专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升(精练

专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升（精练）
一、选择题
1．（2022·陕西·八年级期中）如图，点M 是直线23y x =+上的动点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 是
y 轴上的动点，MP NP ⊥，且PMN ∆为等腰三角形时点MP 的长为（ ）
A ．32或2
B ．2
C ．
6
4
或32 D ．
32
4
【答案】D
【分析】根据MP NP ⊥，且PMN ∆为等腰三角形，可知PMN ∆为等腰直角三角形，得45MNP ∠=︒，易得
NPO ∆是等腰直角三角形，设OP m =，表示出M 点坐标，代入直线解析式，求出m 的值，即可求出MP 的
长．
【详解】解：如图所示：
MP NP ⊥，且PMN ∆为等腰三角形，PMN ∴∆为等腰直角三角形，45MNP ∴∠=︒， MN x ⊥轴，45PNO ∴∠=︒，PNO ∴∆为等腰直角三角形，OP ON ∴=，
设OP ON m ==，根据勾股定理，得2NP m =，2MN m =，
①(,2)M m m -，代入直线23y x =+，得223m m =-+，解得34
m =，3
224
MP NP m ∴===， ②(,2)M m m ，代入直线23y x =+，得223m m =+，此方程无解．综上所述：3
24
MP =
．故选：D ． 【点睛】本题考查一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键． 2．（2022·辽宁营口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,B B B ⋯都在直线y x =上，11112212223323,,,,OA B B A A B B A B A A B B A △△△△△⋯都是等腰直角三角形，且11OA =，则点
2022B 的坐标是（ ）
A ．()2020
20202
,2 B ．()2021
20212
,2
C ．()
20222022
2,2
D ．(4042,4042)
【答案】B
【分析】利用直线y ＝x 上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得B 1、B 2、B 3的坐标，由此归纳总结即可求得B 2022的坐标．
【详解】解：∵11OA B 是等腰直角三角形，11OA =，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为（1，1）， ∵
112B A A 是等腰直角三角形，∴A 1A 2＝A 1B 1＝1，
又∵
212B B A 是等腰直角三角形，∴22OA B 是等腰直角三角形，
∴A 2B 2＝OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝2，∴点B 2的坐标为（2，2），
同理可得：点B 3的坐标为（22，22），点B 4的坐标为（23，23），点B 5的坐标为（24，24），…… ∴B 2022的坐标为（22021，22021），故选：B ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，利用等腰直角三角形的性质求得B 1、B 2、B 3的坐标是解题的关键．
3．（2022·山东青州·八年级期末）设直线y ＝kx +6与y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…），则S 5的值等于（ ） A ．3
5
B ．
910
C ．1
D ．3
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y =5x +6、y =6x +6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：当x =0时，y =5×
0+6=6，∴直线y =5x +6与y 轴的交点A 的坐标为（0，6）； 当y =0时，5x +6=0，解得：x =65-，∴直线y =5x +6与x 轴的交点B 的坐标为（6
5
-，0），
当x =0时，y =6×
0+6=6，∴直线y =6x +6与y 轴的交点C 的坐标为（0，6）；
当y =0时，6x +6=0，解得：x =-1，∴直线y =6x +6与x 轴的交点D 的坐标为（-1，0）． ∴S 5=12BD •OA =1
2×
|-1-（65-）|×6=35
，故选：A ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b 是解题的关键．
4．（2022·湖南·八年级期中）一次函数2y x b =+的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b 的值为（ ） A ．2 B ．2-或1
2
C ．12
D ．2或2-
【答案】D
【分析】分别令y =0和x =0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b 的方程，求解即可求得到答案．
【详解】解：设直线与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ， 在y =2x +b 中，令y =0可得x =-2b
，令x =0可得y =b ，
∴A （-2b ，0），B （0，b ），∴OA =|-2b
|，OB =|b |，
∵S △AOB =1，∴12OA •OB =1，即1
2×|2
b |×|b |=1，
整理可得|b |2=4，∴b =2或b =-2，故D 正确．故选：D ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，用b 分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键． 5．（2022·福建漳州·八年级期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l 将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（ ）
A ．12y x =
B ．109y x =1-
C ．12y x =或910y x =
