2022年最新鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆专题练习试卷(精选含答案)

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆专题练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列命题是假命题的是（ ）
A ．两点之间，线段最短
B ．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆
C ．一组对应边相等的两个等边三角形全等
D ．对角线相等的四边形是矩形
2、如图，将线段OA 绕点O 逆时针旋转45°，得到线段OB ．若OA ＝8，则点A 经过的路径长度为（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
3、如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，56BCD ∠=︒，则A ∠的度数是（ ）
A ．36︒
B ．34︒
C ．56︒
D ．78︒
4、下列命题正确的是（ ）
A ．三个点确定一个圆
B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C ．同弧或等弧所对的圆周角相等
D ．圆内接平行四边形一定是正方形
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，cos A ＝4
5，以点C 为圆心，r 为半径，作⊙C ，当r ＝3
时，⊙C 与AB 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
6、已知M （1，2），N （3，﹣3），P （x ，y ）三点可以确定一个圆，则以下P 点坐标不满足要求的是（ ）
A ．（3，5）
B ．（﹣3，5）
C ．（1，2）
D ．（1，﹣2）
7、如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CD 、AD 上，且AB ＝2CE ＝3AF ，过F 作FG ⊥BE 于P 交BC 于G ，连接DP 交BC 于H ，连BF 、EF ．下列结论：
①△PBF 为等腰直角三角形；②H 为BC 的中点；③∠DEF ＝2∠PFE ；④2=3
PHG PDE S S ∆∆． 其中正确的结论（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④
8、如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①AB=CD；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作O的切线交BE延长线于点C，若∠ADE=36°，则∠C的度数是（）
A．18°B．28°C．36°D．45°
10、在综合与实践活动课上，某同学需要用扇形薄纸板制作成底面半径为3分米，高为4分米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为（）
A．54°B．108°C．136°D．216°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
∠取最大值时，PA的长等1、如图，点A在半径为5的O内，OA=P为O上一动点，当OPA
于______．
2、如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为______．
3、如图，已知四边形ABCD 和四边形BEFM 均为正方形，以B 为圆心，以BE 为半径作弧EM ．若大正方形的边长为8厘米，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
4、如图，O 的直径10CD =cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，:3:5OM OC =，则AB =______．
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图所示，⊙O 的弦BD ，CE 所在直线相交于点A ，若AB ＝AC ，求证：BD ＝CE ．
2、如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，连接CD，且∠CDA＝∠CBD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DC＝4，AC＝2，求OC的长．
3、如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．
(1)求证：AC为⊙O切线．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．
(1)求证：∠BAD ＝∠DBC ；
(2)证明：点B 、E 、C 在以点D 为圆心的同一个圆上；
(3)若AB ＝5，BC ＝8，求△ABC 内心与外心之间的距离．
5、如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 和()3,0B 两点，与y 轴交于()0,2C -，对称轴为直线54
x =，连接BC ，在直线BC 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线交二次函数的图像于点N ，交x 轴于点M ，
(1)求抛物线与直线BC 的函数解析式；
(2)设点M 的坐标为()0m ,
，求当以PN 为直径的圆与y 轴相切时m 的值： (3)若点P 在线段BC 上运动，则是否存在这样的点P ，使得CPN 与BPM △相似，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请写出理由．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
利用线段公理、确定圆的条件、全等三角形的判定及矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、两点之间，线段最短，正确，为真命题；
B、过不在同一直线上三点有且只有一个圆，正确，为真命题；
C、一组对应边相等的两个等边三角形全等，正确，为真命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，错误，为假命题．
故选：D．
【点睛】
本题考查了真假命题的判定，掌握线段公理、确定圆的条件、全等三角形的判定及矩形的判定是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
根据题意可得45
AOB
∠=︒，再根据弧长公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：45
AOB
∠=︒，
∴点A经过的路径长度为458
2 180
π
π
⨯
=．
故选：C
【点睛】 本题主要考查了求弧长公式，熟练掌握弧长公式为
180
n r π（其中n 为圆心角，r 为半径）是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
如图，连接,BD 证明90,DBC ∠=︒ 再求解34,BDC 再利用同弧所对的圆周角相等可得答案.
【详解】
解：如图，连接,BD CD 是O 的直径，
90,DBC ∴∠=︒
56,BCD
90
5634,BDC
,BC BC = 34,A
故选B
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握“圆周角定理”是解本题的关键.
