高中数学积分公式大全

高ѣ数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴() ⑵0c ′=1
x x
μ
μμ−= ⑶()sin cos x x ′=
⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()x
x
e
′=e
a ⑽() ⑾()ln x
x
a
a
′=1
ln x x
′=
⑿(
)1
log ln x
a x a
′= ⒀(
)arcsin x ′= ⒁(
)arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=
+ ⒃()2
1arc cot 1x x ′=−+⒄()1x ′=
⒅
′=
二、导数的四则运算法则
()u v u v ′′±=±′′ () uv u v uv ′′=+2u u v u v v ′v ′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
三、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()()n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦n （2）()()
(
)
()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦
（3）()()()
(n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣⎦
) （4）
()()()
()
()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦
∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n
x n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()
()
ln n x x a a =n a
(4)()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦
⎝
⎠ (5) ()()cos cos 2n n
ax b a ax b n π⎛⎞+=++⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠⋅ (6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎞
=−⎜⎟+⎝⎠
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b −⋅−+=−⎡⎤⎣⎦
+
五、微分公式与微分运算法则
⑴ ⑵ ⑶()0d c =()
1d x x dx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x ⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2
tan sec d x xd =()2
cot csc d x xd =−x x
⑺ ⑻()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅x ⑼ ⑽ ⑾()x
x
d e
e dx =()ln x
x
d a a
adx =()1
ln d x dx x
=
⑿()
1log
ln x a d dx x a =
() ⒀arcsin =
d x ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arc cot 1d x dx x
=−+ 六、微分运算法则
⑴ ⑵()d u v du dv ±=±()d cu cdu = ⑶ ⑷()d uv vdu udv =+2
u vdu udv
d v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
七、基本积分公式
⑴ ⑵kdx kx c =+∫11x x dx c μμ
μ+=++∫ ⑶ln dx
x c x
=+∫ ⑷ln x
x
a a dx c a
=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫ ⑺sin cos xdx x c =−+∫ ⑻
2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫
⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==−∫∫
+ ⑽21arctan 1dx x c x =++∫ ⑾
arcsin x c =+
八、补充积分公式
tan ln cos xdx x c =−+∫ cot ln sin xdx x c =+∫ sec ln sec tan xdx x x c =+∫+ csc ln csc cot xdx x x c =−+∫
22
11arctan x
dx c a x a a
=+∫+ 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
−=+−+∫
c + ln dx c =+
九、下列常用凑微分公式
十、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ∫，令，
n u x =ax dv e dx =形如sin n x xdx ∫令， n u x =sin dv xdx =形如cos n x xdx ∫令， n u x =cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ∫，令， arctan u x =n dv x dx =形如ln n x xdx ∫，令，
ln u x =n dv x dx =⑶形如，令u e 均可。

sin ax e xdx ∫
cos ax e xd ∫
,sin ,cos ax
x x =x 十一、第二换元积分法中的三角换元公式
sin x a =t tan x a t = sec x a t = 【特殊角的三角函数值】
（1） （2）sin 00=1sin
6
2π
=
（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=
（1） （2）cos01=cos
6
2π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02π
=） （5）cos 1π=−
（1） （2）tan 00=tan
6
3π
=
（3）tan 3π=（4）tan 2
π
不存在 （5）tan 0π=
（1）不存在 （2）cot
0cot 6
π
=（3
）cot
3
3π
=
（4）cot 02
π
=（5）cot π不存在 十二、重要公式
（1）0sin lim 1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >=
（4
）lim 1n = （5）lim arctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→−∞
=−
（7） （8）lim arc cot 0x x →∞
=lim arc cot x x π→−∞
= （9）lim 0x
x e →−∞
=
（10） （11）lim x x e →+∞
=∞0
lim 1x
x x +
→= （12）0
101101lim
0n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪
=⎨+++⎪∞
>⎪⎪⎩
L L < （系数不为0的情况）
十三、下列常用等价无穷小关系（0x
→）
sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 2
11cos 2
x x − ()ln 1x x + 1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂
+−∂
十四、三角函数公式 1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A +=+B sin()sin cos cos sin A B A B A B −=− cos()cos cos sin sin A B A B A +=−B cos()cos cos sin sin A B A B A B −=+
tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
− tan tan tan()1tan tan A B
A B A B −−=+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅−+=
+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A ⋅+−=− 2.二倍角公式
sin 22sin cos A A =A 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =−=−=−
2
2tan tan 21tan A
A A
=
− 3.半角公式
sin 1cos A A =+
sin 1cos A
A
=
−
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos
22a b a b a b +−+=⋅ sin sin 2cos sin 22a b a b
a b +−−=⋅ cos cos 2cos cos
22a b a b a b +−+=⋅ cos cos 2sin sin 22
a b a b
a b +−−=−⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
⋅
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =−+−−⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos cos cos cos 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦
()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos sin sin sin 2
a b a b a b =+−−⎡⎤⎣⎦ 6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2
a
a a
=
+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a −=+ 2
2tan
2tan 1tan 2
a
a a
=− 7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x −= 22csc cot 1x x −=
8.倒数关系
tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x
= 十五、几种常见的微分方程 1.可分离变量的微分方程：
()()dy
f x
g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为：
()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c −⎡∫∫=⎢⎣⎦
∫⎤+⎥。