D ．12
y x =或10
9y x =
【答案】C
【分析】分类讨论：当OA 下方分得的面积为3时，过A 点作AB x ⊥轴于B ，如图，则4AOB S ∆=，则可确定
(4,2)A ，然后利用待定系数法求出此时直线l 的解析式；当OC 上方分得的面积为3时，过C 点作CD y ⊥轴
于D ，如图，则Δ5OCD S =，则可确定10
(
3
C ，3)，然后利用待定系数法求出此时直线l 的解析式． 【详解】直线l 将九个正方形组成的图形面积分成1:2的两部分， ∴两部分的面积分别为3和6，
当OA 下方分得的面积为3时，过A 点作AB x ⊥轴于B ，如图，
则4AOB S ∆=，
∴1
442
AB ⨯⨯=，解得2AB =， (4,2)A ∴，
设直线OA 的解析式为y kx =， 把(4,2)A 代入得42k =，解得12
k =， ∴此时直线l 的解析式为1
2
y x =
； 当OC 上方分得的面积为3时，过C 点作CD y ⊥轴于D ，如图，则Δ5OCD S =， ∴1352
CD ⨯⨯=，解得103CD =，10
(3C ∴，3)，
设直线OC 的解析式为y mx =， 把10(
3C ，3)代入得10
33m =，解得910
m =， ∴此时直线l 的解析式为9
10
y x =
， 综上所述，直线l 的解析式为12y x =
或9
10
y x =．故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y kx b =+；将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质． 6．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点()3,A a 是直线2y x =与直线y x b =+的交点，点B 是直线y x b =+与y 轴的交点，点P 是x 轴上的一个动点，连接P A ，PB ，则PA PB +的最小值是（ ）
A．6 B．35C．9 D．310
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则P A+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定P A+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A'，连接A B'，如图所示：
则P A+PB的最小值即为A B'的长，
将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴22
A B'=+--=，
3(63)310
∴P A+PB的最小值为310．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
7．（2022•成都市八年级期中）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4，4），当三角板直角顶点P坐标为（3，3）时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标．
解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：
①当PE＝OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；
②当OP＝PE时，∠OPE＝90°，则F点就是（0，0）；
③当OP＝OE时，则OF＝6±3，F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）．
8．（2022•辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠BAC＝90°，点A为（，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为．
解：∵点A坐标为（，0）、点B坐标为（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝AC＝2，BC＝2，
△ABC与△ACP全等分为三种情况：
①如图1，延长BA到P，使AB＝AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，则∠AOB＝∠AMP＝90°
在△AOB 和△AMP 中，∵，∴△AOB ≌△AMP （AAS ），
∴AM ＝AO ＝
，MP ＝OB ＝1，故点P 的坐标为（2
，﹣1）；
②如图2，过点C 作CP ⊥AC ，使CP ＝AB ，则△ABC ≌△CPA ，故∠PAC ＝∠ACB ＝45°，AP ＝BC ＝2，
过P 作PM ⊥x 轴于M ，此时∠PAM ＝15°，在x 轴上取一点N ，使∠PNM ＝30° ∴∠PAM ＝∠APN ＝15°，即NA ＝NP ，设PM ＝x ，则PN ＝AN ＝2x ，NM ＝x ，
在Rt △APM 中，∵AP 2＝AM 2+PM 2，∴（2）2＝（2x+
x ）2+x 2，解得：x ＝﹣1，
则OM ＝OA+2x+
x ＝2
+1，故点P 的坐标为（2
+1，
﹣1）；
③如图3，作CP ⊥AC ，使CP ＝AB ，连接BP ，则△ABC ≌△CPA ， ∵∠BAC ＝∠PCA ＝90°，且CP ＝AB ，∴四边形ABPC 是矩形， ∴AB ＝BP ，∠ABP ＝90°，即∠ABO+∠PBM ＝90°，
过点P 作PM ⊥y 轴，则∠BPM+∠PBM ＝90°，∴∠ABO ＝∠BPM ， 在△AOB 和△BMP 中，∵，∴△AOB ≌△BMP （AAS ），
∴BM ＝OA ＝
，PM ＝OB ＝1，故点P 的坐标为（1，
）；
当点P 与点B 重合时，点P 的坐标为（0，1）， 综上，点P 的坐标为（0，1），（1，
+1），（2
，﹣1），（2
+1，
﹣1）．
9．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，直线3
:1l y x =+ 与x 轴正方向夹角为30，
点123,,,A A A 在x 轴上，点123,,,B B B 在直线l 上，11122233
,,OB A A B A A B A ∆∆∆均为等边三角形，则2020A 的横坐
标为__________．
【答案】()
2020
2
-1
3
【分析】分别求出123,,,
A A A 的坐标，得到点的规律，即可求出答案.
