高一数学第一学期期末统一考试试卷.doc

高一数学第一学期期末统一考试试卷
（考试时间90分钟，满分100分）
成绩___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项字母填在括号内。

1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5}，集合B={2，3，6}，则)B (A ω =
（ ）
A ．{1，5}
B ．{3}
C ．{1，3，4，5，7}
D ．{4，7}
2．如果一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题（ ）
A ．一定是假命题
B ．不一定是假命题
C ．一定是真命题
D ．不一定是真命题
3．已知命题p ：“-2<x<0”，命题q ：“|x|<2”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．函数
)0x (1x y 2<+=的反函数是（ ） A ．)1x (1x y ≥-= B ．)1x (1x y >-=
C ．)1x (1x y ≥--=
D ．)1x (1x y >--=
5．下列函数中，既是其定义域上的是单调函数，又是奇函数的是（ ）
A ．1x y -=
B ．x
23log y = C ．x log y 2= D ．x 2y =
6．在等差数列}a {n 中，2a 9a 137-==，，则=25a （ ）
A ．-22
B ．-24
C ．60
D ．64
7．函数|12|)x (f x -=的图象大致是（ ）
8．在等比数列}a {n 中，120a a 30a a 4321=+=+，，则=+65a a （ ）
A ．210
B ．360
C ．480
D ．7 9．设二次函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且当x>1时f(x)是增函数，又设a=f(1-π)，b=f(π-1)，)5(f c =，则
实数a 、b 、c 的关系是（ ）
A ．a=b>c
B ．a>b>c
C ．c>b>a
D ．c>a=b
10．已知函数)b a lg()x (f x x -=，（其中a 、b 为常数，且a>1，b>0），若x ∈（1，+∞）
时，f(x)>0恒成立，则（ ）
A ．a-b ≥1
B ．a-b>1
C ．a-b ≤1
D ．a=b+1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

11．若23a =，则________________6log 28log 33=-。

12．已知函数f(x)满足
)1x lg()2x (f 2+=+，则f(x)的解析式为f(x)=__________________。

13．函数
x
)21(y =在[-1，1]上的最大值和最小值分别是__________________。

14．若等差数列}a {n 中，0a 1>，n S 表示数列的前n 项和，且84S S =，则n S 取最大
值时n=__________________。

三、解答题：本大题共5小题，共34分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分6分）
已知奇函数f(x)的定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}，当x<0时，f(x)=xlg(2-x)，求x>0时，
f(x)的解析式。

16．（本小题满分6分）
已知三个数a 、b 、c 成等比数列，其积为8，又a 、b 、c-1成等差数列，求这三个数组
成的数列。

17．（本小题满分7分）
已知某地区现有人口50万。

（I ）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y （万人）与年份x （年）的函数
关系；（II ）若该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？
（009.12.120∙
=）
18．（本小题满分7分）
已知等比数列}a {n 的各项都是正数，6560S 80S n 2n ==，，且在前n 项中，最大项的
值为54，求n 的值。

19．A （重点校学生做，普通校学生选做，本小题满8分）
已知二次函数
c bx ax )x (f 2++=满足f(1)=0。

（I ）若a>b>c ，证明f(x)的图象与x 轴有两个交点，且这两个交点间的距离
d 满足：
3d 23<<；
（II ）设f(x)在)1t 0t (21t x ≠>+=，处取得最小值，且对任意实数x ，等式
1n n n x b x a )x (g )x (f +=++（其中n ∈N ，1x x )x (g 2++=）都成立，若数列}c {n 的前n 项
和为n b ，求}c {n 的通项公式。

19．B （普通校学生做，重点校学生不做。

本小题满分8分）
已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数b ax x
)x (f +=，且f(3)=1，又方程f(x)=x 有唯一解。

（I ）求f(x)的解析式及方程f(x)=x 的解；
（II ）当)1n )(x (f x 1n n >=-，数列}x 1{
n 是何数列？请说明理由。

高一（上）数学期末考试答案
一、选择题
二、填空题
11．a-2 12．)5x 2x lg(2
+- 13．2，21
； 14．6 三、解答题
15．解：∵x<0时，f(x)=xlg(2-x)，又f(x)为奇函数，且当x>0时，-x<0 …………2分 ∴f(x)=-f(-x) ……………………………………………………………………………4分
=-{(-x)lg[2-(-x)]}=xlg(2+x)。

