山东省青岛市2022届高三下学期高考一模考试 数学 试题(含答案)

2022年高三年级统一质量检测（青岛真一模）
数学试题
2022.3
一、单项选择题
1. 已知集合 {}2|230,{|ln(1)}A x x x B x y x =--≤==-, 则 A B ⋂=
A. ∅
B. [1,1)-
C. [1,3]
D. (1,3]
2. 已知复数 i 1i
z =- (其中 i 为虚数单位）, 则在复平面内 z 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知非零向量 ,a b , 则 “ ||||a b a b +=- ” 是 “ a b ⊥ ” 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线 22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的离心率为 则双曲线 C 的渐近线方程为
A. 12
y x =± B. 2y x =± C. y = D. 2y x =± 5. 已知函数 2,()2()(),()2
f x
g x f x f x -<-⎧=⎨≥-⎩, 若函数 ()22x f x =-, 则 ()2log 3g 的值为 A. 1-B. 2- C. 1D. 2
6. 已知 30,,cos 2sin 4
54ππααα⎛⎫⎛⎫∈=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则 sin 2α 的值为 A. 725B. 2425C. 725- D. 2425
- 7. 已知圆 22:4O x y +=, 点 (1,1)P , 圆 O 内过点 P 的最长弦为 AB , 最短弦为 CD , 则 ()AD CB CD +⋅ 的值为
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
8. 数列 1,1,2,3,5,8, 是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，称为 “斐波那契
数列”，
该数列从第三项开始, 每项等于前两个相邻项之和. 若该数列的前 2020 项的和为 T , 则它
的第 2022 项为
A. 2T -
B. 1T -
C. T
D. 1T +
二、多项选择题
9. 已知函数 ()f x 的导函数为 ()f x ', 若存在 0x 使得 ()()00f x f x '=, 则称 0x 是 ()f x 的一个 “新驻点”, 下列函数中, 具有 “新驻点” 的是
A. ()sin f x x =
B. 3()f x x =
C. ()ln f x x =
D. ()x f x xe =
10. 若正实数 ,a b 满足 4a b +=, 则下列结论正确的是 A. 111a b +≤ B. 22a b +≤
C. 228a b +≥
D. 22log log 2a b +≥
11. 已知奇函数 ()3sin()cos()(0,0)f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+><< 的周期为 π, 将函数 ()f x 的图象向右平移
6
π 个单位长度, 可得到函数 ()y g x = 的图象, 则下列结论正确的是 A. 函数 ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ B. 函数 ()g x 在区间 ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C. 函数 ()g x 的图象关于直线 12x π
=- 对称
D. 当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时, 函数 ()g x 的最大值是 3 12. 《九章算术»中, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑, 如图, 在鳖臑 P ABC - 中, PA ⊥ 平面 ,,2ABC AB BC AB ⊥=. 若鳖臑 P ABC - 外接球的体积为 323
π, 则当此鳖臑的体积最大时, 下列结论正确的是 A. 6PA BC ==
B. 鳖臑 P ABC - 体积的最大值为 6
C. 直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为
4
D. 鳖臑 P ABC - 内切球的半径为
3 三、填空题
13. 命题 “ 0,,sin 02x x π⎡⎤∀∈≥⎢⎥⎣⎦
” 的否定为 _____________. 14. 已知函数 ()f x 同时满足性质: (1) ()()f x f x -=, (2)当 (0,1)x ∈ 时, ()0f x '<, 写出 ()f x 一个解析式 _____________.
15. 五声音阶是中国古乐基本音阶, 故有成语 “五音不全”. 中国古乐中的五声音阶依次为： 宫、商、角、徵、羽, 把这五个音阶排成一列, 形成一个的音序, 若徵、羽两音阶相邻且 在宫音阶之后, 则可排成不同的音序的种数为 _____________. （用数字作答）.
16. 已知抛物线 2:2(0)C y px p =>, 过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点(点P 在 第一象限), ||3||PF FQ =,则直线l 的斜率为___ 若 ||1FQ =, 点A 为抛物线C 上的动点, 且点A 在直线l 的左上方, 则APQ ∆面积的最大值为 _____________. (本小题第一问 2 分, 第二问 3 分)
四、解答题
17. (10 分)
已知数列 {}n a 的前 n 项和为 n S , 且满足___.从①{}n a 是递增的等比数列, 327,2S a ==; ②21n n S =-; ③21n n S a =- 三个条件中任选一个, 补充在横线上, 并解答下列问题.
(1) 求数列 {}n a 的通项公式;
(2) 若 ()
2*log ,2N ,21n n n a n k b k a n k =⎧=∈⎨=-⎩, 求数列 {}n b 的前 2n 项的和. 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
18.(12 分)
如图, 在四边形 ABCD 中, BCD ∆ 为锐角三角形, 224,sin 3CD DBC =∠=
, 3cos 3BDC ∠=
. (1) 求 BC ;
(2) 若 ,3
m AB m AC BC ==+, 是否存在正整数 m , 使得 ABC ∆ 为钝角三角形?若存在, 求出 m 的值; 若不存在, 说明理由.
19. (12 分)
如图, 在四棱锥P ABCD - 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 2PA PD AB BD ====, PA PD ⊥, 平面 PAD ⊥ 平面 ,ABCD E 是 BC 的中点.
(1) 证明: AP⊥平面PDE;
(2) 若
1
3
PQ PC
=, 求平面PDE与平面QDE夹角的余弦值.
20. (12 分)
2022 年北京冬奧会圆满落幕, 我国运动健儿获得9 金4 银2 铜共15 枚奖牌的骄人战绩。

（1）为了解某地观众对2022 年北京冬奥会系列体育节目的收看情况，随机抽取了100 名观众
进行调查, 得到如下数据:
依据0.05
α=的独立性检验, 能否认为日均收看时间与性别有关联?
(2) 为普及冰雪运动知识, 某班组织冬奧知识比赛, 两名同学作为一组进行抢答比赛, 有 2 道抢答题目, 抢到题目且回答正确者得 3 分, 没抢到者得0 分; 抢到题目且回答错误者得0 分, 没抢到者得 3 分. 已知甲、乙两位同学在同一组比赛, 每人抢
到每道题的机会相等, 且每道题必被一位同学抢到. 若甲答对每道题目的概率为3 5 ,
乙答对每道题目的概率为4
5
, 且两人回答各道题目是否正确相互独立. 记X为甲
同学的累计得分, 求X的分布列和数学期望.
附:
2
2
()
,
()()()()
n ad bc
n a b c d
a b c d a c b d
χ
-
==+++ ++++
.
21. (12 分)
已知椭圆 2
21:12
x C y += 的左, 右顶点分别为 12,A A , 点 P 在椭圆 1C 上, 直线 12,A P A P 的斜率分别为 01,k k .
(1) 证明: 0112
k k =-; (2) 直线 1A P 交双曲线 222:1C x y -= 于 ,S T 两点, 点 Q 为线段 ST 中点, 直
线 2A P 与直线 3x = 交于 W , 直线 WQ 的斜率为 2k , 证明：存在常数 λ, 使得 12k k λ=.
22. (12 分)
已知函数 ()ln a f x x b x
=++. (1) 求函数 ()f x 的极值;
(2) 若函数 ()f x 的最小值为 ()12120,,x x x x < 为函数 1()()2
g x f x =- 的两个零点, 证明: 21ln 2x e e x ->;
(3) 证明: 对于任 *111N ,ln 2122n n n n
∈+++<++.。