3.3 方差和标准差-2020春浙教版八年级数学下册课件 (共10张PPT)
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学习指要
知识要点
1.方差的定义： 在一组数据 x1，x2，…，xn 中，各数据与它们的平均数 x 的 差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用 S2 表示， 即 S2＝n1[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
2.标准差的定义和计算： 方差的算术平方根叫做标准差，用 S 表示，即 S＝ S2＝ n1[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2].
次第 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
7 10 9 8 6 9 9 7 10 10
乙
8 9 8 9 8 8 9 8 10 8
(1)根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
甲 10 次射箭得分情况
乙 10 次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10 频数 频率
环数 6 7 8 9 10 频数 频率
反思
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明 这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定； 反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动 越小，数据越稳定.
【例 3】 九(3)班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛， 在班里选取了若干名学生，分成人分别 绘制成如图 3-3-1 所示的统计图.
【解析】 －x 原＝160＋165＋1570＋163＋167＝165，S 原 2＝558，
－x 新＝160＋165＋170＋6 163＋167＋165＝165，S 新 2＝568，
∴平均数不变，方差变小.
【答案】 C
【例 2】 (2019·怀化)某射箭队准备从甲、乙两人中选拔 1 人参加射箭
比赛，在选拔赛中，两人各射箭 10 次的成绩(单位：环)如下：
解题指导
【例 1】 某科普小组有 5 名成员，身高分别为(单位： cm)：160，
165，170，163，167.增加 1 名身高为 165 cm 的成员后，现科
普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是
()
A. 平均数不变，方差不变
B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数不变，方差变小
D. 平均数变小，方差不变
重要提示
1.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来 比较两组数据的波动大小，方差较大的波动较大，方差较小的波 动较小.
2.方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单 位相同，不要漏写单位.
3.原数据 x1，x2，…，xn 的方差与新数据 x′1＝x1－a，x′2＝x2－a，…，
x′n＝xn－a 的方差相等，即 x′1，x′2，…，x′n 的方差 S′2＝n1[(x′1 －x′)2＋(x′2－x′)2＋…＋(x′n－x′)2]等于原数据 x1，x2，…，xn 的 方差 S2. 4.若数据 x1，x2，…xn 的方差为 S2，则数据 nx1，nx2，…，nxn 的 方差为 n2S2. 5.求一组数据方差的一般步骤： (1)求数据的平均数. (2)利用方差公式求方差.
图 3-3-1 根据统计图，回答下列问题： (1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整. (2)已知甲组成绩优秀人数的平均数－x 甲＝7，方差 S 甲 2＝1.5.请
通过计算说明：哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【解析】 (1)参加竞赛的总人数为(5＋6)÷55%＝20， ∴第三次成绩的优秀率是8＋205×100%＝65%，第四次乙组优秀的 人数是 85%×20－8＝9.补全条形统计图如解图中斜纹所示.
(2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数. (3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.
【解析】 (1)第一个表中从左往右，从上至下依次填：1， 2，1，3，3，0.1，0.2，0.1，0.3，0.3；第二个表中从 左往右，从上到下依次填：0，0，6，3，1，0，0，0.6， (02.)3甲，射0.箭1.得分的平均数＝110(6＋14＋8＋27＋30)＝8.5； (乙3)射∵箭S 得甲 2分＝的110平[(均6－数8＝.51)120＋(428(＋7－278＋.51)02)＋＝(88.－5.8.5)2＋3(9－ 8.5)2＋3(10－8.5)2]＝1.85， S 乙 2＝110[6(8－8.5)2＋3(9－8.5)2＋(10－8.5)2]＝0.45. ∵S 甲 2＞ S 乙 2，∴应选派乙参加比赛合适.
(2)－x 乙＝6＋8＋4 5＋9＝7，
(例 3 解)
S 乙 2＝14[(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝2.5， ∵S 甲 2＜S 乙 2，∴甲组成绩优秀的人数较稳定.