【详解】设直线交x 轴于A ，交y 轴于B ，当x=0时，y=1；当y=0时，x=3-， ∴A(3-,0)，∴B （0,1），∴OA=3,OB=1，
∵11122233
,,OB A A B A A B A ∆∆∆是等边三角形，∴1121232360B OA B A A B A A ∠∠∠===
∵∠BOA=30，∴OA 1=OB 1=OA=3，A 1A 2=A 1B 2=AA 1=23，A 2A 3=A 2B 3=AA 2=43， ∴OA 1=3,OA 2=23，OA 3=43,∴A 1(3，0)，A 2(23，0)，A 3（43,0）， ∴2020A 的横坐标是()
2020
2
-1
3.
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，一次函数的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，根据几种图形的性质求出A 1，A 2，A 3的坐标得到点坐标的规律是解题的关键.
10．（2022·广西九年级模拟）在平面直角坐标系中，点2,1)A 在射线OM 上，点2,2)B 在射线ON 上，以AB 为直角边作1Rt ABA ，以1BA 为直角边作第二个11Rt BA B ，然后以11A B 为直角边作第三个
112Rt A B A ，…，依次规律，得到202020212021Rt B A B △△，则点2021B 的纵坐标为____．
【答案】22022
【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可．
【详解】解：由已知可知：点A、A1、A2、A3……A2020各点在正比例函数y 2
的图象上，
点B、B1、B2、B3……B2020各点在正比例函数y2的图象上，
2
x ①
当A（B2时，由①得AB＝1，则BA12，则点A1222，B1点22＝4＝22；
当A1（B1）点横坐标为2，由①得A1B1＝2，则B1A2＝2；则点A2横坐标为2＋2＝2，B22×28＝23；
当A2（B2）点横坐标为2，由①得A2B2＝4，则B2A3＝2，则点A3横坐标为2＋2＝2，B32×216＝24；以此类推，点B2021的纵坐标为22022，故答案为22022．
【点睛】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．11．（2022·辽宁抚顺市·九年级三模）如图，点A1（2，1）在直线y=kx上，过点A1作A1B1∥y轴交x轴于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y 轴，分别交直线y=kx和x轴于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则带点C n的坐标为_______________．（结果用含正整数n的代数式表示）
【答案】
1
11 33
22
n n
n n
-
--⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【分析】先根据A1的坐标，求出直线的解析式，然后依据题意，分别求出A2、A3、A4的坐标，最后找规律得出结论．
【详解】∵点A1(2，1)在直线y=kx上∴1=2k，解得：k=1
2
∴y=
1
2
x
∴B1(2，0)，A1B1=1∴C1(3，1)∴A2(3，3
2
)，B2(3，0)∴A2B2=
3
2
，C2(
9
2
，
3
2
)
同理可得：C3(27
4
，
9
4
)、C4(
81
8
，
27
8
)可发现规律为：C n(
1
11
33
22
n n
n n
-
--
，)故答案为：(
1
11
33
22
n n
n n
-
--
，)．
【点睛】本题考查找规律，注意在找出一般规律后，建议再代入2组数据进行验证，防止规律错误．12．（2022·成都市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为．
解：以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，
①如图1所示，当△POQ≌△COQ时，即OP＝OC＝4，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，
∵PE∥BF，∴△POE∽△BOF，∴，∴＝＝，
∴PE＝，OE＝，∴点P的坐标为（，）；
②如图2，当△POQ≌△CQO时，即QP＝OC＝4，OP＝CQ，
∴四边形PQCO是平行四边形，∴PQ∥OA，过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，
∵B （2，6），∴OF ＝2，BF ＝6，∴OB ＝
＝2， ∵PQ ∥OA ，∴＝，∴PB ＝，∴PE ＝，∴点P 是OB 的中点，
∵PE ∥BF ，∴PE ＝BF ＝3，OE ＝EF ＝1，∴点P 的坐标为（1，3），
如图3，如图3，当△OQC ≌△QOP 时，过P 作PE ⊥OA 于E ，过B 作BF ⊥OA 于F ，则PE ∥BF ， ∵B （2，6），∴OF ＝2，BF ＝6，∴AF ＝6，∴△ABF 和△APE 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ， ∵直线AB 的解析式为y ＝﹣x+8，∴设点P 的坐标为（x ，﹣x+8），
连接PC ∵△OQC ≌△QOP ，∴∠POQ ＝∠CQO ，PQ ＝OC ，CQ ＝OP ，
∴△PQC ≌△COP ，∴∠OPC ＝∠QCP ，∴∠OQC ＝∠QCP ，
∴PC ∥OQ ，∴PC ＝OB ＝，∵PC 2＝CE 2+PE 2，∴10＝（x ﹣4）2+（﹣x+8）2，
解得：x ＝5，x ＝7（不合题意舍去），∴P （5，3）；
如图4，当△OQC ≌△QOP 时，过P 作PE ⊥OA 于E ，连接PC ，
同理PE ＝AE ，PC ∥OQ ，∵AC ＝OC ，∴AP ＝PQ ，
∵△OQC ≌△QOP ，∴PQ ＝OC ＝4，∴AP ＝PQ ＝4，
∴PE ＝AE ＝2，∴OE ＝8﹣2，∴P （8﹣2
