2019-2020学年北京十一中高一(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年北京十一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）.
1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（）A．1，2B．{1，2，4}C．{1，4}D．{1，2} 2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4} 3．函数的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）
4．命题p：“∀x∈（﹣∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）
A．∀x∈（﹣∞，0），3x＜4x
B．∀x∈（﹣∞，0），3x≤4x
C．
D．
5．函数取得最小值时的自变量x等于（）
A．B．C．1D．3
6．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，3]的值域为（）A．[3，6]B．[2，6]C．[2，3]D．（3，6）7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣2x D．
8．函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
9．设p：|x﹣|＜，q：2x≥1，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））＝1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为
等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（共6小题；共24分）
11．计算：＝．
12．不等式＜0的解集为．
13．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为．14．函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的奇函数，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为．
15．设函数f（x）＝则
①f（）＝；
②若f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是．16．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.2）＝﹣1．若A（2x+1）＝3，则x的取值范围是；若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围是．
三、解答题（共4小题；共46分）
17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求集合A，集合B；
（2）求（∁R A）∩B．
18．某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米（长方体的容积是长方体的底面积乘以长方体的高）．
（1）当x＝1时，求池底的面积和池壁的面积；
（2）求总造价y（元）关于底面一边长x（米）的函数解析式；
（3）当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？
19．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）求f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值．
20．（16分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．
（1）求函数的解析式；
（2）g（x）＝b+是奇函数，求常数b的值；
（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．
参考答案
一、选择题（共10小题；共50分）
1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（）A．1，2B．{1，2，4}C．{1，4}D．{1，2}【分析】根据子集的定义，即可找出集合A的子集．
解：∵1，2∈A，
根据子集的定义可知，{1，2}是A的子集．
故选：D．
2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【分析】可用并集的定义直接求出两集合的并集．
解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}
故选：A．
3．函数的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．（﹣∞，0），（0，+∞）D．（0，+∞）
【分析】先确定函数的定义域，进而利用导数法分析可得函数的单调递减区间．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且，
当x∈（﹣∞，0），或x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0均恒成立，
故函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：C．
4．命题p：“∀x∈（﹣∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）
A．∀x∈（﹣∞，0），3x＜4x
B．∀x∈（﹣∞，0），3x≤4x
C．
D．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
解：命题是全称命题，则￢p：，
故选：C．
5．函数取得最小值时的自变量x等于（）
A．B．C．1D．3
【分析】函数f（x）＝x+，且x＞0，运用基本不等式可得f（x）的最小值2，由等号成立的条件，可得x＝．
解：函数f（x）＝x+，且x＞0，
可得f（x）＝x+，
当且仅当x＝，即x＝时，取得最小值2．
故选：A．
6．已知函数f（x）＝x2﹣2x+3，则f（x）在区间[0，3]的值域为（）A．[3，6]B．[2，6]C．[2，3]D．（3，6）
【分析】由f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的对称轴x＝1可判断函数f（x）在区间[0，1]，[1，3]单调性，从而可判断函数的值域
解：∵f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的对称轴x＝1
∴函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增
∴f（x）在区间[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增
当x＝1时，函数有最小值2；当x＝3，函数有最大值6
∴函数的值域为[2，6]
故选：B．
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A．y＝2x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣2x D．
【分析】利用奇函数的定义以及基本初等函数的单调性，依次判断四个选项即可．解：函数y＝2x+1，因为2（﹣x）+1≠﹣（2x+1），所以函数不是奇函数，故选项A错
误；
函数y＝﹣x2，因为﹣（﹣x）2＝﹣x2，所以函数为偶函数，故选项B错误；
函数y＝﹣2x，因为﹣2（﹣x）＝﹣（2x），所以函数为奇函数，又﹣2＜0，则函数为定义域内的减函数，故选项C正确；
函数，因为，所以函数不是奇函数，故选项D错误．
故选：C．
8．函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
解：要使函数有意义，则，
得，即函数的定义域为，
故选：B．
9．设p：|x﹣|＜，q：2x≥1，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【分析】分别求解绝对值的不等式及指数不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．解：由p：|x﹣|＜，得＜x﹣＜，∴0＜x＜1．
由q：2x≥1，得x≥0．
则p⇒q，但q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））＝1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为
等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；
④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），
三点恰好构成等边三角形．
解：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，
