高考数学8类热点函数专项训练7 取整函数含答案

专题六 取整函数
一、选择题
x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ． 周期函数 【答案】D
【解析】因为 )(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.故选D
2.设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有
A. [－x ] ＝－[x ]
B.[2x ] ＝ 2[x ]
C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D. [x －y ]≤[x ]－[y ] 【答案】D
【解析】取x=2.5,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A 错误；[2x]=[5],2[x ]=2[2.5]=4,所以B 错误；再取y=2.8，则
[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 错误；故选D.
3.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<的 （ ）
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若][][y x =m =，则1+<≤m x m ，1+<≤m y m ，∴11≤-≤-y x 即1x y -<， 另外取9.0,1==y x ，则1x y -<，但是][][y x ≠，∴][][y x =是1x y -<的充分而不必要条件.
4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数， []x 就是x ，当x 不是整数时， []x 是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[][][]
22, 1.52,2.52-=--=-=. 求][][][2222111log log log log 1432⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
][][][2222log 1log 2log 3log 4⎡⎤++++⎣⎦的值为（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．1
【答案】C
【解析】22222221112,21,1,10,21,132,42432
log log log log log log log =--<<-=-==<<=， 由“取整函数”的定义可得，
[][][][]222222211112344322210112 1.
log log log log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=---++++=- 故选C.
5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】如
时，应缴费2元，此时，，排除A 、B ；当时，缴费为2元，此时排除D ，故选C 6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数][x y =（][x 表示不大．．于．x 的最大整数）可以表示为（ ）
（A ）]10[x y = （B ）]103[+=x y （C ）]104[+=x y （D ）]10
5[+=x y 【答案】C
【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B 中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知5[][6]610
x y +===，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C. 7.已知当[],x R x ∈表示不超过x 的最大整数，称[]y x =为取整函数，例如[][]1,21,2,33=-=-，若()[]f x x =，且偶函数()()()2
110g x x x =--+≥，则方程()()()f f x g x =的所有解之和为（ ） A ．1 B ．-2 C 53 D ．53
【答案】D
【解析】设0x <，则0x ->，又()g x 为偶函数，所以()()()()221111g x g x x x =-=---+=-++．由()[]f x x =，得()()[]f f x x =．在同一坐标系中画出()()f f x 与()g x 的图象，如图所示．由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3,4--，当0x ≥时，方程()()()f
f x
g x =的解是0和1；当0x <时，由()()2113g x x =-++=-解得3x =-，由()()2114g x x =-++=-解得15x =-．综上，
得()()()f f x g x =的所有解之和为0131535+---=--，故选D ．
8.在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：
[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122
x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}1,0,1- D ．{}2,0-
【答案】B
【解析】)12(21221212)(+-=-+=x x x x x f Θ,且)()
21(221)12(212)(x f x f x x
x x -=+-=+-=---，即函数)(x f 为奇函数；又⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈+-=21,2112121)(x x f ；当0)(=x f 时，[][]0)()(=-+x f x f ；当0)(≠x f 时，不妨设0)(>x f ，则[]0)(=x f ，[]1)(-=-x f ，则[][]1)()(-=-+x f x f ；故选B ．
9.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]
1,4 上任取x ，则[]2x x ⎡=⎣的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
【答案】D
【解析】当2≤x ＜3时，[x]＝2x ＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，2x ＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，2x ＝2； 当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，2x ＝3．
符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝2x 的概率为
321523
-=-． 故选B ．
10．定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如
[]3.23=，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，
设()[]{}f x x x =，()1g x x =-，若用d 表示不等式()f x <()g x 解集区间长度，则03x ≤≤当时有（ ）
A ．1d =
B ．2d =
C. 3d = D ．4d =
【答案】A
【解析】()[]{}[][]()[][]()()[][]22
,,1,f x x x x x x x x x f x g x x x x x =⋅=-=-<-<-由得即[]()[]211x x x -<-,当[)[]0,1,0=∈x x 时,不等式的解为1>x ,不符合题意；
当[)2,1∈x 时,[]1=x ,不等式无解,不合题意；当[]3,2∈x 时,[]1>x ,不等式可化为[]1+<x x ,此时不等式恒成立,所以不等式解集为32≤≤x .综上可得不等式()()x g x f <解集区间的长度为1=d ,故选A.
11．对任意正整数n 与，表示不超过（表示不超过实数x 的最大整数）且与n 互素的正整
数的个数.则（）. A ．l1 B ．13 C ．14 D ．19
【答案】C
【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17个奇数，再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14.
12．设
表示不超过x 的最大整数，Z 表示整数集，方程的解集为M ，则有（）. A ．
B ．
C ．
D ．M 与Z 互不包含
【答案】C 【解析】显然，
.设，令. 代入方程得
. 而.当时，
. 于是，a=0.当t=0时，
，a=0，即，所以，. 因此，
. 故选C.
二、填空题 13.函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 .
【答案】}{0,1,2,3
【解析】①当-0.5＜x ＜0时，y=[x]+1的函数值为0；
②当0≤x ＜1时，y=[x]+1的函数值为1；
③当1≤x ＜2时，y=[x]+1的函数值为2；
④当2≤x ＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；
综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x ＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.
14.对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ．
【答案】22n n -
【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n
==========，244(12...1)2n S n n n n
∴=+++-+=-． 15.对于实数，
称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足
，则的取值范围是 ． 【答案】(1,5)[10,20)⋃
【解析】由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域
x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5）．CO 2=10，DO 2=20， 此时x 2+y 2∈[10，20）．
所以x 2+y 2∈[1，5）∪[10，20）．
16.][x 表示不超过x 的最大整数，则方程]2[][log sin 2x x =的解集为___________.
【答案】{π≤≤x x 2|或2
5π=x } 【解析】222
11sin 1sin ≤≤∴≤≤-x ，Θ， }210{]2[sin ，，∈∴x ⑴若]2[][log sin 2x x ==0，则⎩
⎨⎧<≤-<≤0sin 11log 02x x 即⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 121x x ，该不等式组的解集为空集； ⑵若]2[][log sin 2x
x
==1，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 12log 12x x 即⎩⎨⎧<≤<≤1sin 042x x ， 解得π≤≤x 2； ⑶若]2[][log sin 2x x
==2，则⎩⎨⎧=<≤1
sin 3log 22x x 即⎩⎨⎧=<≤1sin 84x x ，解得25π=x . 综上得方程]2
[][log sin 2x x =的解集为{π≤≤x x 2|或2
5π=x }.。