，2）， 综上所述，点P 的坐标为（，）或（1，3）或P （5，3）或（8﹣2，2）． 故答案为（，）或（1，3）或P （5，3）或（8﹣2
，2）．
13．（2022·广西·钦州八年级阶段练习）如图，一次函数y x b =+的图象过点()1,2A ，且与x 轴相交于点B ．若点P 是x 轴上的一点，且满足△APB 是等腰三角形，则点P 的坐标可以是______．
【答案】()3,0，()221,0-，()
221,0--，()1,0
【分析】先把点A （1，2）代入一次函数y =x +b 求出b 的值，故可得出B 点坐标，再分AB =AP ，AB =BP 及AP =BP 三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，
∵一次函数y =x +b 的图象过点A （1，2）， ∴2=1+b ,解得b =1，∴一次函数的解析式为：y =x +1，∴B （-1，0）．
当AB =AP 时，∵B （-1，0），∴13
0P （，）； 当AB =BP 时，∵22(11)(20)22AB =++-=，
∴23(221,0),(221
,0)P P ---；当AP =BP 时，则22AP BP =， 设P （t ，0），则()2
221(1)+2t t +=-，解得：t =1，∴410P （，）． 综上所述，P 点坐标为：()3,0，()221,0-，()221,0--，()1,0．
故答案为：()3,0，()221,0-，()
221,0--，()1,0．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，已知直线l ：y ＝x ，过点A (1，0)作x 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交x 轴于点1A ；过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交x 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点n A 的坐标为_____．
【答案】(2n ，0)
【分析】依据直线l 的解析式为y ＝x ，即可得到45AOB ∠=︒，即AOB ，1
AOB △，11AOB ，21A OB ，…，1n n A OB -为等腰直角三角形．根据等腰三角形“三线合一的性质”可得出122OA OA ==，212OA OA =，…，
12n n OA OA -=，从而得到n A (2n ，0)．
【详解】解：∵直线l 的解析式为y ＝x ，∴45AOB ∠=︒，
∴AOB ，1
AOB △，11AOB ，21A OB ，…，1n n A OB -为等腰直角三角形． ∴12OA OA =，212OA OA =，…，12n n OA OA -=．∵A (1，0)，∴OA ＝1，∴11222OA OA ===，
221224OA OA ===，332228OA OA ===，…122n n n OA OA -==．
∴n A (2n ，0)．故答案为：(2n ，0)．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据一次函数解析式得出45AOB ∠=︒，从而判断各个三角形为等腰直角三角形是解题关键．
15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，△ABO 与△ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当∠CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．
【答案】y ＝﹣33x +3 【分析】证明△ABO ≌△ABC ，于是可知∠CBA =∠ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．
【详解】解：∵△ABO 与△ABC 关于直线AB 对称，∴∠ACB ＝∠AOB ＝90°，
∵点E 是AB 的中点，∴CE ＝BE =EA ∴∠EAC ＝∠ECA ，
∵∠ECA +∠ECF ＝90°，∠ECF +∠CFE ＝90°∴∠CFE ＝∠BAC ，
而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，∴DF ∥OB ，
∴∠CFE ＝∠CBO ＝2∠CBA ＝2∠ABO ，
∵△ABO 与△ABC 关于直线AB 对称，∴△ABO ≌△ABC ，
∴∠OAB ＝∠CAB ＝2∠ABO ，∴∠ABO ＝30°，
而点A 的坐标为（0，3），即OA ＝3，23AB ∴=
∴OB ＝22AB AO -=3即点B 的坐标为（3，0），
于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得
330b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得k ＝﹣33，b ＝3，故答案为y ＝﹣33x +3．
【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．
16．（2022·四川南充·八年级期末）如图，直线122
y x =-+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，点P 在经过点B 的直线13
y x b =+上，当PAB △是等腰直角三角形时，点P 的坐标是______． 【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4）
【分析】先求出点A 和点B 的坐标，用待定系数法求出b ，根据△P AB 是等腰直角三角形且∠PBA ≠90°，所以分∠BAP '=90°、∠BP A =90°两种情况分别求点P 的坐标，即可求解．
【详解】对于122
y x =-+，令x =0，则y =2，令y =0，则1202x -+=，解得：x =4， ∴点A （4，0），B （0，2），∴OB =2，OA =4，
把点B （0，2）代入13
