第6章信道编码信道

通常qn>> qk，分组编码的任务是要在n维n重矢 量空间的qn种可能组合中选择其中的qk个构成一个 码空间，其元素就是许用码的码集。
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• 选择一个ｋ维n重子空间作为码空间。 • 确定由k维k重信息空间到ｋ维n重码空间的映射方
法。 • 码空间的不同选择方法，以及信息组与码组的不
误比特率或码组差错率。
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• 定量地描述信号的差错，收、发码之“差” ：
差错图样E＝发码C－ 收码R （模M）
• 例：8进制(M=8)码元，
若发码
C=（0,2,5,4,7,5,2）
收码变为
R=（0,1,5,4,7,5,4）
差错图样 E=C－R=（0,1,0,0,0,0,6）（模8）
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V1,V2 , ,Vn
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• 以（100）为基底可张成一维三重子空间V1，含21 =2 个元 素，即
V1 {(000), (100)}
• 以(010)(001)为基底可张成二维三重子空间V2，含 22 =4个 元素，即
V2 {(000),(001),(010),(011)}
• 若满足条件：
➢ V中矢量元素在矢量加运算下构成加群；
➢ V中矢量元素与数域F元素的标乘封闭在V中；
➢ 分配律、结合律成立，
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线性空间，
n维矢量又称n重(n-tuples)。
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对于域F上的若干矢量 V1,V2 , ,Vi及Vk
• 由于非线性码的分析比较困难，早期实用的纠 错码多为线性码，但当今发现的很多好码恰恰 是非线性码。
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纠错码分类：纠随机差错码 和纠突发差错码
• 按照适用的差错类型，分成: – 纠随机差错码：用于随机差错信道，其纠错 能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。 – 纠突发差错码：针对突发差错而设计，其纠 错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡 量。
• 由于k个基底即G的k个行矢量线性无关，矩阵G的 秩一定等于k。
• 当信息元确定后，码字仅由G矩阵决定，因此我 们称这k×n 矩阵G为该(n,k)线性分组码的生成矩 阵。
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(n,k)码的任何生成矩阵都可以通过行运算 （以及列置换）简化成“系统形式” 。
• 二进制码：E=C R 或 C = R E
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0:传输中无错 1:传输中有错
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• 从功能角度讲，差错码分为检错码和纠错码 – 检错码：用于发现差错 – 纠错码：能自动纠正差错
信道是信号从信源传送到信宿的通路。
1) 由于信道有干扰，使得传送的数据流(码流)中产生误码。
2) 误码的处理技术有纠错、交织、线性内插等。
3) 信道编码的目的是提高信息传输或通信的可靠性。
4) 信道编码的是降低误码率，使系统具有一定的纠错能力和抗 干扰能力，提高数据传输效率。
5) 信道编码的过程是在源数据码流中加插一些码元，达到在接 收端进行检错和纠错的目的。
• 其余的n-k位叫冗余位或一致校验位，是前k个信息位的 线性组合。
• 这样生成的（n , k）码叫做系统码。 • 若生成矩阵G不具备系统形式，则生成的码叫做非系统
码。 • 非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可以通
过行运算转7化不改变码集第，6章只信道是编改码变信道了信映道编射规则。31
信道传输，在传输中若码字出现错误，收端能利用编码 规律发现码的内在相关性受到破坏，从而按一定的译码 规则自动纠正或发现错误，降低误码率。 实质：在保证一定传输信息速率条件下，通过增加一定的码元 多余度，使输出的码字具有特定的相关性，从而使收端 易于发现或纠正由于信道噪声而引起的传输错误。
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• 根据不同的应用场合对差错率有不同的要求： • 在电报传送时，允许的比特差错率约为： 10-4～10-5； • 计算机数据传输，一般要求比特差错率小于：10-8～
10-9； • 在遥控指令和武器系统的指令系统中，要求有更小的
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• 有扰离散信道的编码定理 • 纠错编译码的基本原理与分析方法 • 线性分组码 • 卷积码 • 编码与调制的结合－－TCM码 （了解） • 运用级联、分集与信息迭代概念的纠错码
（了解）
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• 纠错码与检错码在理论上没有本质区别，只是 应用场合不同，而侧重的性能参数也不同。
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纠错码分类：分组码和卷积码
• 按照对信息序列的处理方法，有分组码和卷积码
• 分组码：
– 将k个信息码元分成一组，由这k个码元按照一
定规则产生r个监督码元，组成长度n = k + r的
码字。
n
010 101 010 001 110 010xxxx 101xxxx 010 xxxx
另一矢量空间中的任意元素正交。 • 正交的两个子空间V1、V2互为对偶空间 (Dual
Space)，其中一个空间是另一个空间的零空间 （null space，也称零化空间）。
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消息k长
qk 种 k维k重矢量
(n , k) 码字n长
分组编码器 qn种 n维n重矢量
同映射算法，就构成了不同的分组码。
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消息m
(n , k) 码字c
m=(mk-1,…,m1,m0) 分组编码器 c=(cn-1,…,c1,c0)
qk
<
qn
• 码集C能否构成n维n重矢量空间的一个k维n重子空间？
• 如何寻找最佳的码空间？
• qk个信息元组以什么算法一一对应映射到码空间？
• 线性组合：
Vk a1V1 a2V2 aiVi , (ai F )
• 线性相关：
a1V1 a2V2 aiVi 0, (ai F且不全为零)
其中任一矢量可表示为其它矢量的线性组合。
• 线性无关或线性独立：一组矢量中的任意一个都不可能
用其它矢量的线性组合来代替。
