河北省张家口市2021届新高考二诊数学试题含解析

河北省张家口市2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设α为锐角，若3cos 45
πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．
1725
B ． 725
-
C ． 1725
-
D ．
725
【答案】D 【解析】 【分析】
用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】
2237
sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525
ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．
故选：D ． 【点睛】
本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．
2．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）
A B ．
C D ．【答案】B 【解析】 【分析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则可得1OB OC ==，3
23OA =
=OA 的三等分点G 、F 如图， 则13
3OG OA =
=
2233AG OF OA ===2226
DG AD AG =-=
，162EF DG ==，
所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、(
)
3,0,0A
、32633D ⎛ ⎝⎭、236,0,33E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-
- ⎝⎭
， ABD 和ACD 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，
BE CE E =，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ⎛∴= ⎝⎭
为平面BCE 的一个法向量， 因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦
，
由题意可得
2
2
2
2
23326333sin cos ,326233x AD DP AD DP AD DP
x y θ⎛⎫⎛⎫-⨯-- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭
=<>=
=
⋅⎛⎫⎛⎫⨯-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(
)
()
2
222
222
233
233
3323933239
3138
x x x x x y x x y x x y ++++=
==+-++-+-++ 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin θ也为定值，
22223339323x x x y x ==-，可得233y x =，此时3
sin 3θ=，则6cos 3θ=，sin 2tan cos 2
θθθ==
. 故选：B. 【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】D 【解析】 【分析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是
1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
4．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX < 【答案】C 【解析】 【分析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()141162
33C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，
()12116123C P X C ===，所以()1218
32333
E X =⨯+⨯=.
23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11
422268
315
C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，
()22226115C P
X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()242266
415
C P X C ===，所以
()281610
3241515153
E X =⨯
+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
5．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅. 【详解】
长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，11
2A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，
所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠
2
2
22
212221⎛⎫=+⨯=- +⎝
， 故选：D. 【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.
6．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301
x
x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033
n n a =-+，解不等式求得结果. 【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，
使得
301x
x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得
301
x x -≥-成立的概率为21
63d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333
n n
a n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，
(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】
解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）；
∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．
8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0
C ．2-
D ．2±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出
()f x 的周期，进而算出()2019f .
【详解】
()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-
()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--
而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--
()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-
故()f x 为周期函数，且周期为4
()()201910f f ∴=-=
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 9．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6
π
,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．
12
B ．32
-
C ．12
-
D ．
32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】
22
1
()(2)22312
a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
10．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2
()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．已知函数||
()()x f x x R =
∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(
21),e B ．(20,
)e C ．(11,1)e
+
D ．21,
1()e
+ 【答案】D 【解析】 【分析】
讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】
当0x >时，()x f x =
，故'()2x f x xe =
，函数在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，且122e f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；
当0x <时，()x f x -=，'()02x f e x x =-<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<= ⎪⎝⎭
，故()21,1e m +∈. 故选：D .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，则ω的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，2
2
π
π
ϕ-
<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，
2
2
π
π
ϕ-<<
）的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象
∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
又
()f x 和()g x 的图象都关于4
x π
=
对称，
∴由1242
4
32k k π
πωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ， 得
()123
k k π
ωπ=-，()12,k k ∈Z ，
即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又
06ω<<，
∴3ω=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()5
543223*********x y a x a x y a x y a x y a xy a y -=+++++，则024a a a ++=______. 【答案】121 【解析】 【分析】
在所给的等式中令1x =，1y =,令1x =，1y =-可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求. 【详解】
令1x =，1y =得()5
012345121a a a a a a -=+++++=-，令1x =，1y =-得
()
5
01234512243a a a a a a +=-+-+-=，
两式相加，得()0242242a a a ++=，所以024121a a a ++=. 故答案为:121. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.
14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90CAB ∠=︒，2AC AB ==，12CC =，P 是1BC 的中点，则三棱锥11C A C P -的体积为________.