y x b =+，得：b =2， ∴直线PB 的解析式为123
=+y x ，根据题意得：∠PBA ≠90°，
①当∠BA P ′=90°且AB =AP ′，过A 作AP ′⊥AB ，垂足为A ，过P ′作P ′H ′⊥轴，
∴∠AOB =∠P ′H ′A =90°，∠OAB +∠P ′A H ′=90°，∵∠OAB +∠OBA =90°，∴∠OBA =∠P ′A H ′，
又AB =AP ′，∴△AOB ≌△P ′AH ′（AAS ），∴AH ′=0B =2，P ′H ′=0A =4， ∴OH ′=OA +AH ′=6，∴P ′（6，4）， 把x =6代入123=+y x ，得y =4，∴点P ′在直线123
=+y x ，符合题意． ②当∠BP A =90°且BP =AP ，过A 作AP ⊥BP 于点P ，过P 作PH ⊥y 轴，过P 作PQ ⊥x 轴，
∴∠PHO =∠PQO =∠HOQ =90°，∴四边形OHPQ 为矩形，
∴PH =0Q ，PQ =OH ，∠HPB +∠BPQ =90°，∵∠APQ +∠BPQ =90°，∴∠HPB =∠APQ ，
又∵BP =AP ，∴△HBP ≌△QAP （AAS ），∴HP =PQ ，HB =QA ，∴四边形OHPQ 为正方形，
∵OH +OQ =（OB +HB ）+OQ =OB +AQ +OQ =OB +（AQ +OQ ）=OB +OA =4+2=6，∴PH =PQ =3，∴P （3，3）， 把x =3代入123=+y x 得：y =3，∴点P 在直线123
=+y x ，符合题意． 综上所述，点P 的坐标为（6，4）或（3，3）．故答案为：（6，4）或（3，3）
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P 坐标的关键．
17．（2022·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3(4,0)A 作 x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B ⋅⋅⋅按此规律作下去， 则点4A 的坐标为_______；点2021B 的坐标为_______ ．
【答案】（8，0）； （22020，22021）．
【分析】先根据题意求出A 2点的坐标，再根据A 2点的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 4、B 2021的坐标．
【详解】解：∵点A 1坐标为（1，0），∴OA 1=1，
过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，点B 1在2y x =上，y=2×
1=2，B 1点的坐标为（1，2）， ∵点A 2与点O 关于直线A 1B 1对称，∴OA 1=A 1A 2=1，∴OA 2=1+1=2，
∴点A 2的坐标为（2，0），点B 2在2y x =上，y=2×2=4，B 2的坐标为（2，4），
∵点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称．故点A 3的坐标为（4，0），点B 3在2y x =上，y=2×4=8，B 3的坐标
为（4，8），此类推便可求出点A n 的坐标为（2n-1，0），点B n 在2y x =上，y=2×
2n-1=2n ， 点B n 的坐标为（2n-1，2n ）．所以点A 4的坐标为（8，0），点4B 的坐标为（8，16）
所以点A 2021的坐标为（22020，0），点2021B 的坐标为（22020，22021）故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
18．（2023·江西·九年级专题练习）如图，直线y =−33
x +3与坐标轴分别交于A ，B 两点，在平面直角坐标系内有一点C ，使△ABC 与△ABO 全等，则点C 的坐标为________．
【答案】(3，3)或(3
2
，
33
2
)或(
3
2
，
3
2
-)
【分析】先求得A(0，3)，B(3，0)，再利用特殊角的三角函数值求得∠ABO=30°，再分类讨论即可求解．【详解】解：令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴A(0，3)，B(3，0)，∴OA=3，OB=3，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
当△OAB≌△C1BA时，∴C1B=OA=3，C1A= OB=3，∴C1 (3，3)；
当△OAB≌△C2AB时，∴C2B= OB=3，C2A=OA=3，∴∠C2AD=180°-60°-60°=60°，则∠DC2A=30°，
∴AD=1
2
C2A=3
2
，DC2=
3
2
，∴C2 (
3
2
，
33
2
)；
当△OAB≌△C3BA时，同理得C3 (3
2
，
3
2
-)；
综上，点C的坐标为(3，3)或(3
2
，
33
2
)或(
3
2
，
3
2
-)．
故答案为：(3，3)或(3
2
，
33
2
)或(
3
2
，
3
2
-)．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，特殊角的三角函数值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题
19．（2022·陕西临潼·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y 轴交于点A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．
【答案】（1）直线AB的函数表达式为y=-x+5；（2）点P的坐标为（7
3
，
4
3
）．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出
答案；（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，5
2
