2010届高三数学每周精析精练导数及其应用

2010届高三数学每周精析精练：导数及其应用
注意事项：1.本卷共150分，考试时间120分钟
2.将答案写在答题卡的相应位置
一、选择题(12小题，每小题5分)
1. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f (x)二g (x),则f (x)与
g(x)满足( )
A. f(x)=g(x)
B. f(x)-g(x)为常数函数
C. f(x)二g(x) =0
D. f(x) g(x)为常数函数
2. 函数y二f (x)在一点的导数值为0是函数y二f (x)在这点取极值的( )一
A充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件
3. 若f (x°)=2，则lim f (x0等于( )
T 2k
1
A. - 1
B.—2
C.—1
D.-
2
4. 若函数y二f(x)在区间(a,b)内可导，且(a,b)则lim丄也^ f仇一①的值为
h T h
( )
A. f'(x°)
B. 2f'(x°)
C. -2f'(X0)
D. 0
/(TC)= ----- r +- ------------- F+tan0 —]
5. 设函数二二，其中--，则导数-「的取值范围
是
A. [-2,2]
B.[伍询
C.【点2】
D.[庞2]
6. __________________________________________________________________________________ 函数f(x) =x3-3ax b(a 0)的极大值为6,极小值为2,则f (x)的减区间是 _________________________
A. (-1，1)
B. (0，1)
C. (-1，0)
D. (-2，-1 )
7.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是
A.①、②
B.①、③
C.③、④
D.①、④
① ② ③ ④
9.
2
-.(1 cosx)dx 等于
10. 若 f （x 0）- -3，则”叫
f (X
g h) f (X o 3h)
h
11. 由直线y=x, y--x ，1，及x 轴围成平面图形的面积为
1
1
A . ,0H-y -ydy
B . g 2〔 — x 1 -xdx
1
1
C . 02 M -y - ydy
D . o x-〔-x 1 dx
二、填空题（4小题，每小题 4分）
I -------- 1
13. --------------------------------------------------
14.过原点作曲线 y=e x 的切线，则切点坐标是 ___________________ ,切线斜率是 ___________
18. （ 10分）求由抛物线y ? =4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
A .二
B. 2
C.二-2
D.二 +2
A . -3
B . —6
C. -9
D . -12
8.—个物体的运动方程为
瞬时速度是（
）
S =1 -t -12其中s 的单位是米,
t 的单位是秒，那么物体在3秒末的
A . 7米/秒 C. 5米/秒
B . 6米/秒 D . 8米/秒
A .
曲线 及x 轴所围图形的面积为
□
B.—
D . I ——
15.若函数
f(x)二 x 3
f( ：x-1)
f(1)
2 A x
12.由直线
A.①、②
B.①、③
C.③、④
D.①、④
19. （12分）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求
当水深10米时，水面上升的速度.
3
20. （13分）已知直线11为曲线f（X）二X *-2在点（1, 0 ）处的切线，直线丨2为该曲线的另一条切线，且12的斜率为1.
（I）求直线丨1、丨2的方程
（n）求由直线丨1、丨2和X轴所围成的三角形面积。

21.( 13分)设函数f(x)=x3• ax2 -9x-1(a ::： 0)若曲线y = f (x)的斜率最小的切线与直线12x • y =6平行，求：
(1)a的值；―
(2)函数f (x)的单调区间。

b
22 .( 14 分)设函数f (x) = 2ax 1nx
x
1
(I)若f (x)在X =1, X =—处取得极值，―
2
(i) 求a、b的值；
1
(ii )在［丄,2］存在X o,使得不等式f(x。

)-c^0成立，求c最小值
4
(参考数据e27.389, e^ 20.08)
(n)当b=a时，若f (x)在(0,=)上是单调函数，求a的取值范围。

(参考数据e27.389, e^ 20.08)
f (1)
.2,2 ，选 D o
6.A 提示：令 f (x)二 3X 2 -3a = 0 ,得 x= 一 . a , f ( . a) = 2 , f (f a ) = 6,得
a=1,b=4,当 x E 时，f '(x) =3x 2 -3 vO .
7. C 提示：根据f '(x) 7时，y = f(x)递增；f '(x)：：：O 时，y = f(x)递减可得 8. C 解析：s(t)=2t-1,s(3)=2 3-1=5 9. D
n n K Ji
=(—+sin —) _[+ sin(_ —)]=兀 +2.故选 D —
2 2 2 211.C
答案 、选择题( 12小题，每小题 5分)
1.B 解析: f (x), g(x)的常数项可以任意
2.D
f (x o ) = lim -
k ^o
f (x o
k) f (x o )
(i)
k )o
2k
--—lim f (x
o *(-k)】- f (x o )
2 k
7 1
2 = -1.故选 A . 2 3.解析:
fk (k)Lf (X
o )=2 (含 *_k )，
-k
1 f (X 。

)
—
4.B 解析:
Hh
mo
f (X o h) - f (X o -h)
f (X o h)- f (X o -h)] 2h ]
5.D
解析:
二
2lim
f (X o h) - f (X o -h) 2h
= 2f '(X o )
f (1) =sin v x 2
. 3cos
X XA =sin & +x/3cos 。

