中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形的初步认识与三角形、四边形 第六节 矩形、菱形

第六节矩形、菱形、正方形
,贵阳五年中考命题规律)
年份题型题号考查点考查内容分值总分2016
解答18 正方形的性
质
以正方形为
背景考查全
等三角形的
判定，直角
三角形的判
定
10
解答22 菱形的性质在直角坐标
系中，以菱
形为背景考
查反比例函
数、一次函
数的有关知
识
10 20
2015解答18 菱形菱形的性质
与判定
10 10
2014解答18 菱形菱形的性质
与判定
10 10
2013解答20 菱形利用菱形的
性质：(1)
证线段相
等；(2)探
索点的位置
10 10
2012解答21 正方形利用正方形
的性质：
(1)证线段
相等；(2)
求正方形的
周长
10 10
命题规律纵观贵阳市5年中考，特殊的平行四边形内容是必考内容，并且基本固定在18题位置，分值为10分，考查内容为特殊平行四边形的性质与判定．
命题预测
预计2017年中考，特殊的平行四边形内容仍
为重点考查内容，且以解答题形式出现，平时训练要加大对性质与判定的训练力
度.
,贵阳五年中考真题及模拟)
菱形的性质与判定(4次)
1．(2016贵阳22题10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴上，反比例函数y ＝x k
(x ＞0)的图象经过菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F ，点A 的坐标为(4，2)．
(1)求反比例函数的表达式； (2)求点F 的坐标．
解：(1)∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A ，A 点的坐标为(4，2)，∴2＝4k
，∴k＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝x 8
；(2)过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，由题意可知，CN ＝2AM ＝4，ON ＝2OM ＝8，∴点
C 的坐标为C(8，4)，设OB ＝x ，则BC ＝x ，BN ＝8－x ，在Rt △CNB 中，x 2－(8－x)2＝42
，解得x ＝5，∴点B 的坐
标为B(5，0)，设直线BC 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b ，直线BC 过点B(5，0)，C(8，4)，∴8k1＋b ＝4，5k1＋b ＝0，解得：，
20
∴直线BC 的表达式为y ＝34x －320，根据题意得方程组，8解此方程组得：，4y2＝－8，x2＝－1，
∵点F 在第一象限，∴点F
的坐标为F(6，34
)．
2．(2015贵阳18题10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，且AE ∥CD ，CE ∥AB. (1)证明：四边形ADCE 是菱形；
(2)若∠B ＝60°，BC ＝6，求菱形ADCE 的高．(计算结果保留根号)
解：(1)∵AE ∥CD ，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD＝BD ＝AD ，∴平行四边形ADCE 是菱形；(2)如图，过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，则DF 即为菱形ADCE 的高，∵∠B＝60°，CD ＝BD ，∴△BCD 是等边三角形．∵CE ∥AB ，∴∠BCE＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD ＝BC ＝6，∴在Rt △CDF 中，DF ＝3.
3．(2014贵阳18题10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF.
(1)求证：四边形ADCF 是菱形；
(2)若BC ＝8，AC ＝6，求四边形ABCF 的周长．
解：(1)∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE.∴AE ＝CE ，DE ＝FE ，∴四边形ADCF 为平行四边形．∵点D ，E 是AB 与AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，∵∠ACB＝90°即BC ⊥AC ，∴DF⊥AC，∴平行四边形ADCF 为菱形；(2)∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB＝10.∵点D 是AB 边上的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF 为菱形，∴AF＝FC ＝AD ＝5，∴C 四边形ABCF ＝8＋10＋5＋5＝28.
4．(2013贵阳20题10分)已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC.
(1)求证：AE ＝EC ；
(2)当∠ABC ＝60°，∠CEF ＝60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．
解：(1)连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∴AE＝EC ；(2)点F 是线段BC 的中点，理由如
下：易得△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC ，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝21
∠BAC＝30°，∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于点F ，∴AF 是△ABC 边BC 上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．
正方形的性质(2次)
5．(2016贵阳模拟卷②15题)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积
从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，……，S n ，则S n 的值为__24n －5
__．(用含n 的代数式表示，n 为正整数)
6．(2012贵阳21题10分)如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上． (1)求证：CE ＝CF ；
(2)若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长．
解：(1)易证△ABE ≌△ADF ，∴BE＝DF ，又BC ＝DC ，∴BC－BE ＝DC －DF ，∴CE＝CF ；(2)连接AC ，交EF 于G
点，易得AC ⊥EF ，EC ＝，设BE ＝x ，则AB ＝x ＋，在Rt △ABE 中，(x ＋)2＋x 2
＝4，∴x＝26，∴AB＝26＋＝26，∴正方形的周长为2＋2.
