复变函数课件--7-习题课

| | e e (1ii )t
(1 i i )t
1 i i 0
1 i i 0
10
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1 2
1
1 i
i
1
1 i
i
1
1 (1
)i
1
1 (1
)i
2 2 4 44 .
再由Fourier积分公式得
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
11
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(1) 设f (t ) tei0t ,则F [ f (t )] ( D )
( A) 2 ( 0 ) (C) 2i ( 0 )
(B) 2 ( 0 ) (D) 2i ( 0 )
(2)设F [ f (t)] F (),假如当t 时,
g(t) t f (t)dt 0,则F [ 2t f (t)dt] ( B )
(2)设f (t) sin2 t,则F [ f (t)]
.
( ) [ ( 2) ( 2)]
2
21
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(3) 设f (t ) (2 t ) ei0t , 则F [ f (t )] ( A )
( A) e2i 2 ( 0 ) (C ) e2i 2 ( 0 )
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
机动 目录 上页 下页 返回 结束( 0 )
2 0
( A) 1 F ( ) 2i 2
(C ) 1 F ( ) 2i
(B) 1 F( ) i 2
(D) 1 F ( ) i
24
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例8 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F () F [ f (t)].
解
F
[( t
2)
f
(2t
)]
1 2
1F 2
[tf
例7 计算函数f (t) | t |的Fourier变换.
解 由于 | t | t sgnt t[2u(t) 1], 并且
F [2u(t) 1] 2F [u(t)]F [1]
[ 2
i
2 ( )] 2 ( )
2
i
.
由Fourier变换的微分性质,得
F
[|
t
|]
iF ( )
2
2
.
23
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(t )]
2
2F [ f (2t )]
i F ( ) 2 1 F ( )
4
2
22
i F ( ) F ( )
4
2
2
或
i d (F ( )) 2 d 2
F( )
2
25
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四、 综合运用
例9 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier
第七章 Fourier变换
一、求傅里叶变换、傅 里叶积分 二、 广义傅里叶变换 三、用性质求傅里叶变换、逆变换 四、傅里叶变换应用
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Fourier积分定理
性质
Fourier变换
Fourier变换 的应用
δ函数
线 位 微 积 相对 性 移 分 分 似称 性 性 性 性 性性 质 质 质 质 质质
19
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（3）因为 F [ (t)] 1, 由位移性质
F [ f (t)]
F [1 [ (t a) (t a) (t a ) (t a )]]
2
2
2
1 2
e
ia
cos a
e ia
a
cos
e
i
a 2
i a
e2
2
求傅立叶逆变换
F -1 [ ( 0 ) ( 0 )]
1 4
,
| t | 1
14
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练习：
(1)设a
0,
f
(t)
eat ,
e
at
,
t 0,则函数f (t)的 t0
Fourier积 分 为
.
(2)设F
[
f
(t)]
1
3
2
, 则f
(t)
.
答案：
(1) f (t) 2a
0
cost a2 2
d
(2) 3 e |t| 2
15
1
2
0
sin(1
t )d
1
2
0
sin(1
t )d
13
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,
2
1
2
2
,
0,
t 1
,
2
t
1
1
2
2
,
t 1 0,
t 1
0,
t 1 t 1
1
2
, ,
2
| t | 1 | t | 1
| t | 1
所以
0, | t | 1
f
(t
)
1 2
,
| t | 1.
.
8
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例4 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
0
2 4
2 4
costd
2
e |t|
cos
t.
解 所给函数Fourier变换为
F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
e |t| cos teitdt
1
F ( )costd
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
12
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例5 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
27
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法二
F
[tu(t )et
]
i
d
d
F ( )
(
1
i )2
由位移性质,F [tu(t )et sin 0t]
1 F [tu(t )etei0t ] 1 F [tu(t )etei0t ],
广义Fourier变换
2
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一、求傅立叶变换、傅立叶积分
F ( ) f (t )eitdt
f (t) 1
F ( )eitd
2
3
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例1 求下列函数的傅立叶变换, 傅立叶积分.
0, t 1
f
(t
)
1, 1,
1 t 0 t 1
20
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练习：
(1) 设f (t ) cos 0t,则F [ f (t )] ( A )
( A) [ ( 0 ) ( 0 )] (B) [ ( 0 ) ( 0 )] (C )i[ ( 0 ) ( 0 )] (D)i[ ( 0 ) ( 0 )]
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二、 广义傅里叶变换 一些常见函数的广义Fourier变换: 1.u(t )和 1 ( )构成一个Fourier变换对.
i
2. (t)和1构成一个Fourier变换对.
3.1和2 ()构成一个Fourier变换对. 4.ei0t和2 ( 0 )构成一个Fourier变换对.
0
s
in sint 12
d
2 0,
s in t ,
| t | | t |
.
解 所给函数是奇函数,其Fourier变换为
6
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F ( ) F [ f (t )] f (t )eitdt
2i 0 sint sintdt
i
0
cos(1
)t
cos(1
)t
(B) e2i 2 ( 0 ) (D) e2i 2 ( 0 )
(4)下列变换中不正确的是( C )
( A)F [u(t )] 1 ( ) (B)F [1] 2 ( ) i
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
i
22
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三、 利用性质计算傅里叶变换
dt
i
sin(1 1
)
sin(1 ) 1
2i sin 12 .
7
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再由Fourier积分公式得，在连续点处
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
2
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
5. (t t0 )和eit0构成一个Fourier变换对.
16
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e dt i( 0 )t
2
(
0 ).
e d i(t t0 )
2
(t
t0 ).
17
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例6 求下列函数 的傅里叶变换.
(1) f (t ) sin3 t
e |t| e it e it e it dt
2
9
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1 0 e(1ii )tdt 0 e(1ii )tdt
2
e(1ii )t dt e (1ii )tdt
0
0
| | 1 e(1ii )t 0
e(1i i )t 0
2 1 i i
1 i i
2i
2i
1 2i
[
1
i( 0 )]2
1 2i
[
1
i( 0 )]2
0(
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
28
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作业 P150 10,
29
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(2) f (t) sin(5t )
3
(3) f (t) 1 [ (t a) (t a) (t a ) (t a )]
2
2
2
解 （1）
F [ f (t )] F [sin3 t] F [ 3 sint 1 sin3t]
4
4
3i ( 1) ( 1)
4
i ( 3) ( 3)
0
0, 1 t
解
F ( ) f (t )eitdt
0 e itdt 1 e itdt
1
0
2(1 cos ) i
4
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在连续点处，
f (t ) 1 2(1 cos )eitd
2
i
1
(1 cos )cost
i
i
s int d
2 (1 cos )sintd
0
因此，
0, t 1
,
t 1
4
(1 cos )sintd
0
, 0, 2
1 t 0 t 0
,
0 t 1
2
, 4
t 1
0, 1 t
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例3 计 算 函 数f
(t)
s in t , 0,
| t | 的Fourier | t |
变 换,并 证 明
4
18
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（2）F [ f (t)] F [sin(5t )]
3
F [1 sin5t 3 cos 5t]
2
2
F [1 sin5t] F [ 3 cos 5t]
2
2
i ( 5) ( 5)
2
3 ( 5)+ ( 5)
2
( 3 i) ( 5) ( 3 i) ( 5) 2