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知识要点
1.方差的定义： 在一组数据 x1，x2，…，xn 中，各数据与它们的平均数 x 的 差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用 S2 表示， 即 S2＝n1[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].
2.标准差的定义和计算： 方差的算术平方根叫做标准差，用 S 表示，即 S＝ S2＝ n1[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2].
次第 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
7 10 9 8 6 9 9 7 10 10
乙
8 9 8 9 8 8 9 8 10 8
(1)根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
甲 10 次射箭得分情况
乙 10 次射箭得分情况
环数 6 7 8 9 10 频数 频率
环数 6 7 8 9 10 频数 频率
反思
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明 这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定； 反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动 越小，数据越稳定.
【例 3】 九(3)班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛， 在班里选取了若干名学生，分成人分别 绘制成如图 3-3-1 所示的统计图.
【解析】 －x 原＝160＋165＋1570＋163＋167＝165，S 原 2＝558，
－x 新＝160＋165＋170＋6 163＋167＋165＝165，S 新 2＝568，
∴平均数不变，方差变小.
【答案】 C
【例 2】 (2019·怀化)某射箭队准备从甲、乙两人中选拔 1 人参加射箭
比赛，在选拔赛中，两人各射箭 10 次的成绩(单位：环)如下：
解题指导
【例 1】 某科普小组有 5 名成员，身高分别为(单位： cm)：160，
165，170，163，167.增加 1 名身高为 165 cm 的成员后，现科
普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是
()
A. 平均数不变，方差不变
B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数不变，方差变小
D. 平均数变小，方差不变
重要提示
1.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来 比较两组数据的波动大小，方差较大的波动较大，方差较小的波 动较小.
2.方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单 位相同，不要漏写单位.
3.原数据 x1，x2，…，xn 的方差与新数据 x′1＝x1－a，x′2＝x2－a，…，
x′n＝xn－a 的方差相等，即 x′1，x′2，…，x′n 的方差 S′2＝n1[(x′1 －x′)2＋(x′2－x′)2＋…＋(x′n－x′)2]等于原数据 x1，x2，…，xn 的 方差 S2. 4.若数据 x1，x2，…xn 的方差为 S2，则数据 nx1，nx2，…，nxn 的 方差为 n2S2. 5.求一组数据方差的一般步骤： (1)求数据的平均数. (2)利用方差公式求方差.
图 3-3-1 根据统计图，回答下列问题： (1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整. (2)已知甲组成绩优秀人数的平均数－x 甲＝7，方差 S 甲 2＝1.5.请
通过计算说明：哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【解析】 (1)参加竞赛的总人数为(5＋6)÷55%＝20， ∴第三次成绩的优秀率是8＋205×100%＝65%，第四次乙组优秀的 人数是 85%×20－8＝9.补全条形统计图如解图中斜纹所示.
(2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数. (3)从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适.
【解析】 (1)第一个表中从左往右，从上至下依次填：1， 2，1，3，3，0.1，0.2，0.1，0.3，0.3；第二个表中从 左往右，从上到下依次填：0，0，6，3，1，0，0，0.6， (02.)3甲，射0.箭1.得分的平均数＝110(6＋14＋8＋27＋30)＝8.5； (乙3)射∵箭S 得甲 2分＝的110平[(均6－数8＝.51)120＋(428(＋7－278＋.51)02)＋＝(88.－5.8.5)2＋3(9－ 8.5)2＋3(10－8.5)2]＝1.85， S 乙 2＝110[6(8－8.5)2＋3(9－8.5)2＋(10－8.5)2]＝0.45. ∵S 甲 2＞ S 乙 2，∴应选派乙参加比赛合适.
(2)－x 乙＝6＋8＋4 5＋9＝7，
(例 3 解)
S 乙 2＝14[(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2]＝2.5， ∵S 甲 2＜S 乙 2，∴甲组成绩优秀的人数较稳定.
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