），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，5
2
）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（a，
a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（5，0），B（0，5）代入上式，得
50
5
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
5
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+5；
（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，∴直线AP经过OB的中点（0，5
2
），
设直线AP的解析式为y=mx+n，把A（5，0），（0，5
2
）代入上式，
得
50
5
2
m n
n
+=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得
1
2
5
2
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴直线AP的解析式为y=-
1
2
x+
5
2
，
把p（a，a-1）代入y=-1
2
x+
5
2
中，得−
1
2
a+
5
2
＝a−1，解得：a=
7
3
，∴点P的坐标为（
7
3
，
4
3
）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决本题的关键．
20．（2022·深圳市高级中学八年级期末）如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【答案】（1）y＝1
2
x+2；（2）点P坐标为（﹣
4
3
，
4
3
）或（﹣
20
3
，﹣
4
3
）；（3）CP的解析式为：y
＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP 125
5
【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（m，1
2
m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：
2
04
b
k b
=
⎧
⎨
=-+
⎩
，解得：
1
2
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线AB的解析式为y＝1
2
x+2，故答案为：y＝
1
2
x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
设点P（m，1
2
m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝
1
2
×4×4，
∴1
2
×6×4﹣
1
2
×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣
4
3
，∴点P（﹣
4
3
，
4
3
）；
当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝1
2
×4×4，
∴1
2
×6×（﹣m）﹣
1
2
×6×4＝8，∴m＝﹣
20
3
，∴点P（﹣
20
3
，﹣
4
3
），
综上所述：点P坐标为（﹣4
3
，
4
3
）或（﹣
20
3
，﹣
4
3
）；
（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，
在△AOB和△COH中，
AOB COH
AO CO
BAO PCB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），
设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得
4
02
c
a c
=-
⎧
⎨
=-+
⎩
，解得：
2
4
a
c
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，
联立方程组得：
24
1
2
2
y x
y x
=--
⎧
⎪
⎨
=+⎪⎩，解得：
12
5
4
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴点P（﹣
12
5
，
4
5
），∴22
124125
(0)(4)
555
CP=--++=，
当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，
联立方程组
4
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴点P（4，4），∴22
(40)(44)45
CP=-++=，
综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为125
5
或45．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21．（2022•青羊区校级期中）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O'．（1）求k、b的值；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积．
解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在，理由如下：如图1所示，
①当AB＝AC时，AC＝AB＝＝4，
可得C1（4﹣4，0），C2（4+4，0）．
②当BA＝BC时，OA＝OC＝4，可得C3（﹣4，0）．
③当CA＝CB时，点C与点O重合，可得C4（0，0），
综上所述，满足条件的点C坐标为（4﹣4，0）或（4+4，0）或（﹣4，0）或（0，0）．
（3）存在两种情况：①当P在x轴的正半轴上时，如图2所示：