【答案】2
3
【解析】 【分析】
证明AB ⊥平面11AAC C ，于是1111111
2
C A C P P A C C B A C C V V V ---==，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】
1AA ⊥平面ABC ，AB
平面ABC ，
1AA AB ∴⊥，又1,AB AC AA AC A ⊥⋂=.
AB ∴⊥平面11AAC C ， P 是1BC 的中点，
11111111112
22222323
C A C P P A C C B A C C V V V ---∴===⋅⋅⋅⋅⋅=.
故答案为：2
3
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.
15．已知12,F F 为椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，12PF F ∆的内心I 的轨迹
方程为__________． 【答案】2
2
31(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】 【详解】
考查更为一般的问题：设P 为椭圆C:()22
2210,0x y a b a b
-=>>上的动点，12,F F 为椭圆的两个焦点，I 为
△PF 1F 2的内心，求点I 的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I 与F 1F 2的切点为H ，半径为r ，且F 1H=y ，F 2H=z ，PF 1=x+y ，PF 2=x+z ，22c a b =+，
则222y z c
x y z a +=⎧⎨
++=⎩
.
直线IF 1与IF 2的斜率之积：12
22
12IF IF IH r k k F H F H yz
⋅=-=-⋅，
而根据海伦公式，有△PF 1F 2的面积为()()x y z r xyz x y z ++=++因此有12IF IF x a c
k k x y z a c
-⋅=-
=-+++.
再根据椭圆的斜率积定义，可得I 点的轨迹是以F 1F 2为长轴， 离心率e 满足2
1a c
e a c
--=-
+的椭圆，
其标准方程为()22
22
10x y y a c c c a c
+=≠-⋅+. 解法二：令(cos ,sin )P a b θθ，则sin 0θ≠．三角形PF 1F 2的面积：
()11
2sin 2222
S c b c a r θ=
⋅⋅=+⋅， 其中r 为内切圆的半径，解得sin I bc r y a c
θ⋅=
=+.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
()()12
(cos )(cos ),I I c x x c PF PF a c a c θθ--+=-=--+
从而有cos I x c θ=．消去θ得到点I 的轨迹方程为：
()2222
10x y y a c c c a c
+=≠-⋅+. 本题中：2,1a c ==，代入上式可得轨迹方程为：()2
2
310x y y +=≠.
16．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________. 【答案】
35
【解析】 【分析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果. 【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件， 因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：63105
=. 故答案为：35
. 【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知曲线1C
：sin 62πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭和2C
：x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的方程化为极坐标方程；
（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离. 【答案】（1
）x +=226
12sin ρθ
=
+；（2）1.
【解析】 【分析】
（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线1C 的直角坐标方程；先写出曲线2C 的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；
（2）先求出,M N 的直角坐标，据此求得中点P 的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线12,C C 的极坐标方程，即可求得,P Q 两点的极坐标，则距离可解. 【详解】
（1）1C
：sin 62
πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭
可整理为cos sin ρθθ+=，
利用公式可得其直角坐标方程为：x +=
2C
：x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩的普通方程为22
162x y +=，
利用公式可得其极坐标方程为2
2
612sin ρθ
=+ （2）由（1）可得1C
的直角坐标方程为x +=
故容易得M ，(0,1)N ，
∴122P ⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
，∴OP 的极坐标方程为6π
θ=， 把6
π
θ=
代入sin 62
πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭得11ρ=，1,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 把6
π
θ=
代入2
2
612sin ρθ=
+得22ρ=，2,6Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
. ∴21||1PQ ρρ=
-=，
即P，Q两点间的距离为1.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.
18．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人. （1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
21
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出2
K，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】
（1）由题意可得：
则2
2
200(100304030)8.477 6.6351406013070
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人. 采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为A 、B 、C 、D 、E ； 不经常阅读的有2人，记为X 、Y .