4、C
【解析】
【分析】
利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C 、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D 、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
5、C
【解析】
【分析】
如图，作CD AB ⊥，由余弦值求 AC 的值，在Rt ABC 中，由勾股定理求BC 1122
=⨯⨯=⨯⨯ABC S AC BC AB CD 求得CD 的值，比较CD 与半径的大小，即可判断位置关系． 【详解】
解：如图，作CD AB ⊥
∵5
AB＝，
4 cos
5
A＝
∴4
AC=
在Rt ABC中，由勾股定理得3
BC
∵
11
22
=⨯⨯=⨯⨯ABC
S AC BC AB CD
∴
12
5 CD=
∵12
3 5
<
∴以点C为圆心，3为半径的C与直线AB的位置关系是相交
故选C．
【点睛】
本题考查了余弦，勾股定理，直线与圆的位置关系．解题的关键在于确定圆心到直线的距离．
6、C
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】
解：设直线MN的解析式为y kx b
=+，
将点(1,2),(3,3)M N -代入得：233k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得5292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 则直线MN 的解析式为5922y x =-+，
A 、当3x =时，5
933522y =-⨯+
=-≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B 、当3x =-时，59(3)12522
y =-⨯-+=≠，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C 、当1x =时，591222y =-⨯+=，则此时点,,M N P 在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D 、当1x =时，5912222y =-⨯+
=≠-，则此时点,,M N P 不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
7、D
【解析】
【分析】
如图，①绕点B 将△EBC 逆时针旋转90°得△ABM ，就有AM ＝CE ，由勾股定理可以求出EF 的值，通过证明△EFB ≌△MFB 就可以求出①；根据△BPG ∽△BCE 就可以求出PG 、BG 从而求出GC ，再求
△HPG ∽△DPF 得出GH 的值就可以得出HC 的值，从而得出②的结论；由△BCE ≌△DCH 可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据△BHP ≌△DEP 就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．
【详解】
解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，
∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．AD BC
∥．∴∠BAM＝∠BCE＝90°，
∴∠MAF＝180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，
∴AB＝3x，CE＝1.5x，
∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，
∴EF＝MF．
∵在△EFB和△MFB中，
EF MF
BE BM
，
BF BF
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF＝∠MBF．
∵∠MBF＝∠2+∠3，
∴∠MBF＝∠1+∠3，
∴∠EBF＝∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，
∴∠EBF＝45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB＝∠BPG＝90°，
∴∠BFP＝45°，
∴∠BFP＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF
，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB
，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE
，
∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，∴△BPG∽△BCE，
∴PG PB BG CE BC BE
，
∴
5
3
1.535
PG x BG
x x
x
，
∴PG，BG＝2.5x．∴GC＝0.5x．
∵AD BC
∥，
∴△HPG∽△DPF，
∴GH PG DF PF
，
∴2
25x
GH
x x
，
∴GH＝x，
∴HC＝1.5x，
∴2HC＝3x，
∴2HC＝BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB＝2CE，
∴2HC＝2CE，
∴HC＝CE，
在△BCE和△DCH中，
BC DC
C C
CE CH
，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1＝∠4．
过点E作QR FG
∥交AD于Q，交BC的延长线于R．∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．
∴∠7+∠8＝90°．
∵∠1+∠7＝90°，
∴∠1＝∠8．
∵∠8＝∠9，
∴∠1＝∠9，
∴∠4＝∠9．
JP JD 如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取EF的中点,J连接,,
JP JF JE JD
,
∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠5．
∴∠9＝∠5，
∴∠DEF＝2∠5，
即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，
14
BPH DPE
，
BH DE
∴△BHP≌△DEP（AAS），
∴S△BHP＝S△DEP．
作PS⊥BC于S，
∴S △BHP ＝2BH PS ，S △PHG ＝2HG PS ． ∴S △BHP ＝1.52x PS ，S △PHG ＝2x PS ， ∴221.53
2PHG PHG
PDE PHB x PS
S S x PS
S S ，故④正确． ∴①②③④都是正确的．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．
8、D
【解析】
【分析】
如图连接OB 、OD ，只要证明
Rt △OMB ≌Rt △OND ，Rt △OPM ≌Rt △OPN 即可解决问题．
【详解】
解：如图连接OB 、OD ；
∵AB =CD ，
∴AB=CD，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
9、A
【解析】
【分析】
