2008年江苏高考数学原创压轴题

2008年江苏高考数学原创压轴题
2010年将是不平静的一年，除了奥运会的举办等国际国内的大事以外，就数牵动千百万家庭的高考了，特别是江苏的高考，是进入新课程后的第一次高考，全新的课程标准、全新的教学方法、全新的高考模式、全新的录取形式，所以必然出现全新的高考命题模式.通过认真学习《高中数学课程标准》、《江苏省课程标准教学要求》等纲领性文件，反复研读了2005、2006、2007,2008.,2009五年高考江苏卷的试卷评析报告,下面给出几个原创题，供高三师生参考，权当抛砖引玉.
1.如果复数()
()2
1m i mi ++是实数，则实数m=____________________.
解： ()
()2
1m i mi ++展开后，“原始项”共四项，但是我们并 不关心实部项，虚部项为：21m mi i ⋅+⋅，
只需3
10m +=即可，所以1m =-.
【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解.过去复数在《选修Ⅱ》中，《选修Ⅰ》没有复数，所以，近几年江苏一直不讲复数，因此，复数成了新内容．
2.设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合{
}
2
|2[]3A x x x =-=，1|288x B x ⎧
⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B = _________________.
解：不等式
1
288
x <<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-. 若x A B ∈ ，则22[]3
33
x x x ⎧-=⎨-<<⎩，所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.
若[]2x ≤-，则2
32[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则2
1x =，解得1x =-； 若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则2
5x =，没有符合条件的解；
若[]2x =，则2
7x =，有一个符合条件的解x =
因此，{A B =- .
【命题意图】此题是一元二次方程根分布问题，涉及指数不等式的解法，函数与方程思想，分类讨论思想等.数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，才算真正学明白了数学.
3.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得
00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060，则塔高AB=
_____ .
解：由原解答得()
tan sin 30tan 60sin 30sin()sin 1530s AB θβαβ⋅===++
【命题意图】在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生
的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.
4.若关于,x y 的方程组22
1
10ax by x y +=⎧⎨+=⎩
有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 .
解：因为2
2
10x y +=的整数解为：()()()()()()()()1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1--------，
所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(),a b ，所以有序数对(),a b 的数目为32.
【命题意图】本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征.是较难问题.
5.若数列{a n }的通项公式a n ＝
2
1
(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，
(3)f 的值，推测出()f n ＝ ．
解：∵ ()()12
13
(1)21212
11f a ⎡⎤=-=⨯-=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，122314
(2)2(1)(1)1233
f a a ⎛⎫=⨯--=-= ⎪⎝⎭，()3415(3)(2)113164f f a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴归纳猜想得2
(1
)n f n n +=
+. 【命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用.此题涉及属探索性问题，考生可根据特殊情形归纳概括一般性结论.
6.已知三个正数,,a b c 满足a b c <<. (1)若,,a b c 是从12
9,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨
⎬⎩⎭
中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率； (2)若,,a b c 是从(0,1)中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.
分析:在(1)中,,a b c 的取值是有限可数的，可用列举法解决；(2)中,,a b c 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解.
解:(1)若,,a b c 能构成三角形，则4,10
a b c c +>≥. ①若410c =
时，32,1010
b a ==.共1种；
②若510c =
时.432,,101010b a ==.共2种； 同理6
10c =时，有3+1=4种；
7
10c =时，有4+2=6种；
8
10c =时，有5+3+1=9种；
9
10
c =时，有6+4+2=12种.
于是共有1+2+4+6+9+12=34种. 下面求从12
9,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
中任取的三个数,,a b c (a b c <<)的种数： ①若110a =
，210b =，则39,,1010c =⋅⋅⋅，有7种；349,,,101010b c ==⋅⋅⋅，有6种；410
b =，59,,1010
c =⋅⋅⋅，有5种；……； 89
,1010
b c ==，有1种.
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.
同理，210a =
时，有6+5+4+3+2+1=21种；310a =时，有5+4+3+2+1=15种；4
10
a =时，有4+3+2+1=10种；510a =时，有3+2+1=6种；610a =时，有2+1=3种；7
10
a =时，有1种.
这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种. ∴,,a b c 能构成三角形的概率为
3417
4824
=
. (2)a b c 、、能构成三角形的充要条件是0101a b c a b c c <<<<⎧⎪
+>⎨⎪<<⎩
.