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB ，AC ，AD ，AE ，AX ，AY ，BC ，BD ，
BE ，BX ，BY ，CD ，CE ，CX ，CY ，DE ，DX ，DY ，EX ，EY ，XY ，共21种，
被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，
∴所求概率为10
21
P =
. 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，
10PC =，E 为线段AD 的中点．
()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；
()2是否存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得34
B PAE D PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】()1证明见解析；()2 2. 【解析】 【分析】
()1利用面面垂直的判定定理证明即可；
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，
34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ
+=，继而得出λ的值.
【详解】
解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE AD ⊥．
因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，
所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．
()2由PF FC λ=，知()1FC PC λ+=．
所以，111222
B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+=
==， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．
因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ+=， 所以，2λ=．
即存在满足()0PF FC λλ=>的点F ，使得3
4
B PAE D PFB V V --=，此时2λ=． 【点睛】
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，
222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，PC AC ⊥，E 是PA 的中点.
（1）证明：AC BE ⊥；
（2）求直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）26
13
【解析】 【分析】
（1）设F 是PD 的中点，连接EF 、CF ，先证明BCFE 是平行四边形，再证明AC ⊥平面PCD ，即
AC BE ⊥
（2）以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面BDE 法向量，利用向量的夹角公式得到直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值. 【详解】
（1）证明：设F 是PD 的中点，连接EF 、CF ，
E 是PA 的中点，//E
F AD ∴，1
2
EF AD =
， //AD BC ，2AD BC =，//EF BC ∴，EF BC = ， BCFE ∴是平行四边形，//BE CF ∴，
//AD BC ，AB AD ⊥，90ABC BAD ∴∠=∠=︒， AB BC =，45CAD ∠=︒，2AC =，
由余弦定理得2222cos 2CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=，
2224AC CD AD ∴+==，AC CD ∴⊥，
PD AC ⊥，AC ∴⊥平面PCD ，AC CF ∴⊥， AC BE ∴⊥；
（2）由（1）得AC ⊥平面PCD ，2CD =∴平面ABCD ⊥平面PCD ，
过点P 作PO CD ⊥，垂足为O ，OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，
则6P ⎛ ⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,2B ⎫-⎪⎪⎭，22642E ⎛- ⎝⎭
262,,2BP ⎛⎫
∴=- ⎪ ⎪⎝
⎭
， 设(),,m x y z =是平面BDE 的一个法向量，则00m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，32
2
02
2
326
044
x y x z ⎧-+=⎪⎪∴⎨
⎪-+
=⎪⎩，
令1x =，则3
3
y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，()
1,3,3m ∴=，
26cos ,13
m BP m BP m BP
⋅∴=
=
， ∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为26.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形//AB DC ，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2CD =，PC ⊥底面ABCD ，且2PC =
，E 为CD 的中点.
（1）证明：BE AP ⊥；
（2）设点M 是线段BP 上的动点，当直线AM 与直线DP 所成的角最小时，求三棱锥P CDM -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）2
9
. 【解析】 【分析】
（1）要证明BE AP ⊥，只需证明BE ⊥平面PAC 即可；
（2）以C 为原点，分别以,,CD CB CP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求cos ,AM DP <>，并求其最大值从而确定出1
3
BM BP =使问题得到解决. 【详解】
（1）连结AC 、AE ，由已知，四边形ABCE 为正方形，则AC BE ⊥①，因为PC ⊥底面
ABCD ，则PC BE ⊥②，由①②知BE ⊥平面PAC ，所以BE AP ⊥.
