复变函数课件-2[1].1_解析函数的概念与柯西——黎曼条件

= =
∂v ∂y ∂v ∂y
+ i ∂v ∂x − i ∂u ∂y
反例：u(x,y)、v(x,y)如下：
x2xyy 2 u ( x, y ) = v ( x, y ) = + 0
C − R方程：
∂u ∂x ∂v = ∂y = 0 ∂u ∂y
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y 2 = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = = = = 0， ∂x ∂y ∂x ∂y 由数学分析的结论知， u、v均为常数，从而f ( z )在D内为常数；
(2)、因为u = 常数，所以 ∂u = ∂u ，由C − R ∂x ∂y 方程知：
∂u ∂u ∂v ∂v = = = = 0， ∂x ∂y ∂x ∂y
由数学分析的结论知， u、v均为常数，从而f ( z )在D内为常数；
h' ( z ) = [ g ( f ( z ))]' = g ' ( f ( z )) f ' ( z )
反函数求导法则
设函数ξ = f ( z )在区域D内解析， 且f ' ( z ) ≠ 0，又反函数
z = f ( w) = ϕ ( w)存在且为连续，
−1
则有：
1 1 ϕ ' ( z) = = f ' ( z ) z =ϕ ( w) f ' (ϕ ( w))
当(u 2 + v 2 ) ≠ 0时，u = v = 0，故f ( z ) = 0， 结论成立。
本节结束
谢谢！
复变函数的解析条件
定理3.2 函数f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )区域D内 解充要条件是
1、实部u ( x, y )和虚部v( x, y )在区域D内 处处可微， 2、u ( x, y )和v( x, y )满足柯西 - 黎曼方
程（简称C − R方程）：
∂u ∂x ∂v = ∂y ∂u ∂y
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 与C-R 条件 第二节 初等解析函数 第三节 初等多值函数
Department of Mathematics
第二章 解析函数
第一节、 第一节、解析函数的概念与 柯西—黎曼条件
导数与微分、 1、导数与微分、 2、解析函数极其简单性质 柯西3、柯西-黎曼条件
Department of Mathematics
1、导数与微分 、
设函数w = f ( z )在点z0的某邻域内有定义 的单值函数，z0 + ∆z是邻域内任意一点，对于
∆w = f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 )，如果极限 f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z 存在（为有限的复数） A，
由C − R方程可得 : ' ' ∆w = ∆u + i∆v = [u x ( x, y ) + iv x ( x, y )](∆x + i∆y ) + o(| ∆z |)； 所以 lim ∆w = u ' ( x, y ) + iv ' ( x, y ) = a + ib
∆z →0 ∆z x x
即f ( z )在z = x + iy处可导。
解析函数的概念与求导法则
如果f ( z )在z0 及z0的邻域内处处可导，则 称f ( z )在处解析；
如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z ) 在D内解析，我们也说是D内解析函数；
如果f ( z )在区域G内处处解析，而闭区域 D 上每一点都属于G , 那么称f ( z )在闭区域 D内 解析.
其中f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆u + i∆v，∆z = ∆x + i∆y。按 实部和虚部整理得： u ( x + ∆x, y + ∆y ) − u ( x, y ) = a∆x − b∆y + o(| ∆z |)；
u ( x + ∆x, y + ∆y ) − u ( x, y ) = a∆x − b∆y + o(| ∆z |)； 因此，u ( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微，并有C − R方 程成立： ∂u ∂v ∂u ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x
解：（1）因为u = x，v = 0，且
∂u ∂x
= 1,
∂u ∂y
=0
∂v ∂x
=0
∂v ∂y
=0
所以C − R方程在整个复平面不成 立， 所以w = Re z在整个复平面内处处不 可 导, 从而不解析.
(2)、w =| z | = x + y ，所以u = x + y ，v = 0, 且
2 2 2 2 2
四则运算法则
如果f ( z )和g ( z )在区域D上解析, 则
f f ( z ) ± g ( z )、f ( z ) g ( z )、 ( z ) 域D 域D上解析，并且有 g ( z) ( g ( z ) ≠ 0)在区
( f ( z ) ± g ( z ))' = f ' ( z ) ± g ' ( z ) [ f ( z ) g ( z )]' = f ' ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ' ( z )
例
如果f ( z )在区域D 内解析，而且满足
下列条件之一，则f ( z )在内D为常数：
(1)、f ' ( z ) = 0；(2)、 f ( z ) = 常数； Re （3）、 f ( z ) | 为常数 |
∂v 证明：)、由f ' ( z ) = ∂u + i ∂v = ∂u − i ∂y = 0得， (1 ∂x ∂x ∂y
四个偏导数存在且连续，并且C − R方程 成立：
∂u ∂x
=
∂v ∂y
∂u ∂y
=−
∂v ∂x
则f ( z )在D内解析。
例1 讨论下列函数的可导性和解析性：
（ ） = Re z; (2).w =| z | ; 1 .w
2
(3). f ( z ) = e x (cos y + i sin y ).
