高三数学启东中学周周练十一

启东中高三数学三周周练十一
一．填空
1. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 答案：)1,0(-
2. 若命题“∃x ∈R ，x 2+a x+1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是 . 答案：)2,(--∞ ∪),2(∞+ .
3. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 2
6－m ＝1表示椭圆的_____________条件.
答案：必要不充分
4. 已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f = . 【答案】-4
5. 若直线0=++m y x 与圆m y x =+2
2相切，则m 为 。

答案：2
6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x +y -c =0过点M （1，0），且与圆225x y +=自左向右交于A ，B 两点，则AM
MB
= 。

答案：2
7. 已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤，若p 是q 的充分不必要条件，
则m 的取值范围是 . 【答案】(][),44,-∞-⋃+∞
8. 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ． 答案：7
9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM
uuur
＝OA uu r ＋OB uu u r
(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.
答案：0
10. 若椭圆22221+=x y a b 的焦点在x 轴上，过点1
(1,)2作圆221+=x y 的切线，切点分别为A ，B ，
直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
答案：22
154
+=x y
11. 已知a 为常数，若曲线y ＝2ax ＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是_______．
答案：⎣⎡⎭
⎫－12，＋∞ 12. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，
则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 答案：15
13. 已知椭圆2
2
21(01)+=<<y x b b
的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过
F 、B 、C 作⊙P ，若点P 在直线=-y x 上方，则椭圆离心率的取值范围是 ．
答案：0<<
e 14. 已知函数)(x
f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若()ln f x x m x =+-的保值区间是[,)e +∞，则m 的值为 .
【答案】1 二．解答
15. 已知命题p ：()()150x x +-≤，命题q ：11m x m -≤≤+(0m >)． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围. 解析：p ：15x -≤≤，
⑴∵p 是q 的充分条件，∴[]1,5-是[]1,1m m -+的子集． ∴0,1115m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩
，得4m ≥， ∴实数m 的取值范围为[)4,+∞． ⑵当5m =时，q ：46x -≤≤
依题意，p 与q 一真一假， p 真q 假时，由15
46x x x -≤≤⎧⎨<->⎩
或，得x ∈Φ．
p 假q 真时，由15
46x x x <->⎧⎨
-≤≤⎩
或，得416x x -≤<-≤或5<．
∴实数m 的取值范围为[)(]4,15,6--．
16. 设f (x )＝x 3－1
2
x 2－2x ＋5.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )－m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－x －2，由f ′(x )＞0得3x 2－x －2＞0，
即x ＜－23或x ＞1.由f ′(x )＜0得3x 2－x －2＜0，即－2
3＜x ＜1，
∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)，函数f (x )的单调递减区间为(－2
3，1)．
(2)f (x )＜m 恒成立，∴m 大于f (x )的最大值．当x ∈[－1,2]时， ①x ∈⎣⎡⎦⎤－1，－2
3时，f (x )是增函数， ∴f (x )max ＝f (－23)＝15727
；
②x ∈⎣⎡⎦⎤－2
3，1时，f (x )是减函数， ∴f (x )max ＝f (－23)＝15727
；
③x ∈[1,2]时，f (x )是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝7. ∵7＞157
27，从而m ＞7.
17. 已知椭圆22
221(0)+=>>x y a b a b
左右两焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，212⊥PF F F ，设
12sin =∠PF F λ，若11,32⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦λ．
（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；
（2）当e 取得最小值时，过12,F F ,P 的圆的直径长为4，求该圆方程．
解析：（1）由212⊥PF F F ，得22=b PF a
，从而2
12=-b PF a a -----2分
在直角三角形12PF F 中，2121
sin ∠==PF
PF F PF λ
即2
2
2
2-=a b b λλ，∴2222
22222
121--===
-++b a c e a b a c e λ， ------ 4分
∵22111,132-⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦e e λ≤e ------6分
（2）当e 时，得222=b c ，
∵212⊥PF F F ，∴所求的圆是以1PF 为直径，∴1PF =4 -------8分
又222
122224=-=-==b c b PF a a a a a
，∴22=b a
∴2=c a ，∴22+=a a a ，∴a=3
，c ----------12分
由a =3
，得=b ，由2
2=b PF a
，得22=PF ，
从而圆心为（0,±1） --------14分 所求的圆方程为22(1)4+±=x y
18. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，点P 在棱
1CC 上，且CP CC 21=。