在坐标系aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影
部分的面积与图中正方形的面积比即可.又12S =阴影
，于是所要求的概率为1
12.12
P == 【命题意图】统计、概率对于现代社会（经济发达）越来越显得重要，也是学生由确定性数学向不确定性（随机性）数学的一个转变，有着基本的重要性，考查是必然的．
7.请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图(1)i i x f x =-中的函数关系式为42
()1
x f x x -=
+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域，把此程序框图中所输出的数i x
组
成一个数列{}n x .
（理科考生请完成下列各题） （1） 若输入049
65
x =
，请写出数列{}n x 的所有项； （2） 若输出的无穷数列{}n x 是一个常数列，试求输入的初始值0x 的值；
（3） 若输入一个正数0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：*n N ∀∈，都有1n n x x +<，试求正数0
x 的取值范围.
（文科考生请完成下列各题）
（1） 若输入049
65
x =
，请写出输出的所有数i x ； （2） 若输出的所有数i x 都相等，试求输入的初始值0x 的值. 解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，， 所以输出的数列为
1111195
-，，…………………（3分） （2）数列{}n x 是一个常数列，则有120n x x x x ==⋅⋅⋅== 即000042
()1
x x f x x -==
-，解得：0012x x ==或 所以输入的初始值0x 为1或2时输出的为常数列. (3)由题意知 142
()1
n n n n n x x f x x x +-==
>+，因00x >，
0n x ∴>，有：
42
1
n n n x x x ->+得42(1)n n n x x x ->+
即2
320n n x x -+<，即(2)(1)0n n x x --<
要使*n N ∀∈，都有1n n a a +>，须00(2)(1)0x x --<，解得：012x <<， 所以当正数0x 在(1，2)内取值时，所输出的数列{}n x 对任意正整数n 满足1n n x x +< （文科）解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，所以
输出的数为
111
1195
-，，，要使输出的数i x 都相等，即11()i i i x f x x --==
(2)此时有 100()x f x x ==，即0042
1
x x -+=0x ，解得01x =或02x =，所以输入初始值01x =或02x =时，输出的数i x 均相等.
【命题意图】算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系，因此，算法与函数，数列等知识的融合，有利于培养学生理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材.
8.已知二次函数2
(),f x ax bx c =++直线2
1:8l y t t =-+（其中t 为常数）；2:2=x l .若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及1l ，y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）求a 、b 、c 的值
（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数()S t 的解析式；
（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
解：（I ）由图形知：2
20188080
416
4c a a b c b c ac b a
⎧⎪==-⎧⎪⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩,解之得：，
∴函数()f x 的解析式为x x x f 8)(2
+-= （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=x
x y t t y 882
2
得2
128(8)0,,8,x x t t x t x t ---=∴==-
∵0≤t ≤2，∴直线l 1与()f x 的图象的交点坐标为（)8,2
t t t +-
由定积分的几何意义知：
⎰⎰+--+-++--+-=10
2
222]8()8[()]8()8[()(t
dx t t x x dx x x t t t S
12
223222088(8)()()(8)32032t
x x x x t t x t t x ⎡⎤⎡⎤=-+--++-+--+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦34016103423+-+-=t t t
（Ⅲ）令.ln 68)()()(2
m x x x x f x g x ++-=-=ϕ
因为x ＞0，要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点，则函数
m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
262862(1)(3)
()28(0)x x x x x x x x x x
ϕ-+--'∴=-+==>
当x ∈（0，1）时，()0,()x x ϕϕ'>是增函数； 当x ∈（1，3）时，()0,()x x ϕϕ'<是减函数 当x ∈（3，+∞）时，()0,()x x ϕϕ'>是增函数 当x=1或x=3时，()0x ϕ'=
∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为 又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ 当+∞→+∞→)(x x ϕ时，
所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须(1)0(3)0
(3)0(1)0
ϕϕϕϕ==⎧⎧⎨
⎨'<>⎩⎩,或
即706ln 3150
6ln 315070m m m m -=+-=⎧⎧⎨
⎨+-<->⎩⎩
,或，
∴m=7或.3ln 615-=m
∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数()f x 与函数()g x 的图象有且只有两个不同交点.
【命题意图】对江苏来说，与以往不同的是，增加了正弦、余弦、指数、对数的导数，还有积的导数，商的导数．对理科另外还有求形如)(b ax f +的复合函数导数以及定积分．
高校教师熟悉微积分，历来是命题的热点（江苏2003年21题就很难），加上新增加许多函数的导数，2008年大题考导数，定积分的可能性极大．。