2019-2020学年陕西省西安市西北工业大学附中高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年陕西省西安市西北工业大学附中高二上学期
12月月考数学（理）试题
一、单选题
1．若{}
,,a b c r r r
为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A ．{},,a a b a b +-r r r r r
B ．{},,b a b a b +-r r r r r
C ．{},,c a b a b +-r r r r r
D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r
【答案】C
【解析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可. 【详解】
A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r
+-是共面向量，因此这三个向量
不能构成基底；
B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r
+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C ：因为{}
,,a b c r r r
为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若,,c a b a b r r r r r
+-不构成一组基底，则有
()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-⇒=++-，所以向量,,a b c r r r
是共面向量，这与
这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r
+-能构成一组基底，
D ：因为312()()22
a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r
+-+是共面向量，因此
,,2a b a b a b r r r r r r
+-+不能构成一组基底.
故选：C 【点睛】
本题考查了空间向量基底的性质，考查了共面向量的性质，属于基础题. 2．若2()2(1)f x xf x '=+，则(0)f '=（ ） A ．-4 B ．-2
C ．0
D ．2
【答案】A
【解析】∵()()212f x f x '='+，∴()()1212f f '='+，∴()12f '=-，
∴()42f x x '=-+，∴()04f '=-，故选A.
3．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =u u u v v
，
AD b =u u u v v ，1
AA c =u u u v v ，则下列向量中与BM u u u u v
相等的向量是（ ）
A ．1122a b c -++v v v
B ．1122
a b c ++v v v
C ．1122a b c --+v v v
D ．1122
a b c -+v v v
【答案】A
【解析】连接AC ,BD 交于点N ,()
11122
BM BD NM AD AB AA =+=
-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r
,代入整理即可 【详解】
由题,连接AC ,BD 交于点N ,
则()()
11111122222
BM BD NM AD AB AA b a c a b c =+=
-+=-+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r
故选：A 【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题
4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，
12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48
【答案】C
【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （
2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2
p
∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B
是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6
又∵点P 在准线上 ∴DP=（
2p +|-2
p
|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=1
2
×
6×12=36 故选C ．
5．已知双曲线22
214x y b -=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到
其渐近线的距离等于 A
．B
．C ．3
D ．5
【答案】A 【解析】【详解】
因为抛物线的焦点是3,0F （），
所以双曲线的半焦距3c =，
224+3b ∴=，
4b a ∴==，
所以一条渐近线方程为2
y x =
，
20y -=
，d ∴=
= A.
【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想
6．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线20x y --=的最小距离为（ ） A ．1 B ．
(
74ln 28
+ C
D
【答案】D
【解析】求出函数2ln y x x =-的定义域，设出点P 的坐标，求函数2ln y x x =-进行求导，求出过点P 的切线方程，当该切线与直线20x y --=平行时，点P 到直线
20x y --=的距离最小，利用点到直线距离求解即可.
【详解】
函数2ln y x x =-的定义域为：{}
0x x >.
设
000(,)(0)P x y x >，2'
1
()ln ()2y f x x x f x x x
==-⇒=-
，当过点P 的切线与直线
20x y --=平行时，点P 到直线20x y --=的距离最小，直线20x y --=的斜率
为1，因此有'
0001
()21f x x x =-
=，解得01x =，或012
x =-（舍去），因此点P 的坐标为：(1,1)，所以点P 到直线20x y --=的最小距离为2
2
111(1)2
21(1)
??-=+-.
故选：D 【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求曲线上一点到直线距离最小值问题，考查了数学运算能力.
7．长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线
1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）
A 10
B 30
C 215
D 310
【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示．
则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC u u u u r
＝(－1,0,2)，AE u u u r
＝(－1，2,1)．
cos 〈1BC u u u u r ，AE u u u r
〉＝
30. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为
3010
. 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3
双曲线221x y -=的渐近线与
椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
A ．22
182x y +=
B ．22
1126
x y +=
C ．221164
x y +=
D ．22
1205
x y +=
【答案】D 【解析】【详解】
由题意，双曲线22
1x y -=的渐近线方程为y x =±，
∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上，
∴
2
244
1a b
+=， ∵3
2e =，∴222
34a b a -=，∴224b a =， ∴22205a b ==， ∴椭圆方程为：22
1205
x y +=.
故选D.
【考点】椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.
9．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a L =---，则
(0)f '=
A ．62
B ．92
C ．122
D ．152
【答案】C
【解析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】
()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦
⋅ ()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦- ()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦
⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅
又18273645a a a a a a a a ===
()()4
41218082f a a '∴===
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.