7．(2015贵阳适应性考试)如图，E ，F 是菱形ABCD 对角线AC 上的两点，且AE ＝CF. (1)求证：四边形BEDF 是菱形；
(2)若∠DAB ＝60°，AD ＝6，AE ＝DE ，求菱形BEDF 的周长．
解：(1)∵菱形ABCD ，∴AB＝AD ，对角线AC 平分∠BAD ，∴∠BAE＝∠DAE ，又∵AE ＝AE ，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝ED.连接BD 交AC 于点O ，则OD ＝OB ，OA ＝OC ，∵AE＝CF ，∴OA－AE ＝OC －CF ，∴OE＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴▱BEDF 为菱形；(2)在菱形ABCD 中，连接BD 交于AC 于O 点，∴DB⊥AC，又∵∠DAB＝60°，
∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴在Rt △ADO 中，DO ＝21
AD ＝3，∵AE＝ED ，∴∠DAE＝∠ADE ，∠ADE＝∠EDO ＝30°，在Rt △DEO 中，可求得DE ＝2，∴菱形BEDF 的周长为8.
,中考考点清单)
矩形的性质与判定
1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)． 2文字描述 字母表示[参考图(1)] (1)对边平行且相等 AD 綊BC ，AB 綊CD (2)四个内角都是直角 __∠DAB__＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° (3)两条对角线相等且互相平分 AC ＝__BD__，OA ＝OC ＝OB ＝OD (4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
3.文字描述 字母表示[参考图(1)]
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
若四边形ABCD 是平行四边形，且∠BAD ＝
90°，则四边形ABCD 是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
若∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°，则四边形
ABCD 是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形
若AC ＝__BD__，且四边形ABCD 是平行四边
形，则四边形ABCD 是矩形 菱形的性质与判定(高频考点)
4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2)
5文字描述
字母表示[参考图(2)] (1)菱形的四条边都相等
AB ＝__BC__＝CD ＝DA (2)对角相等 ∠DAB ＝∠DCB ，
∠ADC ＝__∠ABC__
(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平
分一组对角
__AC__⊥BD ，∠DAC ＝∠CAB ＝∠DCA ＝∠ACB ，∠ADB ＝∠BDC ＝∠ABD ＝∠DBC
(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
6文字描述
字母表示[参考图(2)]
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 若四边形ABCD 是平行四边形，且AD ＝AB ，
则四边形ABCD 是菱形
(2)四条边相等的四边形是菱形
若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 是菱形 (3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱
形
若AC ⊥BD ，且四边形ABCD 是平行四边形，
则四边形ABCD 是菱形
正方形的性质与判定
7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)
8
文字描述字母表示[参考图(3)]
(1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA
(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°
(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，OA＝OC＝OD＝OB
(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称
图形
文字描述字母表示[参考图(3)]
(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形
(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形若∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，则四
边形ABCD是正方形
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边
形ABCD是正方形
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是
正方形若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD 平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形
,中考重难点突破)
矩形的有关计算
【例1】(2016天津中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′，DC相交于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．∠DAB′＝∠CAB′
B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE
D．AE＝CE
【解析】由折叠的性质得：∠CAB′＝∠CAB.又∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB＝∠CAB′，∴AE＝CE.
【学生解答】D
1．(2016海南中考)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )
A．30°B．45°C．60°D．75°
,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．(2016南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展开纸片后∠DAG的大小为( C )
A．30°B．45°C．60°D．75°
3．(2016巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.
菱形的性质与判定
【例2】(2016南充中考)如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是________cm.
【解析】菱形的四边形相等，故AB＝8÷4＝2(cm)．
【学生解答】2
4．(2016无锡中考)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直
5．(2016雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )
A．52 cm B．40 cm
C．39 cm D．26 cm
6．(2016遵义中考)在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( C )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
7．(2016苏州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠A OB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE ＝5＋5＋8＝18.
正方形的性质与判定
【例3】(2016广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的
周长为( )
A .
B ．2
C .＋1
D ．2＋1
【解析】由题意可知，正方形ABCD 的边长为1，则CE ＝ CF ＝21.由勾股定理，得EF ＝＝）21＝22
，故正方形EFGH 的周长为2.
【学生解答】B
8．(2016益阳中考)下列判断错误的是( D ) A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B ．四个内角都相等的四边形是矩形 C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
9．(2016陕西中考)如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M ，N 是AD 上的两点，连接MO ，NO ，并分别延长交边BC 于M′，N ′两点，则图中全等三角形共有( C )
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
,(第9题图)) ,(第10题图))
10．(2016西宁中考)如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°.将
△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE ＝1，则FM 的长为__25
__．。