=2sin(6 +—)
解析•••原式 =x +sin x
x 2 10.D 解析:
f(X o h) - f (X o -3h)
h
二 4l h m
o
s
12. 【解析】如图，面积 _____________________________________
答案：D
二、填空题(4小题，每小题 4分)
|
^1 UH^"n ■ ™ "
凶
13. 答案： __________
□ -------------------------------------------
解析： ___________________________ 表示
』 ______________________________________ 所围成图形的面积。

由
15•解析：易知f (x)为奇函数,所以Ijm 。

f （.，x 一1） 一 f （1） 1 f ⑴- f （1
一 ：x ）
19. 解析：设容器中水的体积在 t 分钟时为V,水深为h 则V=20t
14. （1,e ）,e 解
析：
设切点(t,e t )，函数y 二e x 的导数y '二e x ，切线的斜率
径为門的上半圆，故所求的定积分叵
k = y \x^e
t =1,k =e,切点
（1,e ） 由图得知: S ACF
'S AGF 二 S FB E ' S FBD ，故 S ACFDOA ' S AFBDOA •
所求面积为:
2a
A
切0
a
4a dy =8a * 2
*
3
，故
凶——
表示的曲线是圆心为 因* j
_______ ，半
ET
12
12
5
-米/分.
(1,0)在曲线上，.直线l i 的斜率为k i 二「(1) = 4
所以直线11的方程为y = 4(x T)即y = 4x -4 设直线12过曲线f (x)上的点P (X o , y o )， 则直线12的斜率为k 2 = f (x 0) =3x2 T =1 -
3
-X o = 0 , y o = Xo X o — 2 = -2 即 P ( 0，-2 ) .丨2的方程y =x -2
....................
2
4 (n)直线11、丨2的交点坐标为(_,
) ................... 8分
3
3
直线h 、l 2和x 轴的交点分别为(1, 0)和(2,0)
....................
1
4 2 所以所求的三角形面积为 S |2-1| |
|
....................... 13分
2
3 3
2
r
由图知丄二 6
r 1h • r 二一h h 30
5
3
1500 • 20t =— h 3
,
h= t
75
V JI
当h =10时,
t =
2
5
二 h =.
3
JI
10分
又 v=l 二 r 2h
3
V 」二• ( - ) 2 • h 3=
h 3
3 5 75
•••当h =i0米时，水面上升速度为
2
21.解析：(1) f (x) =3x，2ax-9
4 3 (-9)-4a2
2
4a 36 a = 3 a ：； 0
a - -3 ..............................................................................
(2) f (x) =3x2 -6x 一9
=3(x「3)(x 1)-
增区间1］和［3,=)
减区间[-1,3]
b
22.解析：(i)( i ) ；f (x) =2ax-—• 1 nx，定义域为(0,=)
x
—1 八
f '(x) = 2a 2。

................. 1 分
x x
1
7 f(x)在x =1,x 处取得极值，
2
1
■ f '(1) = 0, f'( )=0.............................. 2 分
2
1 1
.所求“—的值分别为飞二
1 1 1 1
当X ［—,—］时，f '(x) :: 0,故f (x)在［―,一］是单调递减；
4 2 4 2
1 1
当x ［―,1］时,f '(x) 0,故f(x)在［―,1］是单调递增
2 2
当x ［1,2］时,f'(x) ：：0,故f(x)在［1,2］是单调递减
1 1
f(-)是f (x)在［— ,2］上的极小值
2 4
而f(21n丄工1 -1n2，
2 13分
即2a —“o
2a 4b 2 =0
a =- 解得
b =-
2 1 1
由f'(x)_2x—3?厂
2
2x -3x 1
3x2
(2x -1)(x -1)
3x2
2
2 3 2 3
(H)在[一,2]存在X o,使得不等式f(X°)-C^0成立，只需C_[f(X)]min
4
f⑵一6 ln2，
1 3 予
且f( ) - f (2) 1n4 =1 ne2-1 n4,
2 2
3
3 —
又e -16 0,. 1ne2 -1n4 0
.[f (X)]min =f(2),
c _ If (x) Lin ln 2
6
.c的取值范围为[-71n2, •：：),所以c的最小值为丄 Tn2.
6 6
/ 、七z 2ax2+x+a
(n)当a = b时，f '(x) 2
x
①当a=0时,f(x)=1mx •则f(x)在(0, •：：)上单调递增；
②当a 0时，：x 0, 2ax2 x a 0，
.f'(x) 0,则f(x)在(0,+ ：：)上单调递增；
③当a ::: 0时，设g(x)二2ax - x a,只需厶乞0，
从面得aW-——，此时f(x)在(0+立)上单调递减；•一
4
综上得，a的取值范围是(-：：，-一^]U[0，+：：)•
14分
4
3 2
16.函数y=2x -3x -12x + 5在［0 , 3］上的最大值和最小值分别是 _____________
三、解答题（6小题，每小题74分）17. (10 分)求函数y = (x-a)(x-b)(x-c)的导数。

lim
2 x 2 - 'x >0x
/（1）=1.
16.5，-15 ；提示：求出极值和端点值，比较大小。

三、解答题( 小题，每小题分)
17.解析：y 二（x「a）（x「b）（x「c）（x「a）（x「b）（x「c）（x「a）
（x「b）（x「c）
= （x-b）（x_c）（x-a）（x _c）（x-a）（x-b）
18. 解析：焦点坐标为F(a,O)，设弦AB、CD过焦点F，且AB _ OF .。