∴当x为有理数时，ff（（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故
③正确；
④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，
∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，
故选：A．
二、填空题（共6小题；共24分）
11．计算：＝+1．
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
解：原式＝++（+1）＝+1，
故答案为：+1．
12．不等式＜0的解集为（﹣2，）．
【分析】将原不等式转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，再求解即可．
解：不等式可转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜，
所以不等式的解集为（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
13．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a＝1，b＝﹣1．【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．
解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但＜为假命题，
故答案可以是a＝1，b＝﹣1，
故答案为：a＝1，b＝﹣1．
14．函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的奇函数，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性作出函数的简图，结合图象分析可得答案．解：根据题意，奇函数的图象关于原点对称，
则f（x）在（﹣5，0]上的图象如下所示：
结合图像可得：f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）；
故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．
15．设函数f（x）＝则
①f（）＝；
②若f（x）有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是（1，]．
【分析】①由分段函数代入计算可得所求值；
②由一次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的值域，由题意可得a的不等
式，即可得到所求范围．
解：设函数f（x）＝，
①f（）＝（）＝；
②当﹣2≤x＜0时，f（x）＝x+a∈[﹣2+a，a），
当0≤x＜1时，f（x）＝（）x∈（，1]，
由f（x）有最小值，且无最大值，
可得a＞1，且a﹣2≤，
解得1＜a≤，
故答案为：；（1，]．
16．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.2）＝﹣1．若A（2x+1）＝3，则x的取值范围是（，1]；若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x 的取值范围是（1，]．
【分析】由A（2x+1）＝3可得2＜2x+1≤3，从而解得；由A（2x•A（x））＝5可化简
得2＜x•A（x）≤，从而可将x的范围缩小到1＜x≤2，从而解得．
解：∵A（2x+1）＝3，
∴2＜2x+1≤3，
解得，x∈（，1]；
由A（2x•A（x））＝5知，
4＜2x•A（x）≤5，
即2＜x•A（x）≤；
可判断1＜x≤2，
则上式可化为2＜x•2≤，
故1＜x≤；
故答案为：（，1]；（1，]．
三、解答题（共4小题；共46分）
17．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2+x﹣6＜0的解集为B．（1）求集合A，集合B；
（2）求（∁R A）∩B．
【分析】（1）分别解不等式x2﹣2x﹣3＜0和不等式x2+x﹣6＜0即可得到集合A，B．（2）根据补集和交集的定义计算即可．
解：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，解得﹣1＜x＜3，
所以该不等式的解集为A＝{x|﹣1＜x＜3}，
不等式x2+x﹣6＜0可化为（x+3）（x﹣2）＜0，解得﹣3＜x＜2，
所以该不等式的解集为B＝{x|﹣3＜x＜2}．
（2）由（1）可得∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
所以∁R A∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣1}．
18．某游泳馆要建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，设底面一边的长为x米（长方体的容积是长方体的底面积乘以长方体的高）．
（1）当x＝1时，求池底的面积和池壁的面积；
（2）求总造价y（元）关于底面一边长x（米）的函数解析式；
（3）当x为何值时，总造价最低，最低造价为多少元？
【分析】（1）由容积为8立方米，深为2米，即可求得池底面积，再根据池壁的面积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合总造价y（元）等于池底的造价×池底面积+池壁的造价×池壁的面积公式，即可求解．
（3）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可公式．
解：（1）因为容积为8立方米，深为2米，
所以池底面积为平方米，
因为深为2米，底面一边长x米，底面积为4平方米，
所以另一边长为米，
则四面池壁的面积为平方米．
（2）∵池底和池壁的造价分别是120元/平方米和80元/平方米，
120×4＝320x+（x＞0），
（3）由（2）知，．
所以，当且仅当，即x ＝2＞0时，取得最小值1760，
∴当x＝2时，总造价最低，最低造价为1760元．
19．已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）求f（x）在[﹣3，6]上的最大值与最小值．
【分析】（1）利用题中的恒等式，由赋值法x＝y＝0，代入求解即可；
（2）利用题中的恒等式，由赋值法x＝﹣y，代入求解，可得f（﹣x）＝﹣f（x），由奇函数的定义即可证明；
（3）利用函数单调性的定义可得，f（x）在R上为减函数，从而确定函数的最大值为f （﹣3），最小值为f（6），再利用恒等式以及已知的解析式，求解即可得到答案．
【解答】（1）解：定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），令x＝y＝0，可得f（0）+f（0）＝f（0+0）＝f（0），从而f（0）＝0；
（2）证明：定义在R上的函数f（x）对任意实数x，y，恒有f（x）+f（y）＝f（x+y），令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
故f（x）为奇函数；
（3）解：对任意x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，于是f（x1﹣x2）＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2），
从而f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＜0，
所以f（x）在R上为减函数，
故函数的最大值为f（﹣3），最小值为f（6），
因为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣[f（2）+f（1）]＝﹣[2f（1）+f（1）]＝﹣3f（1）＝2，f（6）＝﹣f（﹣6）＝﹣[f（﹣3）+f（﹣3）]＝﹣4，
所以f（x）在[﹣3，6]上的最大值为2，最小值为﹣4．
20．（16分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．
（1）求函数的解析式；
（2）g（x）＝b+是奇函数，求常数b的值；
（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．【分析】（1）将A、B的坐标代入f（x），求出k，a的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据函数奇偶性的定义求出b的值即可；
（3）分别求出与的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．
解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：
，解得：，
故f（x）＝4x；
（2）由（1）g（x）＝b+，
若g（x）是奇函数，
则g（﹣x）＝b+＝b+＝﹣b﹣，
解得：b＝﹣；
（3）∵f（x）的图象是凹函数，
∴＜，
证明如下：
＝，
＝≥＝，故＜．。