苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 2.6.2 曲线与方程2

1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是________．
解析：由图知PF 1＋PF 2＝2a .连结MO ，则F 1M ＋MO ＝a (a >F 1O )．故M 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆．
答案：椭圆
2.已知动点M 到A (2，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为________．
解析：设M (x ，y )，由题意，得（x －2）2＋y 2＝2|x ＋1|.
化简，得－3x 2－12x ＋y 2＝0.
答案：y 2＝3x 2＋12x
3.已知动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________． 解析：设焦点坐标为(x ，y )，则（1－x ）2＋y 2＝|x |，
即y 2＝2x －1.
答案：y 2＝2x －1 4.(2011·高考广东卷改编)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．
解析：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
5.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是________．
解析：设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由OQ →·OP →
＝0知y 0y ＝－x .① 又由OQ ＝OP ，得x 2＋y 2＝
1＋y 20，即x 2＋y 2＝1＋y 2
0.② 由①②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1或y ＝－1.
答案：两条平行线
[A 级 基础达标]
1.已知两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹是________．
解析：PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>F 1F 2，根据定义可知动点P 的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
2.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知P 的轨迹是以F (2，0)为焦点的抛物线，∴p
2＝2，即p ＝4，所以
其方程为y 2＝8x .
答案：y 2＝8x
3.在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，B (2，0)，若OA →·BA →＝|OB →|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹是________．
解析：设A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，因为OA →·BA →＝|OB →
|，所以x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，所以动点A 的轨迹是圆．
答案：圆
4.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点
P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是________．
解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0，于是BP →
＝(x ，
y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32
x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →
＝(－a ，b )
＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →
＝1可得32
x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)
答案：3
2
x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)
5.已知A (－2，0)、B (2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12
(AB →＋AC →)．则点D 的轨迹方
程为________．
解析：设C 、D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )， 则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →
＝(4，0)， 故AB →＋AC →
＝(x 0＋6，y 0)，
所以AD →＝12(AB ＋AC →
)＝(x 02＋3，y 02
)；
又AD →
＝(x ＋2，y )，故⎩
⎨⎧
x 0
2＋3＝x ＋2y 0
2
＝y
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，
代入|AC →|＝（x 0＋2）2＋y 20＝2得x 2＋y 2
＝1，即为所求点D 的轨迹方程．
答案：x 2＋y 2＝1
6.如图，从双曲线x 2
－y 2
＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．
解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．
又点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①
又QN ⊥l ，k QN ＝2y －2y 0
2x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②
由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝1
2(x ＋3y －2)．
又因为点Q 在双曲线上，
所以14(3x ＋y －2)2－1
4
(x ＋3y －2)2＝1.
化简，得(x －12)2－(y －12)2＝1
2
.
所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为(x －12)2－(y －12)2＝1
2
.
7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝3
2
，一曲线E 过点C ，动点
P 在曲线E 上运动，且保持PA ＋PB 的值不变．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程；
(2)设点K 是曲线E 上的一个动点，求线段KA 的中点的轨迹方程．
解：(1)如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系．设动点P (x ，y )，因为PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝3
2
＋
⎝⎛⎭
⎫322
＋4＝4>AB ＝2为定值，所以动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设曲线E 上的动点K (x 1，y 1)，线段KA 的中点为Q (x ，y )，A (－1，0)，则x ＝－1＋x 1
2，
y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y ，所以（2x ＋1）24＋（2y ）23＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23
＝1.所以线段
KA 的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122
＋4y 23
＝1.
[B 级 能力提升]
8.设向量i ，j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋3)i
＋y j ，b ＝(x －3)i ＋y j ，且|a |－|b |＝2，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是________．
解析：因为|a |－|b |＝2， 所以
（x ＋3）2＋y 2－
（x －3）2＋y 2＝2，
其几何意义是动点P (x ，y )到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P (x ，y )的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a ＝2的双曲线的一支，由c ＝3，a ＝1，解得b 2＝c 2－a 2＝8，
故点P (x ，y )的轨迹方程是x 2－
y 2
8
＝1(x >0)或者(x ≥1)． 答案：x 2－
y 28＝1(x >0)(或x 2－y 2
8
＝1(x ≥1))
9.如图， 半径为1的圆C 过原点，Q 为圆C 与x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心C 运动时，则点R 的轨迹方程为________．
解析：设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则点Q 、P 的坐标分别为(2x 0，0) 、(x 0，y 0
＋1)，得PQ 的中点M 的坐标为(3x 02，y 0＋12
)，因为OQRP 为平行四边形，PQ 的中点M 也
是OR 的中点，所以可得R 点坐标为(3x 0，y 0＋1)，令R 点坐标为(x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0
y ＝y 0＋1即
⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝x 3y 0＝y －1，又x 20＋y 20＝1，代入得x 29＋(y －1)2
＝1，故点R 的轨迹方程为x 2
9
＋(y －1)2＝1(x ≠0，
x ≠2)．
答案：x 2
9
＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)
10.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB |＝2，点P 在线段AB 上，且AP →＝tPB
→(t 是不为零的常数)．设点P 的轨迹方程为C .
(1)求点P 的轨迹方程C ；
(2)若t ＝2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点(M 、N 不在坐标轴上)，点Q 坐标为(3
2
，3)，求△QMN 的面积S 的最大值． 解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )，P (x ，y )，因为AP →＝tPB →
，即(x －a ，y )＝t (－x ，b －y )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－tx
y ＝t （b －y ），则⎩⎨⎧a ＝（1＋t ）x
b ＝（1＋t ）y t
，由题意知t >0，
因为|AB |＝2，a 2＋b 2＝4，即(1＋t )2x 2＋(
1＋t
t
)2y 2＝4， 所以点P 的轨迹方程为：x 24（1＋t ）2＋y 2
4t 2
（1＋t ）2＝1.
(2)t ＝2时，轨迹方程C 为9x 24＋916y 2
＝1，设M (x 1，y 1)，
则N (－x 1，－y 1)，|MN |＝2
x 21＋y 21
， 设直线MN 的方程为：y ＝y 1
x 1
x (x 1≠0)，点Q 到直线MN 的距离为：d ＝
⎪⎪⎪
⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21
，
所以S △MNQ ＝12×2x 21＋y 21×⎪⎪⎪⎪
32y 1－3x 1x 21
＋y 2
1
＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1，又9x 214＋9y 2116＝1，所以9x 2
1＋9y 214
＝
4.
所以S 2△MNQ ＝4－9x 1y 1，而
1＝9x 214＋9y 21
16≥－2·3x 12·3y 14＝－9x 1y 14，
所以－9x 1y 1≤4，当且仅当3x 12＝－3y 14，即x 1＝－1
2
y 1时，取等号．
所以S △MNQ 的面积最大值为2 2.
11.(创新题)已知点M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－12
5
，求直线l 的斜
率的取值范围．
解：(1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，PN →
＝(1－x ，－y )． 由已知得－3(x －4)＝6
（1－x ）2＋（－y ）2， 化简得3x 2＋4y 2
＝12，即x 24＋y 2
3＝1.
所以点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题意知，直线l 的斜率必存在， 不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1
消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2
，
x 1x 2
＝4k 2
－12
3＋4k 2
.
因为NA →·NB →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]
＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9（1＋k 2）
3＋4k 2
.
所以－187≤－9（1＋k 2
）3＋4k
2≤－125，解得1≤k 2≤3，所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。