高中数学 6.5不等式的综合应用课时提能训练 理 新人教A版

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 6.5不等式的综合应用课时提
能训练 理 新人教A 版
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.与不等式x －32－x
≥0同解的不等式是( ) (A)(x －3)(2－x)≥0 (B)lg(x －2)≤0
(C)2－x x －3
≥0 (D)(x －3)(2－x)>0 2.函数y ＝(12
)22x x －的值域为( ) (A)[12，＋∞) (B)(－∞，12
] (C)(0，12
] (D)(0,2] 3.(2012·玉林模拟)已知集合A ＝{x|x 2
＋2x －a ＝0，x∈R}，且A≠Ø ，则实数a 的取值范围是( )
(A)a≤1 (B)a≤－1
(C)a≥1 (D)a≥－1
4.(预测题)定义在R 上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是
( )
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)
④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
5.(2012·北海模拟)如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中，点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上.设BC ＝x cm ，则ABCD 面积最大时，x 的值为( )
(A)30 (B)15 (C)15 2 (D)10 2 6.(易错题)在等差数列{a n }中若其前n 项的和为S n ＝n m ，前m 项的和为S m ＝m n
，则S 2m ＋n 的最小值为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D) 8
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln 1x ，x>0，1x ，x<0，则f(x)>－1的解集为 .
8.(2012·南宁模拟)已知函数y ＝(12
)x 与y ＝log a x(a>0且a≠1)，两者的图象相交于点P(x 0，y 0)，如果x 0≥2，那么a 的取值范围是 .
9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 公里处.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·桂林模拟)已知f(x)＝log a x ，g(x)＝2log a (2x ＋t －2)，(a>0，a≠1，t∈R).
(1)当t ＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a 的值；
(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t 的取值范围.
11.(2012·防城港模拟)某单位计划建一长方体形状的仓库，底面如图，高度为定值.它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.设仓库正面的长为x 米，两侧墙的长各为y 米.
(1)用x ，y 表示这个仓库的总造价t 元；
(2)若仓库底面面积S ＝100平方米时，仓库的总造价t 最少是多少元，此时正面铁栅的长应设计为多少米？
【探究创新】
(16分)已知f(x)在(－1,1)上有定义， f(12)＝1， 且满足x ，y∈(－1,1)有f(x)－f(y)＝f(x －y 1－xy
)， 对数列{x n }有x 1＝12，x n ＋1＝2x n 1＋x 2n
(n∈N *). (1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数；
(2)求f(x n )的表达式；
(3)是否存在自然数m ，使得对于任意n∈N *有1f(x 1)＋1f(x 2)＋…＋1f(x n )<m －84
成立？若存在，求出m 的最小值.
答案解析
1.【解析】选B.x －32－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(2－x)≥02－x ≠0⇔2<x ≤3，
lg(x －2)≤0⇔0＜x －2≤1⇔2<x ≤3.
2.【解析】选A.∵2x －x 2＝－(x －1)2
＋1≤1，
∴(12)22x x －≥12
. 3.【解析】选D.A ≠Ø⇒方程x 2＋2x －a ＝0有实数解⇒22＋4a ≥0，∴a ≥－1.
4.【解析】选A.由题意f(a)＝g(a)＞0，f(b)＝g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)，
∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(a)＋g(b)，
而g(a)－g(－b)＝g(a)－g(b)，
∴g(a)＋g(b)－[g(a)－g(b)]＝2g(b)＞0，
∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)
同理可证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a).
5.【解析】选C.由BC ＝x ，
则AB ＝2900－x 2(0<x<30).
所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900.
当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900 cm 2. 6.【解题指南】{a n }为等差数列，则{S n n }为等差数列，可先求S 2m ＋n ，再结合均值不等式求其最小值. 【解析】选D.∵数列{a n }为等差数列，∴{S n n }为等差数列，设数列{S n n
}的公差为d ， 则d ＝S n n －S m m n －m ＝1m －1n n －m ＝1mn
， ∴S 2m ＋n 2m ＋n ＝S m m ＋(m ＋n)d ＝1m ＋2n
， ∴S 2m ＋n ＝(1m ＋2n )(2m ＋n)＝4＋n m ＋4m n
≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n ＝2m 时等号成立，故答案选D. 7.【解题指南】分别当x ＞0和x ＜0时解不等式f(x)>－1，再取并集.
【解析】当x ＞0时，f(x)>－1⇒ln 1x >－1⇒1x >1e
⇒0<x<e. 当x ＜0时，f(x)>－1⇒1x
>－1⇒x<－1. 答案：{x|0<x<e 或x<－1}
8.【解题指南】先根据题意判断a 的取值范围，再根据单调性构造不等式求解.