（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,1,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)D ，
2)P ，所以(1,0,0)AB =-，(0,2)BP =-，(2)DP =-，设BM BP λ=，
(01)λ≤≤，则(1,2)AM AB BM λλ=+=--，所以cos ,AM DP <>=
||||
AM DP
AM DP ⋅=
2263136
13λλ
=
+⋅+1[1,2]t λ+=∈2213364t t λ==+-+ 2211
462333()24
t t t =
-+-+232t =，即43t =时，cos ,AM DP <>取最大值， 从而,AM DP <>取最小值，即直线AM 与直线DP 所成的角最小，此时1
13
t λ=-=， 则1
3
BM BP =，因为BC CD ⊥，BC CP ⊥，则BC ⊥平面PDC ，从而M 到平面PDC 的 距离22
33h BC =
=，所以11222323P CDM M PCD V V --==⨯⨯=29
. 【点睛】
本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
22．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下： 愿意 不愿意 男生 60 20 女士
40
40
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求
()E X ．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】
（1）∵2K 的观测值()2
160604040203210.667 6.6358080100603
k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯
=人，女生有2
1045
⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．
则X 的可能取值有0,1,2,3，
()30
64310201
01206
C C P X C ∴====，2164
310
6011
1202
C C P X
C ， 1264
310
3632
12010C C P X C ，()03643
1041
312030
C C P X C ====， X ∴的分布列为：
()01236210305
E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.
23．设函数2
()2ln(1)1
x f x x x =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且1(1)(1)1n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证： 11ln 2n n n n
a S a a ++>-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x
在(1-2-，
上单调递减，在(-2)+∞单调递增；
（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g （x ）＝f （x ）﹣ax ，先求出函数g （x ）的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出a 的最小值； （Ⅲ）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列，1n a n =，111n a n +=+，问题转化为证明：()()111112123n ln n n n ++
+++++＜，通过换元法或数学归纳法进行证明即可． 【详解】
解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），()()224
2
'1x x f x x ++=+，
当1
2x --＜＜f′（x ）＜2，当2x
-＞f′（x ）＞2，
所以函数f （x
）在(1
2--，上单调递减，在()2-+∞单调递增． （Ⅱ）设()()2
211x g x ln x ax x =++-+， 则()()()()()22222121142
1'(1)21
11x x x x g x a a a x x x +++-++=-=-=--+-+++， 因为x≥2，故211(1)01
x ---≤+＜， （ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x ）≤2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递减，
而g （2）＝2，所以对所有的x≥2，g （x ）≤2，即f （x ）≤ax ；
（ⅱ）当1＜a ＜1时，2＜1﹣a ＜1
，若0x ⎛
∈ ⎝⎭
，则g′（x ）＞2，g （x ）单调递增， 而g （2）＝2
，所以当0x ⎛∈ ⎝⎭
时，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x ）＞2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递增，
而g （2）＝2，所以对所有的x ＞2，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
综上，a 的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣a n+1）（1+a n ）＝1得，a n ﹣a n+1＝a n •a n+1，由a 1＝1得，a n ≠2， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =，1n a n =，111
n a n +=+， 112n n n n a S lna a ++-＞⇔()()111112123n ln n n n +++++++＜， 由（Ⅱ）知a ＝1时，()2
2121
x ln x x x ++≤+，x ＞2， 即()()
2121x ln x x x +++＜，x ＞2． 法一：令1x n
=，得()11121n ln n n n n +++＜， 即()1111121ln n lnn n n n ⎛⎫+-+
- ⎪+⎝⎭＜ 因为()()()1111 112121n
k n ln k lnk ln n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣
⎦∑， 所以()()111112123n ln n n n ++
+++++＜， 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 法二：112n n n n a S lna a ++-＞⇔()()
111112321n ln n n n +++++++＞ 下面用数学归纳法证明．
（1）当n ＝1时，令x ＝1代入()()2121x ln x x x +++＜，即得1124
ln +＞，不等式成立
（1）假设n ＝k （k ∈N *，k≥1）时，不等式成立， 即()()
111112321k ln k k k +++++++＞， 则n ＝k+1时，()()1111111231211
k ln k k k k k +++++++++++＞， 令11x k =+代入()()
2121x ln x x x +++＜， 得()()()()()()()()
1211211111212211211212k k k k ln ln k ln k ln k k k k k k k k k k ++++++++++++++++++++＞＞ ()()()()
()()21
12221222k k k ln k ln k k k k +++=++=+++++， 即：()()
111121223122ln k k k k +++++++++＞， 由（1）（1）可知不等式()()111112321n ln n n n +
++++++＞对任何n ∈N *都成立． 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n 项和；5、不等式的证明．。