即x>0时，f(x)=xlg(2+x)…………………………………………………………………6分
16．解：设q b a =
，c=bq ，8b bq b q b c b a 3==⋅⋅=⋅⋅∴。

解得b=2。

即q 2a =
，b=2，c=2q …………………………………………………………………2分
∵2b=a+(c-1)，)1q 2(q 24-+=
∴。

02q 5q 22=+-∴。

∴q=2或21。

…………4分
当q=2时，a=1，b=2，c=4；
当21
q =时，a=4，b=2，c=1。

即所求数列为1、2、4或4、2、1。

………………………………………………6分
17．解：（I ）x 年后x %)2.11(50y +=。

…………………………………………3分 （II ）设年人口自然增长率为p ，因此有60)p 1(5020=+ ……………………5分
即
2.1)p 1(20=+。

时 解得009.12.1p a 20≈=+。

于是p=0.009。

即人口年自然增长率为0.9%。

……………………………………………………7分
18．解：由已知0a n >，得q>0。

若q=1，则80na S 1n ==。

但6560160na 2S 1n 2≠==。

∴q ≠1 ………………………………………………1分
②① 6560q 1)q 1(a 80q 1)q 1(a n 21n 1=--=-- ，①÷②得
81q n =。

……2分 ∴q>1。

又0a n > ，}a {n ∴是递增数列。

∴在前n 项中，最大项为n a 。

即54a n =…………………………………………4分 54q q a q a a n 11n 1n =⋅=⋅=- 。

5481q a 1=⋅∴。

即q 32a 1=……………………5分
将q 32a 1=代入①，得)q 1(80)q 1(q 32n -=-。

)q 1(80)811(q 32-=-∴。

解得q=3。

(6)
分
又81q n = ，∴n=4。

…………………………………………………………………7分
19．（重点校）（I ）证明：∵f(1)=0，∴a+b+c=0。

∴a>b>c ，
∴a>0，c>0。

∴ac<0。

0ac 4b 2>-∴…………………………………………………1分
即f(x)的图象与x 轴有两个交点。

∵f(1)=0，∴1是f(x)=0的一个根。

由根与系数的关系可知f(x)=0的另一个根是a c 。

|a c 1|d -=∴。

非曲直……………2分
a c 1d 0a c -=<， 。

∵a>b>c ，且b=-a-c ，∴a>b=-a-c>c 。

1a c 1a c <--<∴。

21a c 2-<<-∴。

3a c 123<-<∴。

即3d 23<<。

………………3分
（II ）解：∵f(x)在
21t x +=处取得最小值，21t x +=∴是f(x)的对称轴方程。

由f(x)图象的对称性及f(1)=0可知f(t)=0。

………………………………………5分
令x=1，得① 1b a n n =+；令x=t ，得
② t b ta 1n n n +=+ 由①，②解得
1t t t b 1
n n --=+。

…………………………………………………………7分 ∴n>1时，n n n 1n n t 1t )t 1(t 1t t t 1t t t c -=--=-----=+。

又n=1时，t 1t t t b c 211-=--==，
∴}c {n 是首项为t c 1-=，公比为q=t 的等比数列，n n t c -=∴。

…………………8分
（普通校）（I ）⎩⎨⎧≠+=-+⇔⎩⎨⎧≠++=⇔=+0b ax 0x )1b (ax 0b ax bx ax x x b ax x 22 ，……………1分
∵f(x)=x 有唯一解，∴由
00a 4)1b (2=⋅--=∆，解得b=1。

……………………2分 又f(3)=1，∴3=3a+1。

32a =∴。

3x 2x 3)x (f +=∴。

…………………………………3分
由x 3x 2x 3=+易解得方程f(x)=x 的解为x=0。

………………………………………4分
（II ）由)x (f x 1n n -=（n>1），得
3x 2x 3x 1n 1n n +=--1n 1n 1n n x 132x 33x 2x 1---+=+=∴……6分
32x 1x 11n n =-∴-（n>1）。

即当n>1时，}x 1{n 是等差数列。

………………………8分。