高中数学《比赛与闯关问题》专题复习

第89讲 比赛与闯关问题
一、基础知识： 1、常见的比赛规则
（1）n 局m 胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m 次胜利即终止比赛。

所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m 胜。

例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为2
3
，求甲以3:1获胜的概率：
解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而3
34
2132
3381
P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为如果前三局连
胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为
2:1，所以2
232122433381P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）连胜制：规定某方连胜m 场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m 场连胜且之前没有达到m 场连胜。

例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。

已知甲获胜的概率为
3
4
，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率 解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。

所以3
132744256P ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）比分差距制：规定某方比对方多m 分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m
（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。

此类问题要注意若达到第m 阶段，则意味着前()1m -个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧：
（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。

例如：i A 表示“第i 局比赛胜利”，则i A 表示“第i 局比赛失败”。

（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再
用()()
1P A P A =-解出所求事件概率。

在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题：
例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，2
5
，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手被淘汰的概率；
（2）记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。

但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解
设i A 为“选手正确回答第i 轮问题”，事件A 为“选手被淘汰”
()()
()123432101
111555125
P A P A P A A A ∴=-=-=-⋅⋅=
（2）思路：ξ可取的值为1,2,3，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以1ξ=时，则第一题答错；2ξ=时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；3ξ=时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可
解：ξ可取的值为1,2,3
()115P ξ==
()428
25525P ξ==⨯= ()4312
35525
P ξ==⨯=
ξ∴的分布列为
1235252525
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为5
1
，甲队获得第一名的概率为
61，乙队获得第一名的概率为15
1． （1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率21,P P ；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为X ，求X 的分布列及期望．
（1）思路：解决21,P P 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。

若甲队第一名，
则甲战胜乙且战胜丙，即121
6
PP =
；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即()1111515P -⋅=，两个方程即可解出1221
,34
P P ==
解：设事件A 为“甲队获第一名”，则()12
1
6P A PP == 设事件B 为“乙队获第一名”，则()()1
11
1515
P B P =-⋅= ∴解得：12
21
,34
P P == （2）思路：依题意可知X 可取的值为0,3,6，0X =即两战全负；3X =即一胜一负，要
分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；6X =即两战全胜；分别求出概率即可。

X 可取的值为0,3,6
()()()121
0114
P X P P ∴==--=
()()()1212731112
P X P P P P ==-+-= ()121
66
P X PP ===
X ∴的分布列为
03641264
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队
第5，6场获胜的概率均为
53，但由于体力原因，第7场获胜的概率为5
2． （1）求甲队分别以2:4，3:4获胜的概率；
（2）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．
（1）思路：前四场比赛甲乙比分为3:1，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得2:4，3:4，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。

所以若比分为2:4，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为3:4，则第5,6场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率
解：设事件i A 为“甲队在第i 场获胜”，则()()()56732
,55
P A P A P A ==
= 设事件A 为“甲队4：2获胜”，事件B 为“甲队4：3获胜”
()()
562365525P A P A A ∴==
⋅= ()()
5672228
555125
P B P A A A ==⋅⋅=
（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以X 可取的值为5,6,7，若5X =，则甲4:1获胜，即胜第五场；若6X =则甲4:2获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若7X =，则只需前六场打成3:3即可，所以只需乙连赢两场。

分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数X 可取的值为5,6,7
()()5355P X P A ∴=== ()()
566
625P X P A A ===
()()
56224
75525
P X P A A ===⋅=
X ∴的分布列为
5675252525
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是
3
1
，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。

棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。

设结束时对弈的总局数为X ． （1）设事件A ：“3X =且甲获得冠军”，求A 的概率； （2）求X 的分布列和数学期望。

（1）思路：事件A 代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。

按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解：设事件i A 为“甲在第i 局取胜”，事件j B 为“第j 局和棋”， 事件k C 为“乙在第k 局取胜”
()()()()()
123123123123P A P A A A P A A A P B B B P B B B ∴=+++
1212111212118
33333333333327
=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故X 可取的值为2,3,4；在这些值中2,4X X ==包含情况较少，2X =即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。

4X =即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率()33
111243339
P X A ==⋅⋅⋅=。

对于3X =的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用
()()124P X P X -=-=进行计算 X 可取的值为2,3,4
()()()()1212121111111
23333333
P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯=
()33111243339
P X A ==⋅⋅⋅=
()()()4
31249
P X P X P X ==-=-==
X ∴的分布列为
2343999
EX ∴=⨯+⨯+⨯=
小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可
例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一
次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是23，后两关每关通过的概率都是1
2
（1）求该人获得奖金的概率
（2）设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望
（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。

分别计算概率再相加即可
解：设事件i A 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”
()()()()
12345123445123455P A P A A A A A P A A A A A A P A A A A A A ∴=++
3
23
3
21211121114
323222322227
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）思路：依题意可知X 的取值为0,1,2,3,4,5，其中前三关失败即结束，所以0X =为第一关失利； 1X =为第一关通过且第二关失利；2X =为第二关通过且第三关失利；
3X =为第三关通过且第四关失利两次；4X =为第四关通过且第五关失利两次；5X =为
五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于4X =情况较为复杂，所以考虑利用
()()()()()101235P X P X P X P X P X -=+=+=+=+=⎡⎤⎣⎦进行处理
X 的取值为0,1,2,3,4,5
()()1103P X P A ∴=== ()()
122121339P X P A A ===⋅=
()()
1232214
233327
P X P A A A ===⋅⋅=
()()
32
1234421233227P X P A A A A A ⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()4
527
P X P A ===
()()()()()()2410123527
P X P X P X P X P X P X ∴==-=+=+=+=+==
⎡⎤⎣⎦ X ∴的分布列为：
01234539272727279
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
1
7。