连接OA，DE，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】
解：连接OA，DE，如图，
∵AC是O的切线，OA是O的半径，
∴OA⊥AC
∴∠OAC=90°
∠ADE=36°
∴∠AOE=2∠ADE=72°
∴∠C=90°-∠AOE=90°-72°=18°
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的性质，能求出∠OAC和∠AOC是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可．
【详解】
解：∵底面半径为3厘米，高为4厘米，
∴圆锥的母线长cm，∵底面半径为3cm，
∴底面周长=2·π·R=6πcm，
∴
5
180
nπ⨯
=6π，
解得n=216，
∴该扇形薄纸板的圆心角为216°．
故选：D．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确记忆这两个关系是解题的关键．
二、填空题
1
【解析】
【分析】
当PA⊥OA时，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
【详解】
解：如图所示：
∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，∠OPA最大，
在直角三角形OPA中，OA OP＝5，
∴PA
【点睛】
本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件．2、（1，4）
【解析】
【分析】
根据三角形外接圆的性质，作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，即可解答．
【详解】
如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心．
根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)．
故答案为：(1，4)．
【点睛】
本题考查三角形外接圆的圆心．掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
3、16π平方厘米
【解析】
【分析】
连接BD 、ME ，根据正方形的性质得出BD ∥ME ，可知△MED 的面积等于△MEB 的面积，则阴影部分的面积为扇形MEB 的面积，利用面积公式求解即可．
【详解】
解：连接BD 、ME ，
∵四边形ABCD 和四边形BEFM 均为正方形，
∴∠DBA =∠MEA =45°，
∴BD ∥ME ，
∴△MED 的面积等于△MEB 的面积，
∴阴影部分的面积为扇形MEB 的面积，
∵正方形的边长为8厘米，∠MBE =90°，
2
908==16360
S ππ⨯阴影（平方厘米）， 故答案为：16π平方厘米．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和扇形面积公式，解题关键是利用正方形性质得出阴影部分面积为扇形面积．
4、8cm
【解析】
【分析】
如图连接OA ，由题意知152
OC CD OA ===，在Rt AOM 中，AM =2AB AM =，计算求解即可．
【详解】
解：如图连接OA
由题意知152
OC CD OA ===
:3:5OM OC =
3∴=OM
在Rt AOM 中，4AM =
2
=
AB AM
AB
∴=
8
故答案为：8cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于正确的求出线段长．
5、10
【解析】
【分析】
连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】
解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的直径为2×5＝10，
故答案为：10．
【点睛】
此题考查了垂径定理及勾股定理，熟记两个定理的计算及正确应用解决问题是解题的关键．
三、解答题
1、见详解
【解析】
【分析】
如图，连接DE，BC．证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得结论．
【详解】
证明：如图，连接DE，BC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【点睛】
本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD=AE．2、 (1)见解析
(2)5
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出∠ODA+∠CDA=90°，即OD⊥CD即可得出结论；（2）利用相似三角形的判定和性质，求出BC，进而求出半径OA，再求出OC即可．
(1)
解：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ODA=90°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
又∵∠CDA=∠CBD，
∴∠ODA +∠CDA =90°，
即OD ⊥CD ，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线；
(2)
∵∠CDA =∠CBD ，∠ACD =∠DCB ，
∴△ACD ∽△DCB ， ∴CD AC CB DC
=， 即
424CB =， ∴CB =8，
∴OA =2CB AC -=822
-=3， ∴OC =OA +AC
=3+2
=5．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解决问题的关键．
3、 (1)证明见解析 (2)258
【解析】
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝
3，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
证明：连接OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO DF
∥，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
(2)
解：连接OF，
∵∠BEF＝2AFE，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴AB BE DF AF
=，
∴5
45
BE =，
∴BE＝25
4
，
∴⊙O 半径＝
258
． 【点睛】 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解本题的关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析 (3)52
【解析】
【分析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得2DBC ∠=∠，再由AD 平分BAC ∠，得12∠=∠，从而证明结论；
（2）由BD CD =，得BD CD =，再根据13BED ∠=∠+∠，4DBE DBC ∠=∠+∠，得DBE BEO ∠=∠，从而有BD DE =，即可证明；
（3）由题意知E 为内心，O 为ABC ∆外心，设BO x =，3OH x =-，则222BO BH OH =+，可求出BO 的长，再根据勾股定理求出BD 的长，而BD BD =，从而得出答案．