(1) 求直线AP 与平面11B BCC 所成角的余弦值；
(2)D AD P --1求二面角的平面角的余弦值；(3) 求点O 到平面P AD 1的距离。

解:(1)建立如图所示空间直角坐标系，--------------------------------------------------1分
则)1,2,0(),0,0,2(P A ,)1,2,2(-=∴→
AP ,而平面11B BCC 的一个法向量是)0,2,0(=→
DC ,又设 直线AP 与平面11B BCC 所成角为θ------------------------------------------------------3分
3
5
cos ,32sin =
∴=∙=
∴→
→
→
θθDC
AP DC AP ,即直线AP 与平面11B BCC 所成角的余弦值 为
3
5
-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 1
1.)2,0,2(),1,2,2(-=-=→→AD AP ,设),,(z y x n =→
是平面P AD 1的一个法向量，
⎩⎨
⎧=+-=+-∴0
22022z x y x ，令,1=x )1,21
,1(,21,1=∴==→n y z 则 ，------------------------8分 设D AD P --1二面角的平面角是α，则3
1
cos =
∙=
→
→
→
→
n
DC n DC α--------------------11分 （3）)0,1,1(1=→
O D ,∴点O 到平面P AD 1的距离11=∙=
→
→
→
n
n
O D d ----------------15分
19.已知()ln f x x x =，2
()3g x x mx =-+-． （1）求()f x 在[],2(0)t t t +>上的最小值；
（2）若对一切()0,x ∈+∞，2()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）()ln 1f x x '=+，令1
()0f x x e
'==，得．
当10,,()0,()x f x f x e ⎛⎫
'∈< ⎪⎝⎭
单调递减；
当1,,()0,()x f x f x e ⎛⎫
'∈+∞> ⎪⎝⎭
单调递增．
1
0,22t t e
>+>>因为，
（1）当min 1110()t f x f e e e ⎛⎫
<<==- ⎪⎝⎭
时，；
（2）当min 1
()()ln .t f x f t t t e
==≥时，
所以min
1
1,0,()1ln ,.
t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩
≥
（2）由22ln 3x x x mx -+-≥得3
2ln m x x x
++≤. 设3
()2ln (0)h x x x x x =++
>，则2
(3)(1)()x x h x x
+-'=. 令()0h x '=，得1x =或3x =-（舍），当(0,1)x ∈时，()0h x '<，h (x )单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，h (x )单调递增，所以min ()(1) 4.h x h == 所以min () 4.m h x =≤
20. 已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2
2221(0)y x a b a b
+=>>的一条准线方程4x =，直线BC 过原点O 交椭圆于B 、C 两点，B 在x 轴上方，直线AC 与AB 分别交直线l ：1x a =--于点E 、F .其中A 为左顶点
（1
）若点(B ，求直线AB 的方程；
（2）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为1k 、2k .
①求证：12K K 为定值； ②求AEF S V 的最小值.
解析：（1）由题意得222a =4
c
231
a
b ⎧⎪⎨⎪+=⎩，
解得2a b c ===， ------- 3分
所以，((A B -
:AB L y x ∴+
即:AB L y =
+ ------- 5分 （2）①证明：设00( )B x y ，，则00()C x y --，，且22
00221x y a b
+=，
而()
2
2
0222
000122222200001x b y y y b a k k x a x a x a x a a
--⋅=⋅===------
由（1）得222a b =，
所以1212k k ⋅=-； ------- 10分 ② 易得直线AB 的方程为1()y k x a =+， 直线AC 的方程为2()y k x a =+， 令1x a =--得，1E y k =-，2F y k =-， 则△AEF 的面积2111122AEF S EF k k ∆=⨯⨯=-，
因为点B 在x 轴上方，所以120 0k k ><，
， 由1212k k ⋅=-
得2111()22AEF S k k ∆=-⨯=≥21k k =-时等号成立）
所以，AEF
S
≥
.
高二数学周周练十一
一．填空
1. 抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是
2. 若命题“∃x ∈R ，x 2+a x+1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是 .
3. 2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 2
6－m ＝1表示椭圆的_____________条件.
4. 已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f = .
5. 若直线0=++m y x 与圆m y x =+2
2相切，则m 为
6. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x +y -c =0过点M （1，0），且与圆225x y +=自左向右交于A ，B 两点，则
AM
MB
= 。

7. 已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤，若p 是q 的充分不必要条件，
则m 的取值范围是 .
8. 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ．
9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM
uuur
＝OA uu r ＋OB uu u r
(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.
10. 若椭圆22221+=x y a b 的焦点在x 轴上，过点1
(1,)2作圆221+=x y 的切线，切点分别为A ，B ，
直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
11. 已知a 为常数，若曲线y ＝2ax ＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是_______．
12. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，
则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．
13. 已知椭圆2
2
21(01)+=<<y x b b
的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过
F 、B 、C 作⊙P ，若点P 在直线=-y x 上方，则椭圆离心率的取值范围是 ．
14. 已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若
()ln f x x m x =+-的保值区间是[,)e +∞，则m 的值为 .
二．解答
15. 已知命题p ：()()150x x +-≤，命题q ：11m x m -≤≤+(0m >)． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围.
16. 设f (x )＝x 3－1
2
x 2－2x ＋5.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )－m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．
17. 已知椭圆22
221(0)+=>>x y a b a b
左右两焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，212⊥PF F F ，设
12sin =∠PF F λ，若11,32⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦λ．
（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；
（2）当e 取得最小值时，过12,F F ,P 的圆的直径长为4，求该圆方程．
18. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，点P 在棱
1CC 上，且CP CC 21=。

(1) 求直线AP 与平面11B BCC 所成角的余弦值；
(2)D AD P --1求二面角的平面角的余弦值；(3) 求点O 到平面P AD 1的距离。

1
19.已知()ln f x x x =，2
()3g x x mx =-+-． （1）求()f x 在[],2(0)t t t +>上的最小值；
（2）若对一切()0,x ∈+∞，2()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．
20. 已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2
2221(0)y
x a b a b
+=>>的一条准线方程4x =，直线
BC 过原点O 交椭圆于B 、C 两点，B 在x 轴上方，直线AC 与AB 分别交直线l ：1x a =--于点E 、F .其中A 为左顶点
（1
）若点(B ，求直线AB 的方程；
（2）若点B 为动点，设直线AB 与AC 的斜率分别为1k 、2k .
①求证：12K K 为定值； ②求AEF S V 的最小值.。