点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∠PO'B＝∠POB＝90°，
∴∠PO'A＝90°，∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△OBP＝OB•OP＝×4×（4﹣4）＝8﹣8；
②当P在x轴的负半轴时，如图3所示：
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△OBP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；
综上所述，△OBP的面积为8﹣8或8+8．
22．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线x+3上．(1)当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；(2)当△ABC的面积为4时，l：y＝﹣1
2
求点A的坐标；(3)在直线l上是否存在点A，使∠BAC＝90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)A （2，2）；(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直线l 上存在点A ，使∠BAC ＝90°，此时点A 的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）
【分析】（1）以BC 为底的等腰三角形，点A 是BC 的中垂线与直线l 的交点，据此求解即可； （2）根据△ABC 的面积求得点A 的纵坐标，把点A 的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）设点A 的坐标为1(,3)2
t t -，根据两点间距离公式表示出222215(3)3924AB t t t t =+-=-+，222215(4)(3)112524
AC t t t t =-+-=-+，22416BC ==，再利用勾股定理建立方程，求解即可． (1)如图，当△ABC 是以BC 为底的等腰三角形时，点A 在BC 的中垂线上．
∵B （0，0），C （4，0），∴BC 的中垂线为x ＝2．
又点A 在直线l ：y ＝﹣12x +3上，∴y ＝﹣1
2×
2+3＝2，即A （2，2）； (2)设A （a ，b ）．则依题意得12BC •|b |＝4，即12×4|b |＝4，解得|b |＝2∴b ＝±2．
①当b ＝2时，2＝﹣12a +3，解得 a ＝2则A （2，2）；
②当b ＝﹣2时，﹣2＝﹣12a +3，解得 a ＝10则A （10，﹣2）．
综上所述，点A 的坐标是（2，2）或（10，﹣2）；
(3)设点A 的坐标为1(,3)2t t -， B （0，0），C （4，0），
222215(3)3924AB t t t t ∴=+-=-+，222215(4)(3)112524
AC t t t t =-+-=-+，22416BC ==， ∠BAC ＝90°，222AB AC BC ∴+=，即22553911251644
t t t t -++-+=，解得2t =或 3.6t =， 所以，在直线l 上存在点A ，使∠BAC ＝90°，此时点A 的坐标是（2，2）或（3.6，1.2）．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及勾股定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A 的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．
23．（2022·重庆·八年级期中）已知关于x 的一次函数y 1＝﹣mx+3m 的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，过点B 作直线y 2＝﹣x 的垂线，垂足为M ，连接AM ．（1）求点A 的坐标；（2）当△ABM 为直角三角形时，求点M 的坐标；（3）求△ABM 的面积（用含m 的代数式表示，写出m 相应的取值范围）．
解：（1）当y 1＝0时，﹣mx+3m ＝0，解得，x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）；
（2）△ABM 为直角三角形时，∵∠BMA ＜90°，∠BAM ＜90°，∴∠ABM ＝90°，
∵BM ⊥直线y 2＝﹣x ，∴直线y 1＝﹣mx+3m ∥直线y 2＝﹣x ，
∴m ＝1，则OB ＝3m ＝3，∴OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°，∴∠OBM ＝45°，
作MH ⊥OB 于H ，则MH ＝OH ＝OB ＝，∴点M 的坐标为（﹣，）；
（3）∵直线y 2＝﹣x 与y 轴的夹角是45°，∴∠MOB ＝45°，∴OH ＝MH ＝OB ＝m ，
则△ABM 的面积＝△OBM 的面积+△ABO 的面积﹣△AOM 的面积
＝×3m×m+×3×3m ﹣×3×m ＝m 2+m
（由于直线y 1＝﹣mx+3m 与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，因此m ＞0）．
24．（2022•陈仓区期中）（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：l 1：y 1＝k 1x+b 1（k 1≠0）；l 2：y 2＝k 2x+b 2（k 2≠0），有下列结论：当k 1＝k 2时，直线l 1∥直线l 2；当k 1•k 2＝﹣1时，直线l 1⊥直线l 2．（2）实践应用：①直线y ＝
kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，则k＝．②直线m与直线y＝﹣2x+3平行，且经过点（4，﹣2），则直线m的解析式为．③直线y＝﹣2x+3向右平移个单位，其图象经过点（6，﹣4）．
（3）深入探索：如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当△ABP为直角三角形时，求△ABP的面积．