∂u ∂x ∂v ∂x
= e cosy,
x
∂u ∂y ∂v ∂y
= e siny,
x
= e siny,
x
= e cosy,
x
四个偏导数连续，并且C - R方程成立，所以f ( z ) 在整个复平面内解析；
事实上， ∂u ∂v f ' ( z) = + i = e x (cos y + i sin y ) = f ( z ). ∂x ∂x
注解： 注解：
注解1、“可微”有时也可以称为“单演” ，而“解析”有时也称为“单值解析”、“ 全纯”、“正则”等； 注解2、一个函数在一个点可导，显然它在 这个点连续； 注解2、解析性与可导性的关系：在一个点 的可导性为一个局部概念，而解析性是一个 整体概念；
注解：
注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的 某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之， 在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个 区域的一个更大的区域上解析； 注解5、解析性区域；
处可微，
2、u ( x, y )和v( x, y )满足柯西 - 黎曼方 程（简称C − R方程）：
∂u ∂x
=
∂v ∂y
∂u ∂y
=−
∂v ∂x
定理3.1的证明（必要性）：
设f ( z )在z = x + iy处可导，把记为f ' ( z ) = a + ib，则由 导数的定义，可得：
f ( z + ∆z ) − f ( z ) = (a + ib)∆z + o(| ∆z |) = (a + ib)(∆x + i∆y ) + o(| ∆z |)
∂u ∂x
= 2 x,
∂u ∂y
= 2y
∂v ∂x
=0
∂v ∂y
=0
只有在点(0,0)处 − R方程成立，所以 f ( z )在 z = 0可导，f ' ( z ) = 0；z ≠ 0，f ( z )不可导。 因此，在整个复平面上 ，f ( z )不解析。
(3).因为f ( z ) = e x (cos y + i sin y )，所以u = e x cos y， v = e x sin y, 且
(3)、因为 | f ( z ) | = 常数，分别对x、y求
2
导数得：
∂v u ∂u + v ∂v = 0，u ∂u + v ∂y = 0， ∂x ∂x ∂y
因为f ( z )解析，所以由C − R方程得： u ∂u − v ∂u = 0，v ∂u + u ∂u = 0， ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂u 2 2 ∂u 所以(u + v ) ∂x = 0， + v ) ∂y = 0。 (u
[ ]' =
f (z) g(z)
f '( z ) g ( z ) − f ( z ) g '( z ) [ g ( z )] 2
复合函数求导法则
设函数ξ = f ( z )在区域D内解析，函数 w = g (ξ )在区域G内解析，又f ( D) ⊂ G，
则复合函数w = g ( f ( z )) = h( z )在内解析， 并且有：
令f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )，则在点z = 0满足
= − ∂v = 0 ∂x
但u ( x, y )、v( x, y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z = 0不连续, 从而不可导.
推论：设函数f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )区域D内 有定义， 如果f ( z )在D内u ( x, y )和v( x, y )的
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) f ' ( z 0 ) = lim ， ∆z → 0 ∆z
导数的分析定义： 导数的分析定义：
对任意的ε > 0，可以找到一个整数δ = δ (ε ), 使得当z ∈ D，并且当0 <| z − z0 |< δ时，有
f ( z ) − f ( z0 ) | − A |< ε , z − z0
=
=−
定理3.1的证明（充分性）：
设u ( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微，并有C − R方 程成立，则有 ' ∆u = u x ( x, y )∆x + u 'y ( x, y )∆y + o(| ∆z |)；
' ∆v = v x ( x, y )∆x + v 'y ( x, y )∆y + o(| ∆z |)；
= − ∂v ∂x
注解:
和数学分析中的结论不同，此定理表明解析 函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立 的，它们是柯西-黎曼方程的一组解； 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而 非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式：
f ' ( z) = =
∂u ∂x ∂u ∂x
+ i ∂v ∂x − i ∂u ∂y
则称函数 f ( z )在 z 0处可导， A称为函数 f ( z ) dw 的导数，记为 f ' ( z 0 )，或 ,即 dz z = z0
或: ∆w = f ' ( z 0 ) ∆z + o (| ∆z |) ( ∆z → 0)
也称 df ( z 0 ) = f ' ( z 0 ) ∆z或f ' ( z 0 ) dz为 函数 f ( z )在z 0处的微分，也称函数 在z 0处可微。
注解：
利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以 及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论 基本相同。
2、Cauchy-Riemann条件：
定理3.1 设函数f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y )在区域D 内确定，那么f ( z )在点z = x + iy ∈ D可导的充要 条件是 1、实部u ( x, y )和虚部v( x, y )在点( x, y )