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• 信息反馈(IRQ)：
– 收端把收到的数据，原封不动地通过反馈信道送回到发端， 发端比较发的数据与反馈来的数据，从而发现错误，并且 把错误的消息再次传送，直到发端没有发现错误为止。
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• F表示码元所在的数域，对于二进制码，F代表二元域{0,1}
• 设n重有序元素的集合V= {Vi }, Vi (Vi0 ,Vi1, ,Vij , ,Vi(n1) ),Vij F
信道
接收向量R
消息m’
检错译码
ARQ
图6.1.8 FEC与ARQ纠错应用方式
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• 混合纠错(HEC)：
– 是FEC与ARQ方式的结合。 – 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组，收端收到
码组后，检查差错情况，如果差错在码的纠错能力以内， 则自动进行纠正。 – 如果信道干扰很严重，错误很多，超过了码的纠错能力， 但能检测出来，则经反馈信道请求发端重发这组数据。
6) 在带宽固定的信道中，总的传送码率是固定的，由于信道编 码增加了数据量，其结果只能是以降低传送有用信息码率为 代价了。
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目的：降低错误译码概率PE，提高可靠性。 对象：信息序列（设码元间彼此无关且等概出现）。 方法：在传输的信息码之中按一定规律产生一些附加数字，经
G [ gk1,..., g1, g0 ]T
g(k 1)(n1)
g1( n 1) g 0 ( n 1)
g(k 1)1
g11 g01
g(k 1)0
g10 g00
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• 对照式（6-3-1），得
c [cn1,..., c1, c0 ] mk1gk1 ... mi gi m1g1 m0 g0 mG
消息m’
ARQ
图6.1.8 FEC与ARQ纠错应用方式
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• 自动请求重发(ARQ)：
– 发端发送检错码，
– 收端译码器判断当前码字传输是否出错；
– 当有错时按某种协议通过一个反向信道请求
发送端重传已发送的码字(全部或部分)。
消息m
纠错编码
码字C
信道
接收向量R
消息m’
纠错译码
FEC
消息m
检错编码
码字C
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• 前向纠错(FEC)：
– 发送端的信道编码器将信息码组编成具有一 定纠错能力的码。
– 接收端信道译码器对接收码字进行译码，若 传输中产生的差错数目在码的纠错能力之内 时，译码器可对差错进行定位并加以纠正。
消息m 纠错编码
码字C
信道
接收向量R 纠错译码
消息m’
FEC
消息m 检错编码
码字C
信道
接收向量R 检错译码
kk
r
r
• 卷积码： – 先将信息序列分组，不同的是编解码运算不仅 与本组信息有关，而且还与前面若干组有关。
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• 按照码元与原始信息位的关系，分为 – 线性码：所有码元均是原始信息元的线性组 合，编码器不带反馈回路。 – 非线性码：码元并不都是信息元的线性组合， 可能还与前面已编的码元有关，编码器可能 含反馈回路。
• 因此，（n，k）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码 的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵H的任意一个行 矢量，即 cHT=0
• 该式可以用来检验一个n重矢量是否为码字；若等式成立， 该n重矢量必为码字，否则不是码字。
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1 0
0
G
=
[Ik
P
]
=
0
1
0
0 0 0 1
p(k 1)(nk 1)
p1(nk 1) p0(nk 1)
p(k 1)1
p11 p01
p(k 1)0
p10 p00
矩P是阵k的×秩(n-是k)矩k。阵；Ik是k×k单位矩阵，从而保证了
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• 前k位由单位矩阵Ik决定，等于把信息组m原封不动搬到 码字的前k位；
• 码率－－编码效率：Rc =(k ·lb q)/n，码率Rc体现了传信率
的大小。
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• 线性分组码码空间C是由k个线性无关的基底gk-1,…,g1,g0张 成的k维n重子空间，码空间的所有元素（即码字）都可以 写成k个基底的线性组合。
c = mk-1 gk-1+…+ m1 g1+m0 g0 • 这种线性组合特性正是线性分组码名称的来历。
• C和D的对偶是相互的，G是C的生成矩阵
又是D的校验矩阵，而H是D的
n维n重空间V
生成矩阵，又是C的校验矩阵。
k维k重 信息组 空间m
k维n重 码空间C
G
n-k维n 重对偶 空间D
H
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• 由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它 们互为零空间。
• 可以把码空间与映射
n维n重空间V
关系画成如图所示的图形。
k维k重 信息组 空间m
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k维n重 码空间C
G
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n-k维n 重对偶 空间D
H
• 用gi表示第i个基底并写成1 × n矩阵形式：
gi [gin1 , gin2 ,..., gi1, gi0 ]
• 再将k个基底排列成k行n列的G矩阵，得
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• 与任意一个（n，k）线性分组码的码空间C相对应，一定 存在一个对偶空间D。
• 可以用n-k个基底产生包含2 n-k个码字的线性分组码，称 （n， n-k ）码是（n，k）码的对偶码。
• 将D空间的n-k个基底排列起来可构成一个矩阵，称为码空 间C的校验矩阵H。用来校验接收到的码字是否是正确的；
• 以(100)(010)(001)为基底可张成三维三重空间V，含 23 =8 个元素，V1和V2都是V的子空间。
• 从概念上讲，维数不可能大于重数，而当维数小于重数时 就说明这是一个子空间。
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• 每个矢量空间或子空间中必然包含零矢量 • 两个矢量正交：V1V2＝ 0 • 两个矢量空间正交：某矢量空间中的任意元素与