(1)
解：证明：AD 平分BAC ∠，
12∠∠∴=，
又2DBC ∠=∠，
BAD DBC ∴∠=∠；
(2)
解：证明：AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴BD CD =，
连接CD ，
BD CD ∴=， BE 平分ABE ∠，
34∴∠=∠，
13BED ∠=∠+∠，4DBE DBC ∠=∠+∠，
DBE BEO ∴∠=∠，
BD DE ∴=，
BD DE DC ∴==，
∴点B 、E 、C 在以点D 为圆心的同一个圆上；
(3)
解：如图：
,90,BD DC ABD ACD AD AD =∠=∠=︒=，
()Rt ABD Rt ACD HL ∴≌，
AB AC ∴=，
,AH AH BAH CAH =∠=∠，
()ABH ACH SAS ∴≌，
BH CH ∴=，
142
BH BC ∴== 90AHB AHC ∴∠=∠=︒，
AD BC ∴⊥，
在Rt ABH 中，3AH =，
在Rt BHO 中，设BO x =，3OH x =-，
则222BO BH OH =+，
即2216(3)x x =+-， 解得：256
x ， 即256
BO =， AD 为直径，
90
ABD
∴∠=︒，在Rt ABD
△中，
20
3
BD，
20
3
DE
∴=，
20255
362
OE
∴=-=，
E为ABC
∆角平分线的交点，
E
∴为内心，
OE
∴为ABC
∆内心与外心之间的距离，
ABC
∴∆内心与外心之间的距离为
5
2
．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形的内心和外心的性质，圆的定义，勾股定理等知识，解题的关键是利用（2）中证明结论BD DE
=是解决问题（3）的关键．
5、 (1)抛物线解析式为2
410
2
33
y x x
=--，直线BC解析式为
2
2
3
y x
=-
(2)
3
2
或
9
2
(3)存在，
51
,
23
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
1113
,
812
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数2
y ax bx c
=++的对称轴为直线
5
4
x=，可得52
a b
=-，再利用待定系数法，即可求解；
（2）根据以PN为直径的圆与y轴相切，可得2OM PN
=，然后分两种情况：当点P在点N上方时
和当点P 在点N 下方时，即可求解；
（3）设点(),0M s ，则点2,23P s s ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2410,233N s s s ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，然后分两种情况：当∠PNC =∠PMB =90°时和当∠PCN =∠PMB =90°时，即可求解．
(1)
解：∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线54x =
， ∴524b a -
= ，即52a b =- ， ∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()3,0B ，与y 轴交于()0,2C -，
∴930252a b c c a b ++=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ ，解得：{a =43a =−103a =−2
， ∴二次函数的解析式为2410233
y x x =--， 设直线BC 的解析式为()0y kx n k =+≠ ，
把点()3,0B ，()0,2C -代入得：
302m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：232
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 解析式为223
y x =
-； (2) 解： 根据题意得：点2,23P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2410,233N m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， ∵以PN 为直径的圆与y 轴相切，
∴2OM PN = ，
当点P 在点N 上方时，
22241042243333PN m m m m m ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭
， ∴24243
m m m =-+ ， 解得：32
m = 或0m =（舍去），
当点P 在点N 下方时，
22410242243333PN m m m m m ⎛⎫⎛⎫=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴24243
m m m =-， 解得：92
m =或0m =（舍去），
∴当以PN 为直径的圆与y 轴相切时m 的值为32或92； (3)
解：存在，理由如下：
设点(),0M s ，则点2,23P s s ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2410,233N s s s ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
∴2202233PM s s ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，PC ，3BM s =- ，22241042243333PN s s s s s ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭
， 根据题意得：∠CPN =∠BPM ，
当∠PNC =∠PMB =90°时，△PBM ∽△PCN ，
∴CN ∥x 轴， ∴24102233s s --=-，解得：52
s = 或0s = （舍去）， ∴点51,23P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭ ， 当∠PCN =∠PMB =90°时，△PBM ∽△PNC ，
， ∴2PBM PCN S PM S PC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
∴()221223222314423s s s s s s ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ，解得：118s = 或3s = （舍去）， ∴点1113,812P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 综上所述，存在这样的点P 51,23⎛⎫- ⎪⎝⎭或1113,812⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，使得CPN 与BPM △相似．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与相似三角形以及圆的综合题，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．。