【解析】因为函数y ＝(12
)x 与y ＝log a x(a>0且a ≠1)，两者的图象相交于点P(x 0，y 0)，且x 0≥2，所以a>1，又当x 0＝2时，y ＝(12)0x ＝14，所以log a 2≤14
，解得a ≥16. 答案：a ≥16
9.【解析】由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x(x 为仓库与车站的距离)；费用之和y ＝y 2＋y 1＝0.8x ＋20x
≥20.8x ·20x
＝8，
当且仅当0.8x ＝20x
即x ＝5时“＝”成立. 答案：5
【方法技巧】不等式应用题的解题策略
对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解答其中的问题.
10.【解析】(1)∵t ＝4，F(x)＝g(x)－f(x)＝2log a (2x ＋2)－log a x ＝log a 4(x ＋1)2x ＝log a [4(x ＋1x
＋2)]， 令y ＝x ＋1x ，则y ＝x ＋1x
在x ∈[1,2]单调递增，
∴当a>1时，F(x)在x∈[1,2]也单调递增，
∴F(x)min＝log a16＝2，解得a＝4，
当0<a<1时，F(x)在x∈[1,2]上单调递减，
∴F(x)min＝log a18＝2，解得a＝18＝32(舍去) 所以a＝4.
(2)f(x)≥g(x)，即log a x≥2log a(2x＋t－2)，
∴log a x≥log a(2x＋t－2)2，
∵0<a<1，x∈[1,2]，∴x≤(2x＋t－2)2，
∴x≤2x＋t－2，
∴x－2x＋2≤t，依题意有(x－2x＋2)max≤t，
而函数y＝x－2x＋2＝－2(x－1
4
)2＋
17
8
，
因为x∈[1,2]，x∈[1，2]，y max＝1，所以t≥1.
11.【解析】(1)由题意得，仓库的总造价t＝40x＋45×2y＋20xy＝40x＋90y＋20xy.
(2)仓库底面面积S＝xy＝100时，
t＝40x＋45×2y＋20xy＝40x＋45×2y＋2 000≥
240x×90y＋2 000＝1 200＋2 000＝3 200，
当且仅当40x＝90y时，等号成立，
又∵xy＝100，∴x＝15，y＝20
3
时等号成立.
仓库地面面积S＝100平方米时，
仓库的总造价t最少是3 200元，此时正面铁栅的长应设计为15米.
【变式备选】已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评
估，当待岗员工人数x不超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－81
100x
)万元；当待岗员工人数x超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润0.959 5万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
【解析】设重组后，该企业年利润为y万元.
∵2 000×1%＝20，∴当0<x≤20且x∈N时，
y ＝(2 000－x)(3.5＋1－81100x )－0.5x ＝－5(x ＋324x
)＋9 000.81. ∵x ≤2 000×5%，∴x ≤100，
∴当20<x ≤100且x ∈N 时，
y ＝(2 000－x)(3.5＋0.959 5)－0.5x ＝－4.959 5x ＋8 919.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5(x ＋324x )＋9 000.81，(0<x ≤20且x ∈N)－4.959 5x ＋8 919，(20<x ≤100且x ∈N). 当0<x ≤20时，有y ＝－5(x ＋324x )＋9 000.81≤－5×2324＋9 000.81＝ 8 820.81，
当且仅当x ＝324x
，即x ＝18时取等号，此时y 取得最大值8 820.81. 当20<x ≤100时，函数y ＝－4.959 5x ＋8 919为减函数，
所以y<－4.959 5×20＋8 919＝8 819.81.
综上所述，当x ＝18时，y 有最大值8 820.81万元.
即要使企业年利润最大，应安排18名员工待岗.
【探究创新】
【解析】(1)当x ＝y ＝0时，f(0)＝0；令x ＝0，得f (0)－f(y)＝f(－y)即f(y)＋f(－y)＝0， ∴对任意的x ∈(－1,1)，f(x)＋f(－x)＝0，
故f(x)在(－1,1)上为奇函数.
(2)∵{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝2x n 1＋x 2n
， ∴0<x n <1.
∵f(x n )－f(－x n )＝f[x n －(－x n )1－x n (－x n )]＝f(2x n 1＋x 2n
)，f(x)在(－1,1)上为奇函数， ∴f(x n ＋1)＝2f(x n )；
由f(12)＝1，x 1＝12
，∴f(x 1)＝1，从而f(x n )＝2n －1. (3)1f(x 1)＋1f(x 2)＋…＋1f(x n )＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n 1－12
＝2－12n －1.假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈
N *，有1f(x 1)＋1f(x 2)＋…＋1f(x n )<m －84成立.即2－12n －1<m －84
恒成立. ∴m －84
≥2，解得m ≥16. ∴存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，有1f(x 1)＋1f(x 2)＋…＋1f(x n )<m －84
成立. 此时，m 的最小值为16.。