10．抛物线22y px =与直线20x y a ++=交于,A B 两点，其中(1,2)A ，设抛物线焦点为F ，则||||FA FB +的值为（ ）
A ．
B ． 5
C ．6
D ． 7 【答案】D
【解析】试题分析：把点A （1，2）代入直线2x+y+a=0，可得2+2+a=0，解得a=-4．把点A （1，2）代入抛物线22y px =可得4=2p ，解得p=2．联立直线与抛物线，化为：
2540x x -+=，解得x=1或4，∴|FA|+|FB|=1+4+2=7．
【考点】抛物线的简单性质
11．如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为
1的正方形，则B ，D 两点间的距离是（ ）
A 3
B 32+
C ．1
D 32-【答案】D
【解析】利用空间向量基本定理写出向量DB uuu r
的表达式，利用正方形的性质和二面角的定义，结合空间向量数量积的定义进行求解即可 【详解】
因为四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，所以有0DE EF EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r
⋅=⋅=， 因为四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，所以有,BF EF CF EF ^^，因为二面角A EF D --大小为45°，所以有45BFC ︒∠=，因此
()
2
11cos 180452
DE FB u u u r u u u r ︒︒⋅=⨯⨯-=- 因为DB DE EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r
=++，
所以222222232DB DE EF FB DE EF DE FB EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
=+++⋅+⋅+⋅=
32BD -.
故选：D 【点睛】
本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了空间向量数量积的定义，考查了二面角的定义，考查了数学运算能力.
12．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ） A 3B 5C 51
D ．2
【答案】C
【解析】由题抛物线焦点为()1,0F ，准线方程为1x =- ，如图，点P 到直线l 距离为
PA ，根据抛物线定义P 到y 轴距离等于1PF -，所以P 到直线l 距离和y 轴距离之
和等于1PA PF +-，由于11PA PF AF +-≥-，所以当,,P A F 三点共线时，距
离最小，即FB ，经计算点F 到直线l 的距离5，所以最小距离为51-，故选择C.
点睛：与抛物线有关的最值问题的求解问题一般情况下都与抛物线定义有关，实现点到点的距离与点到线的距离的转化，解体策略为（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“直线上所有点的连线中的垂线段最短”解题，这类问题主要考查划归转化能力的应用.
二、填空题
13．已知()2,1,3a =v
，()4,2,b x =-v ，且a b ⊥v v ，则a b -=v v ________.
38【解析】由a b ⊥r r 可得0a b ⋅=r r ,即可求得2x =,则()6,1,1a b -=-r r ,进而求模即可
【详解】
由题,因为a b ⊥r r ,所以8230a b x ⋅=-++=r r ,即2x =,
所以()4,2,2b =-r ,则()6,1,1a b -=-r
r ,
所以()2
261138a b -=+-+=r r 38【点睛】
本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模
14．已知点E F 、分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，
12CF FC =，侧面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于_______.
【答案】
23
【解析】由题意画出正方体的图形，延长CB 、FE 交点为S 连接AS ，过B 作BP AS ⊥连接PE ，所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是BPE ∠，求出BP 与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值． 【详解】
由题意画出图形如图：
因为E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上， 延长CB 、FE 交点为S 连接AS ，过B 作BP AS ⊥连接PE ， 所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是BPE ∠， 因为12B E EB =，12CF FC =，
所以:1:2BE CF =，所以:1:2SB SC =， 设正方体的棱长为a ，所以2AS a =
，2
BP =
，3a BE =， 在RT PBE V 中，
23322
a
BE tan EPB PB a
∠===， 2. 【点睛】
本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
15．过双曲线()22
22
105x y a a a
-=>-的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不
同交点，则双曲线离心率的取值范围是_________．
【答案】
【解析】先求出渐近线的斜率在(2,3)，再根据离心率的公式进行求解即可. 【详解】
方程()22
22105x y a a a -=>-
表示焦点在横轴上的双曲线，所以有
2500a a ->?
双曲线的渐近线方程为：y x =?
，由题意可知：
222511
234911
2
a a a a a
-<<?<?
<?
双曲线的离心率为：c e a ==
e <<.
故答案为： 【点睛】
本题考查了双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线渐近线方程和性质，考查了数学运算能力.
16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则
b =_________．
【答案】1
【解析】设出函数ln 2y x =+的切点，对函数求导，求出曲线ln 2y x =+的切线方程，同理求出曲线()ln 2y x =+的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线y kx b =+重合进行求解即可. 【详解】
曲线ln 2y x =+的切点坐标为：11(,)x y ，因此有11ln 2y x =+
''11
11
()ln 2()()y f x x f x f x x x ==+⇒=
⇒=，所以过该切点的切线方程为： 1111
1
1
1
()ln 1y y x x y x x x x -=
-?++，
曲线()ln 2y x =+的切点坐标为：22(,)x y ，因此有22ln(2)y x =+
''2211
()ln(2)()()22
y g x x g x g x x x ==+⇒=
⇒=++，所以过该切点的切线方程为：
22222221
1
()ln(2)222
x y y x x y x x x x x -=
-?++-+++，由题意可知：
1122212
211121
1ln 1ln(2)21
x k x x x x b b x x x k =⎧⎧
==⎪⎪+=-⎪⎪⇒⎨
⎨=⎪⎪
=+=+-⎪⎪+=⎩⎩. 故答案为：1 【点睛】
本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.