现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。

若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。

每个球在每一次被取出的机会是等可能的。

用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． （1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ
（1）思路：可先设白球个数为n ，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示，进而得到关于n 的方程，解出3n =
解：设袋中原有白球的个数为n ，事件A 为“取出两个白球”
()22
27137
n n C P A C C ∴==⇒=可解得3n =
（2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。

所以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。

由（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对应的分数为4分，5分，6分，7分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分数为6分，5分，4分，3分。

所以甲乙分数差的绝对值ξ可取的值为0,2,4，再分别求出概率即可。

ξ可取的值为0,2,4
()31434712035C C P C ξ⋅=== ()4224434
719
235C C C P C ξ+⋅=== ()13434
74
435
C C P C ξ⋅=== 故ξ的分布列为：
1219454
2002435353535
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯=
小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算
（2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研究对象。

例7：某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为
3
4
，且相互间没有影响． （1）求选手甲进入复赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望．
（1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后立即终止比赛，所以要通过最后一次答题正确进入复赛。

答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答
题4次，则要在前3次答对2题，即2
23
3144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后第4题正确进入复赛；同理，答题5次时，要在前4次中答对2题，即2
2
24
3144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后第5题正确。

解：设事件A 为“甲进入复赛”
()3222
223433133134594444444512P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）思路：首先甲最少答3题，最多答5题，故X 可取的值为3,4,5，要注意答题结束分为进入复赛和淘汰两种情况。

当甲答3道题时，可能全对或全错；同理甲答4道题时，可能3对1错或是3错1对；当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答了5道题。

分别计算对应概率即可得到X 的分布列，从而计算出EX 解：X 可取的值为3,4,5
()33
31105
3446432
P X ⎛⎫⎛⎫==+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()22
223331313145
4444444128P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2
2
243127544128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
X ∴的分布列为
34532128128128
EX ∴=⨯
+⨯+⨯=
小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于
()
1n k
k k
k n P C p p -=-，是指在n 次独立重复试验中，没有其它要求，事件A 发生k 次的概
率。

其中k
n C 代表n 次中的任意k 次试验的结果是A 。

如果对k 次试验的结果有一定的要求，则不能使用公式。

例如本题在第（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前3次答题没有要求，所以在前3次试验中可使用公式计算，而第4次要单独列出。

若直
接用3
34
3144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3次正确的情况，那么按要求就不会进行第4题了。

例8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为3
1
，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和期望.
（1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜2场，所以可分2局，3局，4局三种情况，通过后两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列
解：设i A 为“甲在第i 局获胜”，事件A 为“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”
()()()()121231234P A P A A P A A A P A A A A ∴=++
22122212256
33333333381
=
⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=
（2）思路：首先依题意能确定X 可取的值为2,3,4,5，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。

在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论 解：X 可取的值为2,3,4,5
()()()
22
12122152339
P X P A A P A A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
22
123123122162
33333279
P X P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
22
1234123421212110
433333381
P X P A A A A P A A A A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()
1234123421211212853333333381
P X P A A A A P A A A A ==+=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= X ∴的分布列为：
5234599818181
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。

已知每次比赛甲获胜的概率为2
3
，乙获胜的概率为
1
3
，假定各次比赛相互独立，比赛经ξ次结束，求： （1）2ξ=的概率；
（2）随机变量ξ的分布列及数学期望。

（1）思路：2ξ=代表比赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算出概率
解：设事件i A 为“甲在第i 局获胜”
()()()22
12122152339P P A A P A A ξ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）思路：考虑ξ可取的值只能是2,4,6（因为奇数局不会产生多赢2分的情况），当4ξ=时，即甲乙比分为3:1或是1:3（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成1:1，然后一方连赢两局结束比赛。

计算出()()2,4P P ξξ==，即可求出()6P ξ= 解：ξ可取的值为2,4,6
()529
P ξ== ()()()()()
12341234123412344P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++ 222221221112212120=33333333333381
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()16612481
P P P ξξξ==-=-==
ξ∴的分布列为：
52469818181
E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 例10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为23，否则其获胜的概率为12
（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；
（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记ξ为比赛结束时甲的得分，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.
（1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。

若甲获得发球权，则获胜的概率为
121233⨯=，如果甲没有发球权，则获胜的概率为111224⨯=，所以甲获胜的概率为1173412
+= 解：设事件A 为“甲获得胜利”
()12117232212
P A ∴=⨯+⨯= （2）思路：本题要注意发球权的不同，所使用的概率也不一样，所以要确定每一局的胜负以决定下一局甲获胜的概率。

比赛实行三局两胜，所以甲可能的得分为4,2,0，若甲的得分为4分，则为连胜两局结束比赛或2:1赢得比赛，胜利的情况分为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三种情况，结合着发球规则可得：()11112121742222323212P ξ==⨯+⋅⋅+⋅⋅=，依次类推便可计算出其它情况的概率，进而得到分布列
解：ξ可取的值为4,2,0
4ξ=时，比赛的结果为：
“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲” ()11112121742222323212
P ξ∴==⨯+⋅⋅+⋅⋅= 2ξ=时，比赛的结果为：
“乙甲乙”，“甲乙乙” ()121111122322234
P ξ∴==⨯⨯+⋅⋅= 0ξ=时，比赛的结果为：
“乙乙” ()1110236
P ξ∴==⨯= ξ∴的分布列为：
()102464126
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=。