2019-2020学年度最新数学高考一轮复习(文科)训练题：天天练 18 Word版含解析
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A．①②B．②③
C．③④D．②
答案：B
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.
2．(2018·咸阳一模)下列各组向量中，可以作为基底的是()
(1)求实数λ的值；若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求 的坐标；
(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
解析：(1) ＝ ＋ ＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)
＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得 ＝k ，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
答案：B
解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，0，且e1与e2不共线，故选B.
3．(2018·河南六市联考(一))已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与 同方向的单位向量是()
答案：(－5，－3)
解析：设点P(x，y)，则由 ＝ ＋t (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以 解得 由点P在第二象限，得 解得－5<t<－3，所以实数t的取值范围为(－5，－3)．
三、解答题
12．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ＝2e1＋e2， ＝－e1＋λe2， ＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
一、选择题
1．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 ＝ .
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为 ＝(3，－4)，所以与 同方向的单位向量为 ＝ .
4．(2018·天津模拟)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为()
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案：A
解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(1,5)．故选A.
5．(2018·重庆第八中学适应性考试(一))已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)∥b，则m＝()
A．－ B.
C．－8 D．8
答案：A
解析：由题意得a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)∥b，所以 ＝ ，解得m＝－ .故选A.
6．(2018·岳阳质检)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
二、填空题
9．(2018·沈阳质检)设点A(1,2)，B(3,5)，将向量 按向量a＝(－1，－1)平移后得到的向量 ＝________.
答案：(2,3)
解析：因为A(1,2)，B(3,5)，所以 ＝(2,3)，向量平移后向量的坐标不变，故 ＝ ＝(2,3)．
10．(2018·河北联盟二模)已知点A(1,0)，B(1， )，点C在第二象限，且∠AOC＝150°， ＝－4 ＋λ ，则λ＝________.
7．(2018·嘉兴一模)设平面向量 ＝(2,0)， ＝(0,1)，点P满足 ＝ ＋ ，其中m>0，n>0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为()
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设P(x，y)，因为 ＝(2,0)， ＝(0,1)， ＝ ＋ ＝ ，所以x＝ ，y＝ (其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，则点P的轨迹的长度为 ×2π× ＝ .
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解法一连接AC，由 ＝λ ＋μ ，得 ＝λ· ( ＋ )＋μ· ( ＋ )，则 ＋ ＋ ＝0，得 ＋ ＋ ＝0，得 ＋ AD＝0.又 ， 不共线，所以由平面向量基本定理得 解得 所以λ＋μ＝ .
解法二根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于T，由已知易得AB＝ AT，所以 ＝ ＝λ ＋μ ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝ .
答案：1
解析：∵点A(1,0)，B(1， )，点C在第二象限， ＝－4 ＋λ ，∴C(λ－4， λ)．∵∠AOC＝150°，∴∠COx＝150°，
∴tan150°＝ ＝－ ，解得λ＝1.
11．已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)， ＝ ＋t (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．
8．(2018·南昌二模)已知在平面直线坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量 与向量a＝(1，－1)共线，若 ＝λ ＋(1－λ) ，则λ＝()
A．－3 B．3
C．1 D．－1
答案：D
解析：设 ＝(x，y)，则由 ∥a知x＋y＝0，于是 ＝(x，－x)．若 ＝λ ＋(1－λ) ，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即 所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴ 解得k＝－ ，λ＝－ .
＝ ＋ ＝－3e1－ e2
＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(2)∵ABCD四点构成平行四边形，∴ ＝ .
设A(x，y)，则 ＝(3－x,5－y)，
又 ＝(－7，－2)，∴
解得 点A(10,7)．
C．③④D．②
答案：B
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.
2．(2018·咸阳一模)下列各组向量中，可以作为基底的是()
(1)求实数λ的值；若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求 的坐标；
(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
解析：(1) ＝ ＋ ＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)
＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得 ＝k ，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
答案：B
解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，0，且e1与e2不共线，故选B.
3．(2018·河南六市联考(一))已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与 同方向的单位向量是()
答案：(－5，－3)
解析：设点P(x，y)，则由 ＝ ＋t (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以 解得 由点P在第二象限，得 解得－5<t<－3，所以实数t的取值范围为(－5，－3)．
三、解答题
12．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ＝2e1＋e2， ＝－e1＋λe2， ＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
一、选择题
1．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 ＝ .
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为 ＝(3，－4)，所以与 同方向的单位向量为 ＝ .
4．(2018·天津模拟)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为()
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案：A
解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(1,5)．故选A.
5．(2018·重庆第八中学适应性考试(一))已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)∥b，则m＝()
A．－ B.
C．－8 D．8
答案：A
解析：由题意得a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)∥b，所以 ＝ ，解得m＝－ .故选A.
6．(2018·岳阳质检)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
二、填空题
9．(2018·沈阳质检)设点A(1,2)，B(3,5)，将向量 按向量a＝(－1，－1)平移后得到的向量 ＝________.
答案：(2,3)
解析：因为A(1,2)，B(3,5)，所以 ＝(2,3)，向量平移后向量的坐标不变，故 ＝ ＝(2,3)．
10．(2018·河北联盟二模)已知点A(1,0)，B(1， )，点C在第二象限，且∠AOC＝150°， ＝－4 ＋λ ，则λ＝________.
7．(2018·嘉兴一模)设平面向量 ＝(2,0)， ＝(0,1)，点P满足 ＝ ＋ ，其中m>0，n>0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为()
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设P(x，y)，因为 ＝(2,0)， ＝(0,1)， ＝ ＋ ＝ ，所以x＝ ，y＝ (其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，则点P的轨迹的长度为 ×2π× ＝ .
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解法一连接AC，由 ＝λ ＋μ ，得 ＝λ· ( ＋ )＋μ· ( ＋ )，则 ＋ ＋ ＝0，得 ＋ ＋ ＝0，得 ＋ AD＝0.又 ， 不共线，所以由平面向量基本定理得 解得 所以λ＋μ＝ .
解法二根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于T，由已知易得AB＝ AT，所以 ＝ ＝λ ＋μ ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝ .
答案：1
解析：∵点A(1,0)，B(1， )，点C在第二象限， ＝－4 ＋λ ，∴C(λ－4， λ)．∵∠AOC＝150°，∴∠COx＝150°，
∴tan150°＝ ＝－ ，解得λ＝1.
11．已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)， ＝ ＋t (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．
8．(2018·南昌二模)已知在平面直线坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量 与向量a＝(1，－1)共线，若 ＝λ ＋(1－λ) ，则λ＝()
A．－3 B．3
C．1 D．－1
答案：D
解析：设 ＝(x，y)，则由 ∥a知x＋y＝0，于是 ＝(x，－x)．若 ＝λ ＋(1－λ) ，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即 所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴ 解得k＝－ ，λ＝－ .
＝ ＋ ＝－3e1－ e2
＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(2)∵ABCD四点构成平行四边形，∴ ＝ .
设A(x，y)，则 ＝(3－x,5－y)，
又 ＝(－7，－2)，∴
解得 点A(10,7)．