解：（2）①∵直线y＝kx+5与直线y＝﹣3x+2垂直，∴k1•k2＝﹣1，∴k＝，故答案为：；
②∵直线m与直线y＝﹣2x+3平行，
∴设直线m的函数解析式为y＝﹣2x+b，将（4，﹣2）代入得b＝6，
∴直线m的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6；
③设直线y＝﹣2x+3平移后经过（6，﹣4）的函数解析式为y＝﹣2x+a，
∴﹣2×6+a＝﹣4，∴a＝8，∴y＝﹣2x+8，
∴y＝﹣2x+3与x轴交点为（0，），y＝﹣2x+8与x轴交点为（0，4），
∴向右平移了4﹣＝个单位，故答案为：；
（3）由题意知：A（2，3），B（﹣1，0），当△ABP为直角三角形时，存在两种情形，
当AP⊥x轴时，P（2，0），∴S△ABP＝＝，当AP⊥AB时，设AP的解析式为y＝﹣x+c，
将A（2，3）代入得﹣2+c＝3，∴c＝5，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，
∴点P（5，0），∴BP＝6，∴S△ABP＝＝9，综上：△ABP的面积为9或．25．（2022•河北八年级期中）如图，直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．（1）求直线DF的解析式；（2）求证：OG平分∠CGD；（3）在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
解：（1）∵直线y＝﹣x+1交y轴于A点，交x轴于C点，
∴A点的坐标是（0，1），C点的坐标是（2，0），
∵将矩形AOCB绕O点逆时针旋转90°，得到矩形DOFE，
∴F点的坐标是（0，2），D点的坐标是（﹣1，0），
设直线DF的解析式是y＝kx+2，
∴﹣k+2＝0，解得k＝2，∴直线DF的解析式是：y＝2x+2．
（2）如图1，作OM⊥DF，交DF于点M，作ON⊥CG，交CG于点N，
，
在Rt△OAC和Rt△ODF中，（HL）∴Rt△OAC≌Rt△ODF，
又∵OM⊥DF，ON⊥CG，∴OM＝ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，（HL）∴Rt△OMG≌Rt△ONG，∴∠MGO＝∠NGO，∴OG平分∠CGD．
（3）存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形．
联立解得∴点G的坐标是（﹣，），
∴OG＝，∴OG所在的直线的斜率是：，
①如图2，
，
，，
当∠OGH ＝90°时，设点H 的坐标是（a ，b ）， 则解得∴点H 的坐标是（0.8，1.6）．
②如图3，当∠GOH ＝90°时，设点H 的坐标是（c ，d ），
则解得∴点H 的坐标是（1.2，0.4）．
③如图4，当∠GHO ＝90°时，设点H 的坐标是（e ，f ），
则解得∴点H 的坐标是（0.4，0.8）．
综上，可得 存在点H ，使以G ，O ，H 为顶点的三角形为等腰直角三角形，
点H 的坐标是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．
26．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标xOy 中，直线1l ：1y x =+与x 抽交于点A ，直线2l ：33y x =-与x 轴交于点B ，与1l 相交于C 点．
（1）请直接写出点A ，点B ，点C 的坐标：A _________，B ________，C _______．
（2）如图2，动直线x t =分别与直线1l 、2l 交于P 、Q 两点．
①若2PQ =，求t 的值；②若存在2AQC ABC S S =△△，求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标；（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①，令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
则
33
1
y x
y x
-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，解得
2
3
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，故点C的坐标为（2，3），故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，
设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，∴S△MAC=S△QAC，同理S△NAC=S△BAC，
∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，∴S△AQC=2S△ABC，由直线l1的表达式知点K（0，1），设直线n的表达式为y=x+b，
将点B的坐标代入上式并解得b=-1，∴N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，∴MN=NK=2，∴M（0，-3），在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①②
33
3
y x
y x
=-
⎧
⎨
=-
⎩
解得
3
x
y
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，
联立①③
33
5
y x
y x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
解得
4
9
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，∴Q的坐标为（4，9）；综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．。