八年级数学竞赛题：函数的基本性质

八年级数学竞赛题：函数的基本性质
现实世界中的量与量之间常常存在着一定的联系，函数就是反映、刻画这种变量之间的对应关系的重要而有效的数学模型之一．函数概念的产生预示着数学进入了一个新阶段，即从研究常量数学转变为研究变量数学．
函数的基本知识主要是指：与平面直角坐标系相关的概念（如点的坐标、象限等）、函数的概念、表示函数的方法及函数图象的画法．
点的坐标是数形结合的桥梁，是解决函数问题的基础；探寻两个变量间的函数关系式是函数研究的重要课题，也是解函数问题的关键．
例1 （1）如果所在位置的坐标为（-1，-2），所在的位置的坐标为（2，-2），
那么，所在位置的坐标为____________．
（2）已知点P的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为____________．
例2 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动。

运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm）2关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）．
（图1）（图2）
①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2；
③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划
20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产韵车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式．
（2）如果装运每辆土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
例4 有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm ．如图①，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合．将直尺沿AB 方向平移，如图②，设平移的长为x cm （0≤x ≤10），直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积为S cm 2． ·
（1）当x =0时，S =__________；当x =10时，S= ______________．
（2）当0<x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式．
（3）当4<x <10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值．
例5 某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条
输入传送带进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带出库的货物流量如图（b ），而该日仓库中原有货物8t ，在0：00—5：00之间，仓库中货物存量变化情况如图（c ）．则在0：00—2：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4：00一5：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？
1．函数1
-=
x x y 的自变量x 的取值范围是_____________． 2．平面直角坐标系中的点)21,2(m m P -关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范围是_____________．
3．两个变量y 与x 之间的函数图象如图所示，则y 的取值范围是_____________．
4．如图，已知点A 、B 的坐标分别为（-2，0）和（2，0），月牙①绕点B 顺时针旋转到月牙②，则点A 的对应点A ′的坐标为_____________．
5．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）． 2-=⋅x y A 12-=⋅x y B
21
.-=x y C 121
-=⋅x y D
6．已知点P （x ，y ）在函数x x
y -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA －AB －BO 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）． ．
8．如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）．
9．宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品（书包和文具盒），由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒每个同学都只参加一件学习用品的购买），书包和文具盒的单价分别是54元和12元．
（1）若有x名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？
10．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图，若20分钟后只出水不进水，求这时（即x≥20时）y与x之间的函数关系．
11．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4，…依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是_______________．
12．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2， 1），
则△ABC的面积为____________平方单位．
13．如图，已知边长为1的正方形OABC 在平面直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标为____________．
14．若关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧=-=+93323my x y mx 的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数优的范围为（ ）． 91.>
m A 2.-<m B 912.<<-m C 921.<<-m D 15．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．给出以下三个判断：①0点到3点只进水，不出水；②3点到4点，不进水，只出水；③4点到6点不进水，不出水．则上述判断中一定正确的是（ ）．
A ．① 8．② C ．②③ D ．①②③
16．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ） （c ）、（d ）对应的图象排序：
（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A ．地的距离与时间的关系），其中正确的是（ ）
A ．（3）（4）（1）（2）
B ．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2）D．（3）（4）（2）（1）．
17．在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y 与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．
（1）s与t之间的函数关系式是：_________________；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是：_____________；P点出发_____________秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图像．
18．如图（单位：m），等腰三角形ABC以2m／s的速度沿直线1向正方形移动，直到AB 与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x=2，3.5时，y的值分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
19．阅读下列材料：
“父亲和儿子同时去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（单位：m）与时间x （单位：min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（单位：m）与时间x（单位：min）的函数图象．由图象可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练30min 后，他们同时回到家．”
根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或其他方法解答问题：
一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100km／h和20km／h．巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）．
（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？
（2）出发多长时间后巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？。