初中数学四边形常见解题思路

四边形常见解题思路
线段中点有线段，二倍中线试试看
梯形出现要变换，腰与对角灵活变
两腰延长与平移，两腰中点中位线
一腰中点沙漏见，全等三角等量换
四边通常加加线，化成三角好相见
1．如图，在▱ABCD，E为BC的中点，DE⊥AE．
求证：AB＝AD．
证明：分别延长AE、DC交于点F；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，DC＝AB；
∴△ABE∽△FCE，
∴AE：EF＝BE：CE＝AB：CF；
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AE＝FE，AB＝CF，
∴DE为AF的中垂线，
∴AD＝DF＝2AB．
即AB＝AD．
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝2，BD＝6，AC＝BC＝8，求证：AC⊥BD．证明：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，如图所示：
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF＝AD＝2，DF＝AC＝8，DF∥AC，
∴BF＝8+2＝10，
∵BD2+DF2＝62+82＝100，BF2＝102＝100，
∴BD2+DF2＝BF2，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD⊥DF，
∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．
3．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AD＝CD，AB＝3，BC＝5．求：tan∠ACD的值；
解：（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，如图所示：
∵AB⊥AC，DE∥AB，
∴DE⊥AC，
∵AD＝CD，
∴AM＝CM，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵AD∥BC，
∴DM：EM＝AM：CM＝1：1，
∴DM＝EM＝DE＝，
∴tan∠ACD＝＝＝；
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，∠ABC的平分线交腰CD于点E（不与点C、D重合）．当AB＝2时，求BE的长；
解：（1）如图1，延长BA、CD交于点F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠F AD＝∠FDA，
∴△F AD是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴＝
∵AB＝2，AD＝1，BC＝3，
∴AF＝1，
∴△FDA是等边三角形，
∴∠F AD＝60°
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝30°，
∴∠FEB＝90°，
∵BF＝3，
∴FE＝
∴由勾股定理可知：BE＝；
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF称为梯形ABCD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
解：EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）
证明如下：连接DE并延长交CB的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠ABH，
在△DAE和△HBE中，
，
∴△DAE≌△HBE，
∴DE＝EH，AD＝BH，
∵DE＝EH，DF＝FC，
∴EF∥BC，EF＝HC，
∴EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）．
6．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．
求证：DE平分∠ADC；
证明：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．
在△AED与△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF，
∴AD＝BF，DE＝EF，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF＝∠F，
∵AD∥CF，
∴∠ADE＝∠F，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴ED平分∠ADC．
7．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝8，则各顶点的坐标是A（2，4），D（0，0），求点B、C的坐标．
解：作AE⊥x轴，BF⊥x轴分别于E，F．
∵A（2，4），D（0，0），
∴DE＝CF＝2，
∵CD＝8，AB＝4，
∴EF＝8﹣2﹣2＝4，
∴B（6，4），C，8，0）．。