝1，
解得k ＝±错误!。

将y ＝±错误!x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，
得13x 2±16错误!x ＋12＝0.
设A (x 1，y 1），B (x 2，y 2），
则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!，
|AB |＝2错误!＝2错误!
＝2错误!＝错误!。

又O 到AB 的距离d ＝1.
∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝错误!。

6．已知椭圆的一个顶点为A (0,－1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋2错误!＝0的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝｜AN｜;若存在求出m的值;若不存在说明理由．
解：(1）依题意可设椭圆方程为错误!＋y2＝1，
则右焦点F(错误!，0）．
由题设错误!＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为错误!＋y2＝1.
（2)设P为弦MN的中点,
由错误!
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ〉0，即－2<m<2，
所以x P＝错误!＝－错误!，从而y P＝x P＋m＝错误!，
所以k AP＝错误!＝错误!，
又｜AM｜＝｜AN|，
所以AP⊥MN，
所以错误!＝－1,解得m＝2，
所以不存在实数m使｜AM｜＝｜AN｜.。