三、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)(
)*
()2+1n
y x n N ∈＝，
；
(2)(
ln y x =；
(3)1
1
x x e y e +=-；
(4)2)2(+5y xsin x ＝． 【答案】（1）()
1
'221n y n x -=+；（2
）'y =
；（3）()
2
21x
x e y e -'=
-；（4）
2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.
【解析】根据求导法则进行求导即可。

【详解】 (1)()()()
1
1
'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；
（2）
1y ⎛⎫=
+= ⎝'； （3）∵12111x x x e y e e +==+--∴()()
222211x x x x
e e y e e '-=-=--；
（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++. 【点睛】
此题考查求导法则，熟记求导公式，关键点复合求导，先外后里，依次求导到x 。

18．已知函数()3
f x ax bx c =++图像过点40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在2x =处的切线方程是
440x y --=．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 的图像过点()2,4P 的切线方程． 【答案】（1）()314
33f x x =
+；（2）440x y --=或20x y -+=. 【解析】（1）把点的坐标40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入函数解析式中，得到一个方程，对函数求导，根据2x =处的切线方程是440x y --=，可以求出切点坐标和切线的斜率，这样组成方程组，解方程组即可；
（2）根据该是不是切点进行分类讨论求解即可. 【详解】
（1）因为函数()3
f x ax bx c =++图像过点40,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭，所以()403
f c ==
. ()()3'23f x ax bx c f x ax b =++⇒=+，在2x =处的切线方程是440x y --=，
因此切点的坐标为(2,4)，切线的斜率为4，因此有：()3
2224f a b c =⋅++=，
()'22324f a b =⋅+=，三个方程联立得：324133224032443c a a b c b a b c ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪
⋅++=⇒=⎨⎨⎪⎪⋅+=⎪⎪=
⎩⎩
，
所以函数的解析式为：()314
33
f x x =
+； （2）当点()2,4P 是切点时，由已知可知，过该点的切线方程为440x y --=； 当点()2,4P 不是切点时，设()f x 的切点为00(,)x y ，02x ≠，所以30014
33
y x =+. 因为()'
2f
x x =，所以()'200f x x =，因此过该切点的切线方程为：
23200000014
()()33
y y x x x y x x x x -=-?-=-，点()2,4P 代入该切线方程中得： 32320000014
4(2)34033
x x x x x -
-=-?+=，解得01x =-，或02x =（舍去），所以此时切线方程为：20x y -+=.
综上所述：函数()f x 的图像过点()2,4P 的切线方程为：440x y --=或
20x y -+=.
【点睛】
本题考查了求曲线上一点的切线方程，考查了曲线切线过一点时切线的求法，考查了导数的几何意义.
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，AC AB ⊥，2AC =，
4AB =，16AA =，点E ，F 分别为1CA 与AB 的中点．
()1证明：//EF 平面11BCC B ；
()2求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)3
10
．
【解析】()1连接1AC ，1.BC 利用中位线性质即可得证；
()2建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求
解． 【详解】
() 1证明：如图，连接1AC ，1.BC 在三棱柱111ABC A B C -中，E 为1AC 的中点．
又因为F 为AB 的中点，所以1//EF BC ； 又EF ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 所以：//EF 平面11BCC B ．
()2解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，
则(0,0,6)A ，1(0,B 4，0)，(1,E 0，3)，(0,F 2，6)，
所以()10,2,6B F =-u u u u r ，(1,AE =u u u r 0，3)-，(0,AF =u u u r
2，0)．
设平面AEF 的法向量为(,n x =r
y ，)z ，
则30n AE x z ⋅=-=u u u r r 且20n AF y ⋅==u u u r r ，令3x =，得(3,n =r 0，1)．
记1B F 与平面AEF 所成θ，则11
310
B F n sin B F n θ⋅==⋅u u u u r r
u u u
u r r ．
【点睛】
本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．
20．已知点()
12,0F -，圆(2
22:216F x y +=，点M 是圆上一动点， 1MF 的
垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；
（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.
【答案】(1) 22142x y +=.(2)
2
. 【解析】【试题分析】（1）由于24MN NF +=，所以N 的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l 的斜率存在时，设出直线方程和点,,A B B '的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线'AB 的方程，求得其纵截距为2，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等
式求得最大值. 【试题解析】
解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=
又12F F =所以点N 的轨迹是以1
2,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆， 所以点N 轨迹方程是22142
x y +=.
（2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，则
()22,B x y '-，
联立直线AB 与椭圆得2224
1
x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，
得(
)2
2
12420k
x
kx ++-=，
∴()
2
1221228140412212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪
-⎪
+=⎨+⎪
-⎪
=⎪+⎩
，
∴12
12
AB y y k x x '-=
+，所以直线()121
112:y y AB y y x x x x --=-+'， 所以令0x =，得1221
12
x y x y y x x +=
+，
()()
122112
12
12
11212x kx x kx kx x x x x x +++=
=
+=++，
所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合）
所以PAB ∆'的面积12221
212PQB PQA
k S S S x x k
∆∆'=-=+=+
212k k
=≤+，当
且仅当k =时，等号成立. 所以PAB ∆'
. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查
F，而圆心恰好是)，与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点()
1
由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆.。