2016年7月数学方法论复习资料

1.什么是数学方法论？
数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。

2.张奠宙先生在著作《数学方法论稿》给出了数学方法的四个层次分别是什么？
基本的重大的数学思想方法：与一般科学方法相应的数学方法：中学中的特有的方法：中学数学中的解题技巧：
3.数学思想与方法的关系是什么？
数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；
数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；
数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想．
4.笛卡儿在它未完成的著作《思维的法则》里，设计了一种能解各种问题的“万能方法”，即
首先，把任何问题化为数学问题；次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。

5.20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著分别是：《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）
6．《怎样解题》中，波利亚共给出了解题过程的四个阶段分别是：弄清问题、拟定计划、执行计划、回顾反思.
7.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.
8. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全体对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.
9.欧拉公式：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系是.
10.联想是一种思维形式，它的三个组成部分（即三要素）分别是：某种概念，相关概念，联想因素与联想效应的相关性。

联想的三个基本法则为：类似联想法则，相反联想法则，接近联想法则.
11.逻辑推理的方法有两种：一是演绎推理，即由一般到特殊的推理；二是归纳推理，即由特殊到一般的推理。

12.类分法：指对具有无限多个对象的某类事物进行研究时，将这类事物划分为相互排斥，且其外延之和等于该类事物的几个子类，并对它们分别进行考虑。

如果这些子类都具有某些属性，就得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的归纳推理。

13.枚举归纳法：根据某类事物的n 个特殊对象，具有某种属性而作出的这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。

枚举归纳法虽然不能作为严格的论证方法，但它有助于发现解题线索和提供研究方法，因此，它是数学学习和数学方法、发明的重要方法，它的步骤可概括为实验—归纳—猜想。

14.类比法：根据不同的两个对象之间在某些方法的相似或相同，从而退出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法。

其推理模式为：
A 具有性质F,,,,,,P
B 具有性质F,,,,,,,, B 具有性质P.
15.化归：数学中的化归法，是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法。

化归的三原则：熟悉化和模型化，简单化和具体化，特殊化和一般化
16.划分：是指按照事物间的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。

每一种分类都按照一定的标准进行。

其标准应根据研究的目的或观察问题的角度来确定。

划分的意义在于使知识条理化，并进而系统化，促进认知结构的发展。

数学上的划分包括对概念的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的分域讨论等。

任何划分都包含三个部分：划分的母项、划分的子项以及划分的标准。

数学解题中运用分类方法的原则是：不重复、不遗漏，标准同一，按层次逐步划分.
17.在边长为1的正方形内任意放置五个点，则其中必有两点，这两点的之间的距离不大于.2
2 18.若c b a ,,为三角形的三边，则.22
2
2c b a >+ 19.若B A ,为锐角三角形的两内角，则1tan tan >⋅B A .
20.已知三角形的三内角C B A ,,成等差数列，求证：三角形的三边满足c
311++=+++b a c b b a 21.综合是在分析的基础上把对研究对象的各个部分、方面、要素和层次有机地联系起来、结合起来加以综合研究，从而在整体上把握事物的本质及规律，以形成对研究对象整体认识的思维方法。

也就是在从事物的各个部分、方面、因素和层次的特点、属性出发，寻找它们间的内在联系的基础上，进行概括与上升（即综合），认识整体事物的本质规律的一种方法。

22.抽象法：就是透过事物的现象，深入里层，抽取事物本质的一种过程和方法。

数学中的抽象就是仅考虑问题的有关数、形方面的主要特征、主要关系，尽可能用数学概念、数学符号、数学表达式去表现事
物对象及关系，而舍弃其余一切次要因素。

这样，我们就可将一个实际问题转化成一个数学问题，建立起相应的数学模型。

对这个模型建立一套逻辑系统，就得到相应的数学理论，然后求得问题的解答。

23.简述概括与抽象的关系。

24.数学问题的三个特征是：客观性、障碍性、挑战性.
奥加涅相等人认为数学问题是一个系统，其构成要素主要有问题的条件，问题的结论、解题方法和解题的依据四个部分.
哥尼斯堡七桥问题是数学抽象基本形式的理想化抽象，同余数类是数学抽象基本形式的等价抽象，虚数是存在性抽象.
数学证明必须遵循的规则有：论题必须明确，论题应当保持同一，论据必须可靠，论据不能依赖于论题，证明必须遵守推理规则.
按照数学直觉思维的智力品质分类，小高斯凭直觉判断1+2+3+…+100=5050是一种十分娴熟的思维技能，属于再现性数学直觉思维，哈密尔顿发现四元数属于创造性数学直觉思维.
25.一个良好的公理系统，必须满足的的三项要求是：相容性、独立性和完备性。

26.什么是类比推理？写出类比推理的形式，怎样才能增加有类比得出结论的可靠性？
27.数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明.
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28.简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

29.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？
30.在自然数集N 上解方程353xy x y +-=.
31.研究n 2cos π
的值,并证明其结果.
32.证明同弧所对的圆周角是圆心角的一半. 试用框图表示解决该问题的一般过程。