广西高三高中数学高考模拟带答案解析

广西高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、解答题
1.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的
参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积．
2.已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，若，其中为坐标原点，判断到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
3.某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师
统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再
从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率.
下列的临界值表供参考：
（参考公式：，其中）
4.如图，在四棱锥中，底面，，，.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）、是棱的两个三等分点，求证：平面.
5.已知函数，且.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：函数有且只有一个零点.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若角为锐角，，，求的面积.
二、选择题
1.设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形
为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）
A．B．2
C．D．
2.已知数列满足：，且，则等于（）
A．B．23C．12D．11
3.已知角的终边过点，若，则实数等于（）
A．B．C．D．
4.已知非零向量、满足，且与的夹角的余弦值为，则等于（）
A．B．C．D．2
5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．12B．15C．18D．21
6.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与轴相切且与线段相交于点.若，则等于（）
A．1B．2C．D．4
7.已知集合，，则等于（）
A．B．C．D．
8.复数的虚部为（）
A．B．C．D．
9.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、、、、、、、，则样本的中位数在（）
A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组
10.已知函数，设表示，二者中较大的一个，函数.若，且，，使得成立，则的最小值为（）
A．B．C．D．
三、填空题
1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次
一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端
截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为.现将该金杖截成长
度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则__________．
2.如果实数，满足约束条件，则的最大值为__________．
3.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面平面.若
，则三棱锥外接球的表面积为__________．
4.在区间上任取一个实数，则曲线在点处切线的倾斜角为钝角的概率为
__________．
广西高三高中数学高考模拟答案及解析
一、解答题
1.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的
参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方
程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）点到直线的距离公式，圆的弦
长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式．
试题解析：解：（1）对于：由，得，进而． 2分
对于：由（为参数），得，即． 4分
（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距， 6分．弦长
， 8分．
因此以为边的圆的内接矩形面积 10分
【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、求矩形的面积．
2.已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，若，其中为坐标原点，判断到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）根据，，得到，列式求值即可.
(2)坐标化可得，原点到直线的距离②，将①式代入
②式得：，得解.
（1），，
，
则，化简得，
又，，
则，得，则，
椭圆的方程为.
（2）由题意知，直线不过原点，设，，
（i）当直线轴时，直线的方程为且，
则，，，，
，，，
解得，故直线的方程为，
原点到直线的距离为.
（ii）当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得，
，，
.
，，故，
即，①，
原点到直线的距离为，
则②，将①式代入②式得：，
.
综上，点到直线的距离为定值.
3.某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率.
下列的临界值表供参考：
（参考公式：，其中）
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】（1）列联表可求得，结合临界值表做出判断.
(2)先由分层抽样确定抽取的成绩，再结合古典概型求其概率.
试题解析：（1）根据列联表可求得的观测值，
能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.
（2）按分层抽样应从第一次月考数学优良成绩中抽取个，
应从第二次月考数学非优良成绩中抽取个，
记第一次月考抽取的3个成绩分别为、、，第二次月考抽取的2个成绩分别为、，
则从中抽取2个的基本事件有：，，，，，，，，共10个，其中抽取的2个成绩来自同一次月考的基本事件有4个，
则所求概率为.
4.如图，在四棱锥中，底面，，，. （1）若是的中点，求证：平面；
（2）、是棱的两个三等分点，求证：平面.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【解析】（1）通过证明平面平面，即可证明平面；
（2）通过证明和平面内的两条相交直线垂直，证得平面.
试题解析：（1）取的中点为，连接，，
是的中点，
是的中位线，即，
，，
，
、到直线的距离相等，则，
，
平面平面，则平面.
（2），，，,
、是棱的两个三等分点，
，，
，是正三角形，即，
，，
在中，，，
，即，则，
平面，平面，，
，平面.
5.已知函数，且.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：函数有且只有一个零点.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【解析】（1）通过导函数当和时的正负来确定原函数的增减区间；
(2) 通过证明函数单调并且猜出函数的一个根，从而证明函数有且只有一个零点.
试题解析：
（1），，
当时，，则在上单调递增；
当时，由得，由得，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：由已知得，则，
设，则，
故为上的增函数，
又由于，因此且有唯一零点1，
当时，；当时，.
在上为减函数，在上为增函数，
函数有且只有一个零点.
点晴:本题主要考查导数在解决函数中的应用. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为含参不等式的求解问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)函数有且只有一个零点通常是证明函数单调并且猜出函数的一个根，从而证明函数有且只有一个零点.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若角为锐角，，，求的面积.
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）先由余弦定理得，再得.
(2)由余弦定理并结合可得，从而得.
试题解析：（1）由余弦定理得：
.
即，，
即.
（2），为锐角，，
，，，，
则，即.
的面积.
二、选择题
1.设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形
为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）
A．B．2
C．D．
【答案】D
【解析】设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，
∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.
【考点】双曲线的简单性质.
2.已知数列满足：，且，则等于（）
A．B．23C．12D．11
【答案】D
【解析】由已知得，则是公比为2的等比数列，所以则.故本题正确答案是
3.已知角的终边过点，若，则实数等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，且,解得.故本题正确答案是
4.已知非零向量、满足，且与的夹角的余弦值为，则等于（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】由得,,即，则="2." 故本题正确答案是
5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．12B．15C．18D．21
【答案】C
【解析】
该几何体的直观图如图所示，是一个长宽高分别为的长方体切去一半得到的，其体积为.故本题正确答案是
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
6.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与轴相切且与线段相交于点.若，则等于（）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】B 过M作抛物线C的准线的垂线B为垂足.则又所以则 .解得
7.已知集合，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐
标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，
求得不等式的解集.在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
8.复数的虚部为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的虚部为.
9.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、、、、、、、，则样本的中位数在（）
A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组
【答案】B
【解析】由图计算可得前四组的频数是22，其中第4组的为8，故本题正确答案是
10.已知函数，设表示，二者中较大的一个，函数.若，且，，使得成立，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得 .作函数的图像如图所示.当时.方程两根分别为和 .则的最小值为 .
点晴:本题考查函数导数的单调性,任意性与存在性问题，可利用数形结合的办法解决，如果函数较为复杂，可结合
导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.对于方程的有解，恒成立问题以及可转化为有解、恒成立问
题的问题，注意利用数形结合的数学思想方法.
三、填空题
1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次
一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端
截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为.现将该金杖截成长
度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则__________．【答案】6
【解析】这是一个等差数列问题，由题意得金杖的重量斤，且,设数列的
公差为,则求得,,,,解得.
2.如果实数，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】根据约束条件画出可行域，则当时，取最大值 .
点晴：本题考查的是线性规划问题中最值问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.
3.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面平面.若
，则三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】当时，可证得 .又且平面则三棱锥外接球的直径为其表面积为 .
4.在区间上任取一个实数，则曲线在点处切线的倾斜角为钝角的概率为
__________．
【答案】
【解析】 .由得 .则由几何概型可得所求概率为。